考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線的油藏?cái)?shù)值模擬方法*

付 強(qiáng) 杜志敏 王碩亮

（1.油氣藏地質(zhì)與開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 四川成都 610500； 2.西南石油大學(xué)石油與天然氣工程學(xué)院 四川成都 610500；3.中海油研究總院有限責(zé)任公司 北京 100028； 4.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京） 北京 100083）

相對(duì)滲透率曲線是油藏工程和數(shù)值模擬的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。目前油藏工程和數(shù)值模擬方法都認(rèn)為相對(duì)滲透率曲線和毛管力曲線僅是潤(rùn)濕相（非潤(rùn)濕相）飽和度的函數(shù)，并不受潤(rùn)濕相（非潤(rùn)濕相）流速的影響。眾多研究學(xué)者經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證已得到共識(shí)，穩(wěn)態(tài)法測(cè)試得到的兩相相對(duì)滲透率（非混相）曲線形態(tài)，不受流體流動(dòng)速度的影響[1-3]。Ekwere J Peters[4]指出：由于測(cè)試方法存在差異，在油藏工程計(jì)算和數(shù)值模擬計(jì)算過程中，如果實(shí)際儲(chǔ)層中的驅(qū)替過程與穩(wěn)態(tài)法測(cè)試過程相同，則在進(jìn)行油藏工程計(jì)算和數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)應(yīng)該采用穩(wěn)態(tài)法相對(duì)滲透率曲線；如果實(shí)際儲(chǔ)層中的驅(qū)替過程與非穩(wěn)態(tài)法測(cè)試過程相同，則在進(jìn)行油藏工程計(jì)算和數(shù)值模擬計(jì)算時(shí)應(yīng)該應(yīng)用非穩(wěn)態(tài)法相對(duì)滲透率曲線。顯然，非穩(wěn)態(tài)法測(cè)試得到的相對(duì)滲透率曲線應(yīng)用范圍更為廣泛。但是非穩(wěn)態(tài)法相對(duì)滲透率曲線會(huì)受到流體流動(dòng)速度的影響。Peters、Flock[5]指出，實(shí)際油藏的穩(wěn)定系數(shù)往往會(huì)大于10 000，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了穩(wěn)定驅(qū)替的臨界流速[6]，實(shí)際油藏?cái)?shù)值模擬時(shí)，應(yīng)該針對(duì)不同流速賦予不同的相對(duì)滲透率曲線。Leverett[7]提出，在室內(nèi)實(shí)驗(yàn)過程中，測(cè)量得到的相對(duì)滲透率曲線與流速是有關(guān)系的。Rapoport[8]通過大量室內(nèi)試驗(yàn)，證實(shí)了Leverett的觀點(diǎn)，認(rèn)為流體流動(dòng)速度越大，潤(rùn)濕相和非潤(rùn)濕相的相對(duì)滲透率數(shù)值越大。眾多研究學(xué)者（Avraam[9-10]、Avraam and Payatakes[11-12]、

Tsakiroglou[13]、Gutierez[14]、Tallakstad[15]、Erpelding[16]）利用相對(duì)滲透率曲線測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)混合潤(rùn)濕巖心進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試得到了驅(qū)替過程和吸入過程的相對(duì)滲透率曲線，認(rèn)為流速變化對(duì)驅(qū)替過程相對(duì)滲透率曲線和吸入過程相對(duì)滲透率曲線形態(tài)的影響規(guī)律是不同的，驅(qū)替過程中，相對(duì)滲透率曲線主要受到毛管指進(jìn)現(xiàn)象的影響，吸入過程中，相對(duì)滲透率曲線主要受到黏性指進(jìn)的影響。隨著先進(jìn)的無損檢測(cè)技術(shù)的發(fā)展，核磁共振技術(shù)和CT掃描技術(shù)在相對(duì)滲透率測(cè)試領(lǐng)域的應(yīng)用逐漸受到學(xué)者的重視。Krause[17-18]通過高精度的CT掃描，得到了巖心內(nèi)部的孔喉結(jié)構(gòu)分布，并利用圖像分析方法，得到了不同驅(qū)替速度的相對(duì)滲透率曲線，Krause指出相同滲透率的巖心，驅(qū)替速度不同得到相對(duì)滲透率曲線不同。Konstantin Romanenko[19]利用核磁共振技術(shù)，測(cè)試得到了不同流速的相對(duì)滲透率曲線，明確指出流速會(huì)對(duì)相對(duì)滲透率曲線的形態(tài)產(chǎn)生影響，并且根據(jù)大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出了相對(duì)滲透率測(cè)試的合理流速范圍。

