基于Weibull云模型的陀螺輸出可靠性分析

王 琪，秦偉偉，沈 強，鄒細剛，吳 艷

（1.中國人民解放軍96901 部隊，北京 100094；2.火箭軍工程大學(xué)，西安 710025）

在傳統(tǒng)的慣性元件輸出可靠性分析方法中，一般需要給出儀器的失效數(shù)據(jù)[1]，但是對于長壽命陀螺如半球諧振陀螺，在正常條件下很難得到其失效數(shù)據(jù)，因此研究無失效數(shù)據(jù)的陀螺輸出可靠性分析逐漸成為熱點。無失效數(shù)據(jù)的陀螺可靠性分析具有數(shù)據(jù)樣本少、數(shù)據(jù)變化規(guī)律不明顯等特點[2]，傳統(tǒng)的基于確定模型的穩(wěn)定性分析方法不再適用，因此本文提出了一種基于概率統(tǒng)計的陀螺輸出可靠性分析方法。

云模型是李德毅院士于1995年在模糊數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)上提出的定性定量互換模型，云模型綜合考慮了模糊性、隨機性以及二者之間的關(guān)聯(lián)性，并通過云發(fā)生器實現(xiàn)了定性概念與定量數(shù)值之間的自然轉(zhuǎn)換[3]。目前云模型主要應(yīng)用于預(yù)測、綜合評價、算法改進和知識表示等領(lǐng)域。盡管實驗證明，以正態(tài)分布和正態(tài)隸屬函數(shù)為基礎(chǔ)的云模型對于社會自然科學(xué)的各個分支具有普適性[4]，但在一些特定的領(lǐng)域，正態(tài)分布和正態(tài)隸屬函數(shù)并不能充分有效地描述被研究對象的特性，因此需要對特定領(lǐng)域特定分布的云模型推理規(guī)則進行探討。

在討論儀器壽命分布和輸出可靠性的時候，Weibull 分布是應(yīng)用得最為廣泛的一種分布形式[5]，它是1993年由Weibull 首次引入的。許多類型的產(chǎn)品，在涉及壽命問題時都廣泛提倡運用Weibull 分布，它可用來作為多種類型產(chǎn)品的壽命分布模型。Weibull分布有二參數(shù)、三參數(shù)兩種情形，三參數(shù)的比二參數(shù)的多一個位置參數(shù)，它對應(yīng)實際中產(chǎn)品壽命的一個下限[6]。另外，其它的壽命分布，如指數(shù)分布（單、雙參數(shù)）、極值分布都為Weibull 分布的特例或變形形式，從而研究它就顯得尤為重要。本文推導(dǎo)了Weibull 云模型的推理規(guī)則、參數(shù)估計方法和Weibull 云發(fā)生器構(gòu)造方法，在此基礎(chǔ)上提出了一種基于Weibull 云模型的陀螺輸出可靠性分析方法。

1 Weibull 分布及其特征

1.1 Weibull 隸屬函數(shù)

為了便于推導(dǎo)，本文主要討論二參數(shù)形式的Weibull 分布，三參數(shù)形式的Weibull 云模型可以根據(jù)二參數(shù)形式的直接得到[7]。二參數(shù)Weibull 分布的分布函數(shù)為[8]:

式中，β＞ 0，η＞ 0，β為形狀參數(shù)，η為尺度參數(shù)，記為X～Wei(η,β)。其密度函數(shù)為:

特別的，當(dāng)β=1時，Weibull 分布就退化為指數(shù)分布。

根據(jù)Weibull 分布的密度函數(shù)，給出Weibull 隸屬函數(shù)的表達形式為:

式中，c為待確定的常數(shù)。

根據(jù)隸屬度函數(shù)的定義可知，隸屬度函數(shù)的最大值必須等于1[9,10]。由此可以確定常數(shù)c的值。

1.2 Weibull 云模型的數(shù)字特征

云主要反映了客觀世界中定性概念的兩種不確定性:模糊性（邊界的亦此亦彼性）和隨機性（發(fā)生的概率），并用語言值表示出這兩種不確定性，將兩者定量表示出來，構(gòu)成定性和定量相互的映射[11]。Weibull隸屬云中隱含了三次 Weibull 分布規(guī)律，記作Wei3(η,β,γ)。其中η、β、γ分別稱為Weibull 隸屬云的尺度參數(shù)、形狀參數(shù)和超形狀參數(shù)，是用來表征Weibull 隸屬云的三個數(shù)字特征值。根據(jù)文獻[4]中的關(guān)于模糊概念“青年”的一組隸屬度數(shù)據(jù)，來說明不同參數(shù)對Weibull 隸屬度的影響。

