分類(lèi)討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

胡向斌

（甘肅省榆中縣第一中學(xué)，甘肅榆中 730100）

將分類(lèi)討論思想使用在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中，不僅讓數(shù)學(xué)題目更容易被解決，也可以在很大程度上發(fā)散學(xué)生的思維。高中數(shù)學(xué)不同于其他階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，具有很強(qiáng)的抽象性，不容易被學(xué)生理解。分類(lèi)討論思想作為一種很重要的數(shù)學(xué)思想，可以應(yīng)用在很多高中數(shù)學(xué)題目的解決中，如函數(shù)、概率、數(shù)列等，都可以為我們提供更加清晰的解題思路，把抽象的思維變成形象的思維，從而更好地完成相應(yīng)的題目。所以必須要提高做題的有效性，對(duì)相關(guān)的分類(lèi)討論思想進(jìn)行探討，提高數(shù)學(xué)成績(jī)。在具體的解題過(guò)程中，分類(lèi)討論思想是很重要的，它可以讓題目變得更加簡(jiǎn)單，也可以讓學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。因?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的思維能力要求很高，這就給高中生的學(xué)習(xí)帶來(lái)了一定的困難，學(xué)生在理解中往往會(huì)遇到很多挑戰(zhàn)，所以這種有效的思考方法就被教師廣泛地運(yùn)用。為了能更好地運(yùn)用相關(guān)的數(shù)學(xué)思想，加深學(xué)生的理解，提高做題的有效性，需要深入研究這種思想。

一、相關(guān)理論

分類(lèi)討論思想作為重要的數(shù)學(xué)思想之一，也是一種邏輯思考的方法，可以把數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單化，并且構(gòu)建相應(yīng)的思維方式。實(shí)際上分類(lèi)討論思想也是一種很特別的教學(xué)方法，能夠更好地鍛煉學(xué)生的思維方式，讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸納和總結(jié)。分類(lèi)討論思想里面最重要的部分就是對(duì)問(wèn)題的對(duì)象進(jìn)行相應(yīng)的分類(lèi)，只有進(jìn)行更加科學(xué)合理的分類(lèi)，才可以保證后面的分類(lèi)沒(méi)有錯(cuò)誤。

二、分類(lèi)討論的原則和標(biāo)準(zhǔn)劃分

分類(lèi)討論需要相關(guān)人員堅(jiān)持一定的原則，首先，分類(lèi)的原則是每次的分類(lèi)不能同時(shí)使用不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，不然很容易在后面的解題中出現(xiàn)重復(fù)的情況。其次，分類(lèi)后每一種類(lèi)型都要具備互相不相容的原則，不能讓條件既出現(xiàn)在這個(gè)類(lèi)型里面，同時(shí)又出現(xiàn)在另外一個(gè)圖形里面。再次，分類(lèi)之后的不同小的類(lèi)型要合并起來(lái)成為一個(gè)總的類(lèi)型，不然就容易出現(xiàn)遺漏。另外，分類(lèi)以后的小的類(lèi)型，還可以再進(jìn)一步地進(jìn)行分類(lèi)，直到不可以再進(jìn)行分類(lèi)才可以。

在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的時(shí)候，分類(lèi)討論思想的使用會(huì)越來(lái)越多，這也為我們更加快速地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題構(gòu)建了很好的條件。不過(guò)，對(duì)于使用一些分類(lèi)思想，必須要更加明確這種思想的標(biāo)準(zhǔn)，從而更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在進(jìn)行分類(lèi)討論思想下的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，不能出現(xiàn)分類(lèi)遺漏的情況。根據(jù)相關(guān)的實(shí)踐，思想的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)可以從以下幾方面進(jìn)行分析。

首先，要從相關(guān)的概念出發(fā)，進(jìn)行合理的劃分。在具體的學(xué)習(xí)過(guò)程中，一些知識(shí)的內(nèi)容是根據(jù)相關(guān)的分類(lèi)思想來(lái)劃分的，像絕對(duì)值，在回答問(wèn)題時(shí)必須要對(duì)它的每個(gè)部分進(jìn)行有效的考慮，才可以得到問(wèn)題最后的精確答案。其次，要根據(jù)圖形位置的一些知識(shí)進(jìn)行相應(yīng)的劃分，討論里面的問(wèn)題。在高中數(shù)學(xué)的解題過(guò)程中，要根據(jù)圖形位置的相關(guān)的特殊要求進(jìn)行相關(guān)的分類(lèi)討論，從而實(shí)現(xiàn)求解的目的。再次，要根據(jù)相關(guān)的變量進(jìn)行相關(guān)的標(biāo)準(zhǔn)劃分。

