幾類特殊的多面體的外接球問題

沈清臣

(湖南省長沙市長郡中學(xué) 410000)

空間幾何體與球的組合問題是近幾年高考中的一個(gè)頻考點(diǎn)，且考查形式靈活多樣；要正確求解此類問題，學(xué)生必須通過讀、想、畫、轉(zhuǎn)、算五個(gè)基本環(huán)節(jié)，找準(zhǔn)熟悉的基本幾何模型及相應(yīng)的求解策略.

此類問題可劃分為旋轉(zhuǎn)體、多面體的內(nèi)切、外接球問題；而旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切、外接球問題，通過軸截面可轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解；多面體的內(nèi)切球問題，利用等體法可直接求解.因此，本文主要介紹多面體(棱柱、棱錐)的外接球問題，在此之前，我們先熟悉空間球體的截面性質(zhì)及其應(yīng)用.

一、球的截面性質(zhì)及其應(yīng)用

如圖1，空間球體有如下性質(zhì)：

(1)用一個(gè)平面去截球，所得截面是一個(gè)圓面；

(2)球心與截面圓心的連線與截面垂直，且滿足：R2=r2+d2(其中R表示球的半徑，r表示截面圓的半徑，d表示球心到截面的距離).

圖1 圖2

上例的求解過程，充分利用球體的截面性質(zhì)，即球心與截面圓圓心的連線與截面垂直，使得求解難度大大降低.類似的問題還在高考試題中曾多次出現(xiàn)，如2013年新課標(biāo)Ⅰ(理)第6題、2013年新課標(biāo)Ⅰ卷(文)第15題、2013年大綱卷(文)第16題、2013年大綱卷(理)第16題等.其實(shí)，更多幾何體的外接球問題的求解均需要利用到球體的截面性質(zhì)，在后面的問題中將作介紹.

二、棱柱的外接球問題

此處我們主要介紹直棱柱(側(cè)棱垂直于底面)的外接球問題.因?yàn)檎襟w、長方體的外接球直徑即為體對(duì)角線，因此遇到直棱柱的外接球問題，首先可以考慮將該直棱柱補(bǔ)體為長方體或正方體；若不能補(bǔ)體，再考慮利用球體的截面性質(zhì)確定球心位置，再由勾股定理求解.

圖3

如圖3，設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1上、下底面的外接圓圓心分別為H1、H，連接H、H1，則易知HH1的中點(diǎn)O即為該棱柱外接球的球心，AH即為底面外接圓的半徑，AO即為球的半徑R.利用平面幾何知識(shí)求出AH，再結(jié)合球的截面性質(zhì)可直接求解.

例2(2013年遼寧文、理第10題)已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球O的半徑為( ).

直接考查正方體、長方體的外接球問題，在高考試題中曾多次出現(xiàn)，如2013年天津文第10題、2014年陜西理第5題、2016全國Ⅱ文第4題、2017年天津文、理第10題、2017年全國Ⅱ文第15題等，此類問題難度不大.

補(bǔ)體的策略在后面的錐體的外接球問題中將進(jìn)一步詳細(xì)介紹.

三、棱錐的外接球問題

球與錐體的組合問題，在高考真題及各地的模擬試題中出現(xiàn)頻率最高，試題形式多樣，靈活多變.類似于柱體的求解策略，我們首先考慮補(bǔ)體，再者利用截面性質(zhì)確定球心，進(jìn)而可得解.下面將按四種類型進(jìn)行詳細(xì)闡述.

1.有條側(cè)棱垂直于底面的棱錐

若棱錐的一條側(cè)棱垂直于底，則補(bǔ)體為直棱柱求解，如圖4，三棱錐S-ABC中，側(cè)棱SA⊥底面ABC，則可補(bǔ)體成直棱柱SQP-ABC(如圖5)，即轉(zhuǎn)化為直棱柱的外接球問題.

圖4 圖5

例3(2019年全國Ⅰ理第10題)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°，則球O的體積為( ).

圖6 圖7

在三棱錐中，若共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，則將棱錐補(bǔ)體為正方體或長方體，可迅速求解.類似問題再如，2012年遼寧文理第16題.

2.對(duì)棱相等的錐體

正方體或長方體中，相對(duì)面的對(duì)角線相等，因此當(dāng)三棱錐的對(duì)棱相等的時(shí)候，可以將該三棱錐放于正方體或長方體內(nèi)，即補(bǔ)體為正方體或長方體.

圖8

∴球的半徑R滿足4R2=a2+b2+c2=7，故表面積為S=4πR2=7π.

本例也可以取AB或CD的中點(diǎn)，作出截面，根據(jù)幾何體的對(duì)稱特征，確定球心的位置，利用球的截面性質(zhì)列出方程組求解.但兩種解法對(duì)比，可體現(xiàn)上述解法的簡便快捷.特別是準(zhǔn)確熟悉正四面體與正方體之間的聯(lián)系，可快速解決正四面體的外接球問題，比如下面的例題.

3.正棱錐(底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心)

圖9

例5(2014年大綱文第10題、理第8題)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為( ).

圖10

上述例題的求解過程，還是利用球體的截面性質(zhì).前述例3(2019年全國Ⅰ理第10題)亦可利用上述方法求解.

4.有兩個(gè)面垂直的棱錐

如圖11，已知球O1、O2的兩個(gè)截面圓所在平面垂直，則四邊形OO1HO2為矩形，且△OAO1，△OBO2均為Rt△，AO=BO=R.利用勾股定理結(jié)合已知條件列出方程組，即可求解.

圖11 圖12

設(shè)△BCD，△ACD的外接圓圓心分別為E、H，四面體A-BCD的外接球球心為O，則OE⊥平面BCD，OH⊥平面ACD，OEFH為矩形，∴OE=HF，OH=EF.

連接AO、BO，并設(shè)外接球半徑為R，OE=HF=x，則分別在Rt△BOE，Rt△AOH中可得：

上述例題的求解過程，還是利用球的截面性質(zhì)(過截面圓圓心且與截面垂直的直線一定過球心)，通過兩個(gè)截面來確定球心的位置，再利用勾股定理求解.

其實(shí)，一般情況下，并要求兩個(gè)截面圓所在平面垂直.如下例：

例7(2020年廣州市一模文 第12題)在三棱錐A-BCD中，△ABD和△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角A-BD-C的平面角為120°，則此三棱錐的外接球的表面為( ).

圖13

以上內(nèi)容是對(duì)常見的棱柱、棱錐的幾類外接球問題及其求解策略的歸納.因?yàn)轭}型可以靈活多變，問題的求解途徑多種多樣，以上肯定有闡述不全面不到位的地方，期盼讀者去補(bǔ)充完善.