（1）尺度參數(shù)η:決定了論域中最典型的樣本值x0的大小，當(dāng)x=x0時，其隸屬度為1，也就是Weibull隸屬云的最高點，不同的η值對Weibull 隸屬云的影響如圖1所示；

圖1 不同的η 值對Weibull 隸屬云的影響Fig.1 Effect on Weibull membership cloud of differentη

（2）形狀參數(shù)β:是概念描述的模糊度，其值越大，該概念能夠接受的數(shù)值范圍就越大，概念就越模糊，不同的β值對Weibull 隸屬云的影響如圖2所示；

圖2 不同的β 值對Weibull 隸屬云的影響Fig.2 Effect on Weibull membership cloud of different β

（3）超形狀參數(shù)γ:反映了同一樣本值對模糊概念的隸屬度的隨機性，其值越小，隨機性越大，反應(yīng)在隸屬云圖上就是γ越小，隸屬云的云層越“厚”，如圖3所示。

因此，Weibull 隸屬云中隱含的三次Weibull 分布規(guī)律為:反映模糊概念亦此亦彼性的隸屬云曲線服從Weibull 分布規(guī)律；同一樣本值對應(yīng)的不同的隸屬度服從 Weibull 分布規(guī)律；隸屬云厚度變化規(guī)律服從Weibull 分布。

圖3 不同的γ 值對Weibull 隸屬云的影響Fig.3 Effect on Weibull membership cloud of differentγ

1.3 Weibull 云模型的參數(shù)估計

（1）二參數(shù)Weibull 分布的參數(shù)“矩型”估計

首先給出 Weibull 分布的幾個性質(zhì)[8]。設(shè)X～Wei(η,β)，則有:

式中，C為歐拉常數(shù)； Γ (?)為 Gamma 函數(shù)，

對于總體分布X～Wei(η,β)，X1,X2,…,Xn為其一個完全樣本，稱 lnX1,lnX2,…,lnXn為其對數(shù)樣本。利用性質(zhì)1）、2），由矩估計方法有:

可得:

由式(5)定義的和基于對數(shù)樣本，所以它們是矩估計的推廣，稱為“矩型”估計。

（2）Weibull 云模型的參數(shù)估計

由前面分析已知，Weibull 隸屬云中隱含了三次Weibull 分布規(guī)律，分別是:所有樣本點服從Weibull分布，即X～Wei(η,β')；形狀參數(shù)β'服從Weibull 分布，即β' ～Wei(β,γ)；同一樣本點的不同隸屬度值μi服從Weibull 分布，即μ～Wei(β,γ)。根據(jù)前兩次Weibull 分布規(guī)律就可以估計出Weibull 隸屬云的參數(shù)(η,β,γ)，具體方法如下:

根據(jù)Weibull 分布的性質(zhì)3）、4）可知:

下面給出Gamma 函數(shù)的三個性質(zhì)[12]:

夢想，是人生最不朽的財富。因為夢想，毛澤東才能做到天塹變通途；因為夢想，簡·愛才能在卑微的現(xiàn)實中贏得珍貴的愛情；因為夢想，司馬遷才能在受宮刑之大辱后堅持創(chuàng)作出了“史家之絕唱，無韻之《離騷》”的偉大著作《史記》。夢想的光芒是如此燦爛輝煌，像遠方長明的燈塔，指引著我們在人生的航行中乘風(fēng)破浪！

聯(lián)解方程組（8）（9），可得γ的方程式為:

解得γ之后，可得:

2 Weibull 云模型推理規(guī)則

2.1 Weibull 云發(fā)生器

為了實現(xiàn)定量數(shù)值與定性概念之間的轉(zhuǎn)換,需要構(gòu)造Weibull 云發(fā)生器。根據(jù)不同的生成條件，主要有4 種Weibull 云發(fā)生器:正向Weibull 云發(fā)生器、X條件Weibull 云發(fā)生器、Y 條件Weibull 云發(fā)生器和逆向Weibull 云發(fā)生器[13,14]。下面主要介紹正向Weibull云發(fā)生器和逆向Weibull 云發(fā)生器。