三、分類(lèi)討論思想應(yīng)用于數(shù)學(xué)解題中的重要性和意義

分類(lèi)討論思想可以在具體的解題過(guò)程發(fā)揮很大的作用。問(wèn)題可能有多種情況，只有抓住主要的因素，確定相關(guān)的變化條件和范圍，把握一些要素的發(fā)展方向，才可以根據(jù)不同的情況進(jìn)行相關(guān)的分類(lèi)討論，跟隨分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)解題思想。在使用這種思想的時(shí)候，就應(yīng)該樹(shù)立相關(guān)的分類(lèi)意識(shí)，確定該如何進(jìn)行分類(lèi)和研究，最終對(duì)分類(lèi)進(jìn)行相關(guān)的整合。分類(lèi)討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用有著很大的便利性。在這種思想的影響下，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力可以得到很好的提升。因?yàn)樵诟咧袝r(shí)期，很多知識(shí)相對(duì)抽象，所以解題中會(huì)存在很大的難度，通過(guò)提高自己的邏輯思維能力，可以對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行有效的把握，提高教學(xué)的有效性和精確度。另外，通過(guò)這種分類(lèi)討論思想，可以讓學(xué)生更好地解決相關(guān)的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題，從這里也可以看出來(lái)，這種思想可以在很大程度上提高學(xué)生解題的效率，增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)用能力。

分類(lèi)討論的思想對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的意義主要體現(xiàn)在：可以幫助學(xué)生形成相應(yīng)的邏輯思維能力，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度進(jìn)行思考。學(xué)生使用分類(lèi)討論的思想對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答，不僅可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)這種思維能力的使用，還可以增強(qiáng)學(xué)生在實(shí)際生活中邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。對(duì)于一些生活中的問(wèn)題，要找到恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，思考解題過(guò)程中的嚴(yán)謹(jǐn)性，答題的時(shí)候要一步步進(jìn)行，逐步推導(dǎo)。高中數(shù)學(xué)突破了一對(duì)一的答題模式，只有思考了每一種情況，才可以完整地完成相應(yīng)的題目，如果少考慮了一種分類(lèi)方式，就會(huì)影響最后的答題效果。

四、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

（一）在函數(shù)題目中的應(yīng)用

在解決函數(shù)類(lèi)的題目時(shí)，分類(lèi)討論的思想是一種很普通的思考方式。例如函數(shù)參數(shù)值發(fā)生了改變，最后的結(jié)果也會(huì)發(fā)生一定的改變。因此在解決關(guān)于函數(shù)的題目時(shí)，就需要使用更加科學(xué)的、有效的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題，從而對(duì)其中的參數(shù)值進(jìn)行全面綜合的考慮，從不同的側(cè)面思考和解決問(wèn)題，保證其解題的正確率，提高學(xué)生的自信心。

例如在學(xué)習(xí)“函數(shù)（x 不等于0）為一次函數(shù)，求k 的值”這種題目的時(shí)候，就可以運(yùn)用這種思想，進(jìn)行相關(guān)的討論。具體來(lái)說(shuō)，這個(gè)題目可以分成三種情況來(lái)分析。第一個(gè)，當(dāng)k＋3 是一次項(xiàng)系數(shù)的時(shí)候，那么2k+1＝1，而且滿(mǎn)足k+3+4 不等于0，這個(gè)時(shí)候，k＝0，也就是一次函數(shù)。第二個(gè)，當(dāng)?shù)臅r(shí)候，也就是函數(shù)的值為y＝4x-5 也滿(mǎn)足一次函數(shù)。第三個(gè)，當(dāng)k＋3＝0，k＝－3 的時(shí)候，同時(shí)也是為一次函數(shù)。需要注意的是，在具體的解題過(guò)程中，根據(jù)已經(jīng)知道的題目，就可以知道這個(gè)函數(shù)是一次項(xiàng)的，可以把系數(shù)分成一次項(xiàng)的系數(shù)、常數(shù)或者其他的情況進(jìn)行考慮。