實(shí)際油田地下儲(chǔ)藏的流體流動(dòng)速度的分布范圍較廣，水相流速最小值接近0，而水相流速最大值約為25 m／d，最大水相流速與最小水相流速相差很大。當(dāng)油井高速開采后，流體的流動(dòng)速度在空間上的分布變得更加不均勻。所以，常規(guī)方法測(cè)試得到的相對(duì)滲透率曲線（測(cè)試流速單一），已不能滿足油田開發(fā)的實(shí)際要求。尤其針對(duì)海上油田，單井產(chǎn)能高，流體流動(dòng)速度對(duì)相對(duì)滲透率曲線的影響已不可忽略，必須考慮低速、高速條件下相對(duì)滲透率曲線的獲取及應(yīng)用。

1 不同流速條件下相對(duì)滲透率測(cè)試實(shí)驗(yàn)

1.1 巖心流體和測(cè)試設(shè)備

實(shí)驗(yàn)設(shè)備包括注入控制系統(tǒng)、溫度壓力控制系統(tǒng)、巖心加持系統(tǒng)、出口回壓控制系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等5個(gè)模塊以及Lab View實(shí)驗(yàn)控制軟件。實(shí)驗(yàn)裝置示意圖如圖1所示。

實(shí)驗(yàn)采用非穩(wěn)態(tài)相對(duì)滲透率曲線測(cè)試方法。為了避免測(cè)試過程中流體流動(dòng)對(duì)巖心孔喉結(jié)構(gòu)的傷害，本次實(shí)驗(yàn)用巖心為5塊真實(shí)巖心，分別來自中國(guó)海上某油田4口提液井（A井、B井、C井、D井），其中，A井取心2塊（1、2號(hào)巖心滲透率分別為958、1 573 mD），B井取心1塊（巖心滲透率為479 mD），C井取心1塊（巖心滲透率為1 198 mD），D井取心1塊（巖心滲透率為2 265 mD）。巖心潤(rùn)濕性都為中性潤(rùn)濕；巖心直徑為2.5 cm，巖心長(zhǎng)度為10～15 cm，巖心孔隙度為0.25～0.32，具體參數(shù)見表1。

圖1 動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線測(cè)試實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.1 Dynamic relative permeability curve test device

表1 動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線測(cè)試實(shí)驗(yàn)參數(shù)Table1 Parameters of dynamic relative permeability curves

1.2 測(cè)試步驟

相對(duì)滲透率曲線測(cè)試實(shí)驗(yàn)步驟如下：

1）巖心抽真空，飽和地層水；

2）將巖心放入恒溫箱中，排空閥門及管線，并聯(lián)接好流程，在20℃下恒溫10 h；

3）飽和原油，記錄出口端產(chǎn)水量；

4）老化24 h后，將裝滿實(shí)驗(yàn)用水的容器抽空15 min；

5）將地層水注入，采用非穩(wěn)態(tài)恒壓法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)；

6）記錄出口端產(chǎn)油量和產(chǎn)水量，實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出口端含水率大于99.95%或者累積注水50 PV時(shí)結(jié)束；

7）繪制相對(duì)滲透率曲線；

8）變化驅(qū)替速度，重復(fù)上述過程。

實(shí)驗(yàn)用油是原油和柴油復(fù)配的混合液體，黏度為10 mPa·s；實(shí)驗(yàn)用水礦化度為4 000 mg／L，黏度為1.0 mPa·s；實(shí)驗(yàn)用油和水的黏度分別為3、0.59 mPa·s。