（1）正向Weibull 云發(fā)生器

正向Weibull 云發(fā)生器是一個前向的過程，輸入3個Weibull云的數(shù)字特征(η,β,γ)以及需要生成的云滴數(shù)，就可以生成云滴drop(xi,μi)。圖4是正向Weibull云發(fā)生器的示意圖。

圖4 正向Weibull 云發(fā)生器Fig.4 Weibull cloud generator

正向Weibull 云發(fā)生器的生成算法步驟如下:

1）以β為尺度參數(shù)，γ為形狀參數(shù)，生成一個Weibull 隨機數(shù)β'=wblrnd(β,γ)；

2）以η為尺度參數(shù)，β'為形狀參數(shù)，生成一個Weibull 隨機數(shù)xi=wblrnd(η,β')；

3）計算

4）重復(fù)1）-3）步驟，直至生成需要的n 個云滴xi或表示為drop(xi,μi)。

（2）逆向Weibull 云發(fā)生器

逆向Weibull 云發(fā)生器是正向Weibull 云發(fā)生器的逆過程，它的輸入是一定數(shù)量的符合Weibull 云模型分布的云滴（只需云滴數(shù)量n＞10 就可以較準(zhǔn)確地估計參數(shù)，且誤差小于0.01），輸出即為該Weibull 云模型所對應(yīng)的3 個數(shù)字特征(η,β,γ)。圖5是逆向Weibull云發(fā)生器的示意圖。

圖5 逆向Weibull 云發(fā)生器Fig.5 Weibull backward cloud generator

逆向Weibull 云發(fā)生器的生成算法步驟如下:

1）輸入樣本點xi，根據(jù)式（4）計算得到尺度參數(shù)η；

2）解方程式（10），得到超形狀參數(shù)γ；

3）根據(jù)式（11）得到形狀參數(shù)β。

2.2 Weibull 云的統(tǒng)計分析

β'服從以β為尺度參數(shù)、γ為形狀參數(shù)的Weibull分布，β'的概率密度為[17]

x服從以η為尺度參數(shù)、β'為形狀參數(shù)的Weibull分布，x的概率密度為

根據(jù)式(12)和(13)可得，云滴的概率密度分布函數(shù)為

當(dāng)γ=0時，Weibull 云模型就退化為普通的Weibull 分布。

3 基于Weibull 云模型的輸出可靠性分析方法

根據(jù)Weibull 云模型的參數(shù)估計方法和推理規(guī)則，下面給出基于Weibull 云模型的輸出可靠性分析方法步驟如下：

1）采集得到分析對象在一定時間內(nèi)的輸出序列；

2）對采集得到的輸出進行統(tǒng)計分析，判斷其輸出分布是否符合Weibull 分布的規(guī)律，若符合，則可以用該方法進行輸出可靠性分析；

3）利用采集得到的輸出數(shù)據(jù)根據(jù)式（4）、（10）和（11）進行參數(shù)估計，得到Weibull 預(yù)測云模型的三個參數(shù)η、β和γ；

4）利用建立的Weibull 預(yù)測云模型對分析對象一段時間內(nèi)的輸出進行預(yù)測，利用預(yù)測數(shù)據(jù)分析其在一段時間內(nèi)的輸出可靠性。

4 陀螺輸出可靠性分析實例

圖6 陀螺儀輸出歷史數(shù)據(jù)Fig.6 Output data of gyro

為了檢驗本文提出方法的適用性，現(xiàn)運用某型半球諧振陀螺的輸出歷史數(shù)據(jù)進行Weibull 云模型建模，通過建立的Weibull 云模型來分析該半球諧振陀螺的輸出可靠性。陀螺儀輸出數(shù)據(jù)如圖6所示。

從圖6可以看出，陀螺儀的輸出數(shù)據(jù)變化較小，而且沒有明顯的變化趨勢，也沒有出現(xiàn)失效數(shù)據(jù)，常用的可靠性分析方法很難對其進行分析，因此建立其Weibull 云模型，通過模糊數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計的方法對其輸出進行分析。