（二）在概率題目中的運(yùn)用

在進(jìn)行概率這類(lèi)題目的運(yùn)算時(shí)，這種思想也可以被廣泛地運(yùn)用。這一類(lèi)的知識(shí)在高中數(shù)學(xué)中的比重很大，而且有一定的地位。在求解相關(guān)的題目時(shí)，需要從自己具體的情況進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)具體的問(wèn)題展開(kāi)分析，從而獲得最后的答案。首先，清晰地知道這個(gè)概率問(wèn)題屬于哪一個(gè)類(lèi)型的，然后要把相應(yīng)的數(shù)字進(jìn)行編排。其次，要使用分類(lèi)的思想把其中的變量進(jìn)行分類(lèi)、討論，保證他們是合理的。最后，還要根據(jù)這種思想求出相應(yīng)的結(jié)果，更好地解決其中的問(wèn)題，確保解題的速度和正確率。

例如在進(jìn)行火炬?zhèn)鬏數(shù)臅r(shí)候，一共有18 位火炬手，每一位火炬手的編號(hào)依次是1，2，3…18，從這些火炬手里面選擇三位，選擇的火炬手編號(hào)組成了一組等差數(shù)列，請(qǐng)問(wèn)里面公差是3 的概率是多少？在解決這組概率題目的時(shí)候，可以知道選擇的方式，選擇的火炬號(hào)應(yīng)該滿(mǎn)足相應(yīng)的條件。所以火炬手可以從1，4，7，10，13 里面進(jìn)行相應(yīng)的選擇，所以一共有1，4，7；4，7，10；7，10，13 和10，13，16 這四種情況，從中進(jìn)行相應(yīng)的選擇，然后再解釋其他的方式，得出滿(mǎn)足條件的一共有4+4+4＝12 種選擇方法，從中就可以知道相應(yīng)的概率值。

（三）在高中數(shù)列題目中的使用

在解決數(shù)列題目時(shí)，也可以很好地使用這種思想。例如在計(jì)算周期性問(wèn)題或者其他一些情況的時(shí)候，就可以使用這種思想。如題目：設(shè)等比數(shù)列的公比是q，而且前n 項(xiàng)的和是永遠(yuǎn)大于零，請(qǐng)問(wèn)q 的值是多少？對(duì)于這個(gè)題目，就應(yīng)該運(yùn)用這個(gè)思想進(jìn)行相應(yīng)的討論，把q 分成等于1 和不等于1 的兩種情況進(jìn)行相應(yīng)的討論，從而獲得正確的范圍取值。在數(shù)列的題目中使用分類(lèi)的思想，可以很好地提高解題的效率，尤其是在解決等比數(shù)列求和、數(shù)列周期性等方面的問(wèn)題上。學(xué)生在解決這種題目時(shí)，要積極地使用分類(lèi)討論的思想，提高解題的效率。

（四）在小組合作中深化討論

在解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，分類(lèi)討論思想可以在多個(gè)方面運(yùn)用，學(xué)習(xí)的形式也比較多樣，其中的小組合作就是一種特別有效的學(xué)習(xí)方法。教師應(yīng)該把分類(lèi)討論和小組合作結(jié)合起來(lái)，指導(dǎo)學(xué)生對(duì)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)討論，增強(qiáng)學(xué)生和學(xué)生之間的交流和合作，這樣不僅可以解決學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)遇到的問(wèn)題，還可以通過(guò)具體的討論研究獲得相應(yīng)問(wèn)題的答案。在使用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題的時(shí)候，小組合作的學(xué)習(xí)模式多樣化也可以讓學(xué)生通過(guò)對(duì)不等式和方程等舊的知識(shí)進(jìn)行不同分析的討論，或者可以將同一種類(lèi)型的考試題目放在一起分類(lèi)和歸納的辦法，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象。可以說(shuō)，分類(lèi)討論不僅適合解決一些具體的題型，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的每一個(gè)方面，具有很強(qiáng)的抽象性和具體化的特點(diǎn)。小組合作學(xué)習(xí)可以突破原來(lái)的學(xué)習(xí)模式，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

總之，在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，分類(lèi)討論思想有很大的作用，是一種很普遍且很有效的方法，可以明顯地提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，保證學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的準(zhǔn)確性，確保解題的速度。只有掌握了相應(yīng)的分類(lèi)討論思想標(biāo)準(zhǔn)，才可以切實(shí)增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。分類(lèi)討論思想可以從整體上提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和素養(yǎng)，教師應(yīng)該更好地在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透相應(yīng)的分類(lèi)思想，讓學(xué)生理解這種思想，從而應(yīng)用到具體的解題過(guò)程中。分類(lèi)思想是進(jìn)行高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)思想，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。在高中時(shí)期進(jìn)行分類(lèi)討論，可以幫助學(xué)生更好地樹(shù)立相關(guān)的數(shù)學(xué)邏輯思維，促進(jìn)他們的全面發(fā)展。