1.3 實(shí)驗(yàn)方案

采用不同驅(qū)替速度進(jìn)行相對(duì)滲透率曲線測(cè)試，為了保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠表征儲(chǔ)層中的流體流動(dòng)狀態(tài)，采用相似準(zhǔn)則和數(shù)值模擬2種方法，對(duì)相對(duì)滲透率曲線的測(cè)試流速進(jìn)行了論證（表2）。選用中國(guó)海油某油藏實(shí)際溫度60℃進(jìn)行測(cè)試。

表2 動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線測(cè)試流速論證表Table2 Velocity calculation results of dynamic relative permeability curve test

1.4 不同驅(qū)替速度相對(duì)滲透率測(cè)試結(jié)果

通過對(duì)5塊巖心不同驅(qū)替速度的非穩(wěn)態(tài)相對(duì)滲透率測(cè)試，得到了5塊巖心不同驅(qū)替速度條件下的相對(duì)滲透率曲線并計(jì)算巖心的驅(qū)油效率。

從5塊巖心的測(cè)試結(jié)果（圖2）可以看出，由于相對(duì)滲透率曲線測(cè)試的驅(qū)替速度不同，相對(duì)滲透率曲線形態(tài)差異明顯；并且有3組巖心相對(duì)滲透率曲線形態(tài)存在一個(gè)共同的規(guī)律，當(dāng)流速小于1 mL／min時(shí)，隨驅(qū)替速度的增加，水相、油相相對(duì)滲透率均增加，殘余油飽和度降低；當(dāng)流速大于1 m L／min時(shí)，隨驅(qū)替速度的增加，水相、油相相對(duì)滲透率均降低。

利用相對(duì)滲透率曲線計(jì)算得到巖心的驅(qū)油效率曲線，從驅(qū)油效率曲線（圖2）可以看出，巖心絕對(duì)滲透率越大，驅(qū)油效率越高。巖心滲透率相同時(shí)，隨著驅(qū)替速度的增加，驅(qū)油效率先增加后降低。以滲透率等于1 573 mD的5組巖心驅(qū)油效率結(jié)果（圖2b）為例，可以看到，當(dāng)驅(qū)替速度等于1 m L／min時(shí)，驅(qū)油效率達(dá)到極大值。其他滲透率的巖心測(cè)試結(jié)果也存在類似規(guī)律，說明在制定提液措施時(shí)，提液幅度并不是越大越好，而是存在一個(gè)最優(yōu)值，最佳的提液幅度應(yīng)該結(jié)合儲(chǔ)層物性、儲(chǔ)層非均質(zhì)性和剩余油分布狀態(tài)進(jìn)行綜合分析。關(guān)于驅(qū)替速度對(duì)驅(qū)油效率的影響規(guī)律，目前很多學(xué)者也發(fā)現(xiàn)了相似的結(jié)論[20-22]。

圖2 5塊巖心動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線與驅(qū)油效率測(cè)試結(jié)果Fig.2 Test results of dynamic relative permeability curve and oil displacement efficiency of 5 cores

將滲透率相近的5塊巖心的所有相對(duì)滲透率曲線測(cè)試結(jié)果進(jìn)行匯總，將油相相對(duì)滲透率或者水相相對(duì)滲透率作為因變量，將驅(qū)替速度（V）和含水飽和度（Sw）作為自變量，采用多元非線性回歸方法，分別對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到了表征動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率新型函數(shù)。

當(dāng)滲透率小于500 mD時(shí)：

當(dāng)滲透率大于500 mD小于1 000 mD時(shí)：

當(dāng)滲透率大于1 000 m D時(shí)：

2 考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率曲線的油藏?cái)?shù)值模擬方法

目前常用的數(shù)值模擬方法中，相對(duì)滲透率曲線是“靜態(tài)”的，油相和水相的相滲透率只是含水飽和度的函數(shù)。靜態(tài)相對(duì)滲透率曲線不能很好地反映變流速條件下的油水兩相運(yùn)移規(guī)律。根據(jù)上述研究成果建立動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率計(jì)算公式，并代入到傳統(tǒng)的數(shù)值模擬器中，對(duì)傳統(tǒng)數(shù)值模擬器進(jìn)行了修正。