4.1 Weibull 云的統(tǒng)計分析

為了檢驗該輸出數(shù)據(jù)的大致分布，畫出其頻率直方圖如圖7所示。

圖7 輸出數(shù)據(jù)的頻率直方圖Fig.7 Frequency histogram of output data

從圖7中可以看出，輸出數(shù)據(jù)頻率的峰值并不是在輸出范圍的中心，而是略有偏移。因此可知，該輸出數(shù)據(jù)的分布與Weibull 分布更加類似而不是正態(tài)分布。因此運用Weibull 云模型來對該輸出數(shù)據(jù)進行分析更加適合。

4.2 Weibull 云模型建模與分析

構(gòu)造逆向Weibull 云發(fā)生器，將陀螺儀輸出數(shù)據(jù)作為輸入，可以得到該Weibull 云模型的三個參數(shù):尺度參數(shù)η=3.7363×1 0-4，形狀參數(shù)β=35.6629，超形狀參數(shù)γ=3.3228。

構(gòu)造正向Weibull 云發(fā)生器，將得到的三個參數(shù)輸入云發(fā)生器中，令n=200，得到200 個云滴的云圖如圖8所示。

需要指出的是，圖8表示的并不是陀螺儀的實際輸出，而是200 個預(yù)測數(shù)據(jù)的分布概率[15]。以陀螺儀輸出原始數(shù)據(jù)的閾值，即 [2.9×10-4,4.2×10-4]mV 作為陀螺儀輸出的正常范圍，當(dāng)預(yù)測數(shù)據(jù)超出該范圍時，認為該陀螺儀不再處于穩(wěn)定期。考慮到云模型輸出的不確定性，共進行了100 次蒙特卡洛仿真，每次預(yù)測數(shù)據(jù)量均為200。仿真結(jié)果表明，預(yù)測數(shù)據(jù)超出穩(wěn)定值范圍的平均概率為0.5%，由于測試的采樣間隔為1天，可以認為，在200 天的時間內(nèi)，該陀螺儀處于輸出穩(wěn)定期的概率為99.5%。

圖8 輸出的Weibull 隸屬云圖Fig.8 Figure of output Weibull membership cloud

為了更加準(zhǔn)確地描述半球諧振陀螺儀的輸出可靠性，引入了統(tǒng)計學(xué)上“置信度”的概念。在統(tǒng)計學(xué)上，置信度定義為:估計值與總體參數(shù)在一定允許的誤差范圍以內(nèi)，其相應(yīng)的概率有多大，這個相應(yīng)的概率稱作置信度。在這里，置信度是指半球諧振陀螺的輸出穩(wěn)定在預(yù)定的穩(wěn)定值范圍內(nèi)的概率，也就是說，該陀螺儀以99.5%的置信度達到200 天的輸出可靠期。

有關(guān)文獻指出，半球諧振陀螺的輸出可靠期可以達到3-5年[16]，也就是1095-1825 天左右。經(jīng)計算可得，該半球諧振陀螺處于3年可靠期的概率為97.29%，處于5年可靠期的概率為95.53%。也就是說，該半球諧振陀螺以97.29%的置信度達到3年的輸出可靠期，以95.53%的置信度達到5年的輸出可靠期，基本符合實際使用的要求。

從該算例可以看出，Weibull 云模型綜合考慮了陀螺儀輸出的規(guī)律性和不確定性，能夠?qū)ψ兓?guī)律不明顯的陀螺儀輸出進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果符合實際，證明了本文提出方法的適用性。

5 結(jié) 論

1）在對模糊概念進行描述時，相較于其他的隸屬度函數(shù)，Weibull 隸屬度函數(shù)擬合的殘差平方和更小、精度更高，因此Weibull 隸屬度函數(shù)可以用作云模型的推理規(guī)則基礎(chǔ)。

2）半球諧振陀螺在一定時間內(nèi)的輸出與Weibull分布更加類似而不是正態(tài)分布，因此運用Weibull 云模型來對該輸出數(shù)據(jù)進行分析更加適合。

3）利用Weibull 云模型對半球諧振陀螺的輸出進行可靠性分析，得出該半球諧振陀螺以97.29%的置信度達到3年的輸出可靠期，以95.53%的置信度達到5年的輸出可靠期，基本符合實際使用的情況，證明了本文提出方法的適用性。

為證明本文提出方法的通用性，還需要對更多不同類型的數(shù)據(jù)進行分析驗證，以及與其他相類似的概率分析方法進行比較分析。