以油水兩相黑油模型為基礎(chǔ)，將水相、油相運(yùn)動(dòng)方程中的靜態(tài)相對(duì)滲透率替換為動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率，對(duì)建立的新型油相、水相運(yùn)動(dòng)方程開展差分求解?？紤]動(dòng)態(tài)對(duì)滲透率曲線的數(shù)值模擬模型的前提假設(shè)條件為：

1）油藏內(nèi)共有油、水兩相；

2）油水之間沒有質(zhì)量交換；

3）流體流動(dòng)規(guī)律符合達(dá)西流動(dòng)；

4）油藏內(nèi)溫度恒定不變；

5）瞬時(shí)相平衡。

油、水兩相模型滲流控制方程如下，其中

油相：

水相：

式（4～5）中：γo=ρog；γw=ρwg。

則油相控制方程的差分離散方程式可簡(jiǎn)寫為

水相控制方程的差分離散方程式可簡(jiǎn)寫為

3 數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證

3.1 數(shù)值模擬基本參數(shù)

根據(jù)上述理論方程的計(jì)算過程編寫代碼，建立考慮動(dòng)態(tài)毛管力和動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率的數(shù)值模擬計(jì)算程序。利用理想的一注一采模型，分析常規(guī)數(shù)值模擬和考慮動(dòng)態(tài)毛管力、動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬的差異。數(shù)值模擬模型的基礎(chǔ)取值如表3所示。

表3 數(shù)值模擬基礎(chǔ)參數(shù)取值Table3 Basic parameters of numerical simulation

3.2 均質(zhì)模型計(jì)算結(jié)果

為了分析動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率對(duì)數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果帶來的影響，利用本文所述的數(shù)值模擬器考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率和不考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率2種模式，計(jì)算得到油井含水95%時(shí)的含水飽和度分布結(jié)果（圖3）。

圖3 油井含水率95%時(shí)傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法與本文新方法含水飽和度分布對(duì)比Fig.3 Comparison of water saturation distribution of traditional numerical simulation method and new method when water cut of oil well is 95%

沿著注入井和采出井的連線方向提取了含水飽和度數(shù)值，得到了油井高含水時(shí)（油井含水率達(dá)到95%）的含水飽和度沿著注采井方向的數(shù)值（圖4）。

圖4 油井含水率95%時(shí)注采井連線含水飽和度數(shù)值Fig.4 Water saturation value on the line of injection well and production well when the water cut of oil well is 95%

從圖4可以看出，油井含水率95%時(shí)，由于油井附近存在含水飽和度上翹的現(xiàn)象，考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率與不考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率的計(jì)算結(jié)果存在較大差異。水井端附近，含水飽和度和含水飽和度梯度都較高；油井端附近，含水飽和度和含水飽和度梯度也較高；油水井間的含水飽和度低于生產(chǎn)井和注入井附近的含水飽和度，含水飽和度剖面呈現(xiàn)出一個(gè)與壓力剖面類似的“漏斗”形態(tài)。

均質(zhì)模型油井的含水率曲線見圖5。對(duì)比考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬器的含水率曲線和不考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率的含水率曲線，可以看到，2種方法計(jì)算得到的見水時(shí)間相同。2條含水率曲線的差異主要體現(xiàn)在含水快速上升段，考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的含水率略高于不考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算值。在高含水階段，考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的含水率上升速度緩慢，與傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法計(jì)算得到含水率逐漸接近，但始終高于傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的含水率。

圖5 均質(zhì)模型油井含水率曲線對(duì)比圖Fig.5 Comparison chart of water cut curve of homogeneous model oil well

3.3 數(shù)值模擬計(jì)算結(jié)果的驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法的準(zhǔn)確性，建立了實(shí)際井的數(shù)值模擬模型。選擇中國(guó)海上某油田A6H和B1井作為實(shí)例驗(yàn)證的單井，分別利用傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法和本文方法對(duì)A6H和B1井?dāng)?shù)值模擬模型進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算，得到的單井含水率曲線如圖6、7所示。

通過對(duì)比A6H井實(shí)際含水率曲線和數(shù)值模擬計(jì)算得到的含水率曲線可以看到，本文方法計(jì)算得到的含水率曲線與實(shí)際生產(chǎn)曲線更為接近，說明本文方法具有較高的準(zhǔn)確性和可靠性。

圖6 中國(guó)海上某油田A6H單井含水率曲線Fig.6 Water cut curve of Well A6H in a China offshore oilfield

圖7 中國(guó)海上某油田B1井提液后含水率曲線Fig.7 Water cut curve of Well B1 in a China offshore oilfield after enhanced liquid measurement

從圖7可以看出，B1井在2011年10月8日和2012年1月2日分別進(jìn)行了2次提液措施，B1井提液后，含水率曲線出現(xiàn)了2次先下降后上升的“漏斗”形態(tài)，采用傳統(tǒng)數(shù)值模擬方法，無法精細(xì)描述提液后含水下降的現(xiàn)象；采用本文提出方法，可以相對(duì)準(zhǔn)確的擬合出“漏斗”形態(tài)。通過實(shí)際B1井的模型，說明本文方法可以有效描述油井提液后的含水率變化。

4 結(jié)論

1）以中國(guó)海上某油田儲(chǔ)層實(shí)際巖心為研究對(duì)象，開展了5個(gè)驅(qū)替速度條件下的非穩(wěn)態(tài)相對(duì)滲透率曲線測(cè)試實(shí)驗(yàn)。分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，驅(qū)替速度越大，水相、油相相對(duì)滲透率數(shù)值均先變大后變小，存在臨界流速，當(dāng)驅(qū)替速度等于臨界流速時(shí)，巖心的產(chǎn)液指數(shù)數(shù)值最大。

2）將水相、油相控制方程中的靜態(tài)相對(duì)滲透率計(jì)算方法更改為動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率計(jì)算方法，對(duì)考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率的基本控制方程進(jìn)行了差分求解，在每個(gè)時(shí)間步計(jì)算相對(duì)滲透率時(shí)，綜合考慮了該時(shí)間步流體流動(dòng)速度和含水飽和度對(duì)相對(duì)滲透率的影響。建立了新型的能夠考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率的數(shù)值模擬器。

3）利用平面均質(zhì)模型，分析了本文方法與靜態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法的計(jì)算結(jié)果差異，發(fā)現(xiàn)考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率會(huì)增加油井附近和水井附近的含水飽和度，考慮與不考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的見水時(shí)間相似，考慮動(dòng)態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的含水率高于靜態(tài)相對(duì)滲透率數(shù)值模擬方法計(jì)算得到的含水率。

4）經(jīng)過與物理模擬方法和實(shí)際生產(chǎn)數(shù)據(jù)的對(duì)比，說明本數(shù)值模擬器準(zhǔn)確可靠。

符號(hào)注釋

Sw—含水飽和度，f；

So—含油飽和度，f；

T—時(shí)間，s；

K—滲透率，mD；

Kro—油相相對(duì)滲透率，無因次；

Krw—水相相對(duì)滲透率，無因次；

Krod—?jiǎng)討B(tài)油相相對(duì)滲透率，無因次；

Krwd—?jiǎng)討B(tài)水相相對(duì)滲透率，無因次；

V—驅(qū)替速度，m／s；

ρ—密度，kg／m3；

μ—黏度，Pa·s；

p—壓力，Pa；

γ—重度，N／m3；

D—網(wǎng)格所在高度，m；

q—產(chǎn)量，m3／d；

φ—孔隙度，f；

RK—滲透率下降系數(shù)；

i，j，k—表示x軸、y軸、z軸方向上的網(wǎng)格序數(shù)；

n—時(shí)間步長(zhǎng)；

T—傳導(dǎo)率，kg／（mPa·s）；

Φn+1o—第n+1個(gè)時(shí)間步的油相的勢(shì)，m2／s；

Φn+1w—第n+1個(gè)時(shí)間步的水相的勢(shì)，m2／s。