最小二乘法在洞頭區(qū)極大風速訂正預報中的應用*

武豐民 吳舒婷

(1.浙江省氣象科學研究所,浙江 杭州 310008;2.溫州市洞頭區(qū)氣象局,浙江 溫州 325700)

0 引 言

目前，準確的近地面風速預報對生產(chǎn)生活越發(fā)重要，尤其在海上航行、重大活動以及風力發(fā)電中，風速預報都發(fā)揮著關鍵作用。以洞頭區(qū)為例，當極大風達到7級以上時，部分船只需要停航。因此精確的風速預報對該地區(qū)的島際交通有很大影響。

風速預報主要有動力和統(tǒng)計兩種方法[1]。動力方法也稱物理方法，一般指數(shù)值預報或者利用動力模塊對數(shù)值產(chǎn)品進行解釋應用。由于近地面風場不僅受大尺度環(huán)流影響，而且對地表高程和地表粗糙度等因素也非常敏感，一般中尺度模式的風速預報往往存在較大誤差[2]。即使是利用診斷模塊對模式產(chǎn)品進行動力降尺度，在初始場質(zhì)量較差的情況下，也很難得到滿意的結果。統(tǒng)計方法包括傳統(tǒng)統(tǒng)計[3-4]和機器學習[5]等方法，主要根據(jù)歷史數(shù)據(jù)之間的統(tǒng)計規(guī)律對預報產(chǎn)品進行訂正，該方法可以有效減小模式的系統(tǒng)誤差，對一些模式無法直接預報的要素(如極大風速)，也可以通過統(tǒng)計擬合得到。

最小二乘法通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，是最常用的曲線擬合方法。利用最小二乘法可以簡便地求得未知數(shù)據(jù)，并使得這些數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。由于最小二乘法一般是針對站點建立模型，那么訂正模型在不同站點的表現(xiàn)如何，建立一個穩(wěn)定的模型需要多少樣本，將不同風速的樣本進行分段建模是否比將所有樣本直接建模具有更好的效果？這些是在進行最小二乘擬合試驗時必須考慮的問題。本文以洞頭區(qū)極大風速為例，利用最小二乘法對浙江快速更新同化系統(tǒng)生成的模式預報結果進行訂正試驗，檢驗最小二乘法在該地區(qū)的使用效果，并試驗了樣本長度和分段建模對結果的影響。該研究對最小二乘法在風速訂正中的應用具有一定參考意義。

1 資料和方法

本文研究區(qū)域為27.6°～28.1°N、120.8°～121.4°E，包含了溫州市洞頭區(qū)及其周邊部分區(qū)域。觀測數(shù)據(jù)來自該區(qū)域內(nèi)37個自動站的逐小時極大風資料。對觀測數(shù)據(jù)做簡單質(zhì)量控制，主要是去掉缺測和風速為0的站點。

本文的數(shù)值模式資料采用了浙江快速更新同化系統(tǒng)(Zhejiang WRF-ADAS Rapid Refresh System，ZJWARRS)的風場預報結果。該系統(tǒng)用ADAS系統(tǒng)同化了探空觀測和地面氣象站等觀測資料，提供高質(zhì)量的預報初始場，并用WRF模式向前積分進行預報，每次預報24 h。WRF模式選用雙重嵌套方案，大區(qū)域和小區(qū)域的水平分辨率分別為9 km和3 km[6]。本文所用的結果為3 km分辨率的預報結果，下文將該結果簡稱為ZJWARRS結果。

利用2018年12月到2019年6月共7個月的歷史資料進行最小二乘擬合，模式資料選取08時起報、12 h預報時效的ZJWARRS結果，觀測資料則利用相應時刻的極大風資料，針對37個站點、12個預報時效建立37×12個統(tǒng)計模型。

最小二乘擬合采用NCL軟件中的函數(shù)(http://www.ncl.ucar.edu/Document/Functions/Built-in/lspoly.shtml)，權重系數(shù)設為1，即所有樣本的權重相同。返回參數(shù)的個數(shù)設為3，即擬合方程為2次函數(shù)。假設x為ZJWARRS結果，y為觀測結果，則擬合系數(shù)C=lspoly(x,y,1,3)。得到擬合系數(shù)后，利用該系數(shù)對2019年7—9月共3個月的ZJWARRS結果進行訂正：

Y訂正=C(0)+C(1)×x+C(2)×x2

2 結 果

2.1 最小二乘建模的效果

圖1顯示了ZJWARRS預報與最小二乘擬合的風速散點分布，橫坐標為觀測，縱坐標則為ZJWARRS(圖1a)或擬合值(圖1b)，實線代表觀測與預報相等，散點在實線上方代表預報結果比觀測大，反之則代表預報比觀測小。由圖1a可以看出，大部分ZJWARRS預報結果都比觀測偏小，尤其在觀測風速為5～20 m/s時，偏小最為明顯。而經(jīng)過最小二乘擬合(圖1b)，這一負偏差可以得到有效糾正。

(橫坐標為觀測的極大風，縱坐標為ZJWARRS和擬合的風速，實線表示觀測與預報結果相等)圖1 ZJWARRS(a)、擬合(b)風速與觀測結果的散點分布

ZJWARRS風速誤差與風速的相關系數(shù)高達0.85(200個樣本)，遠超99%的顯著性水平。也就是說，風速越大，預報的誤差也會越大，反之亦然。為了分別檢驗不同風速條件下最小二乘擬合的效果，按觀測風速將評估站次分成小于5 m/s、5～15 m/s、大于15 m/s 3檔。由表1可以看出，風速為5～15 m/s時，改進幅度最大，約21%。值得注意的是，在評估的3個月時間內(nèi)，5～15 m/s的極大風速約占70%比例，而小于5 m/s和大于15 m/s的風速比例只占30%。雖然最小二乘法對小于5 m/s的弱風改進不大，但由于弱風本身誤差較小，對生產(chǎn)生活的影響不大。對業(yè)務中最為關注的大于5 m/s的極大風，最小二乘擬合的改進效果明顯。

圖2顯示了3檔風速條件下，最小二乘擬合對ZJWARRS改進的空間分布。與表1的統(tǒng)計結果一致，風速為5～15 m/s時，37個站中有27個站都有明顯改進。對小于5 m/s和大于15 m/s的風，雖然有一些站點有明顯改進，但也有相當一部分站點訂正后比ZJWARRS預報結果更差。從空間分布來看，位于或者臨近陸地的站點，如圖2中標注的1-7站，由于本身風速較小，大風的樣本少，在風速較小時有明顯改進，而在風速偏大時，訂正結果反而比ZJWARRS更差；相反，遠離大陸的站點，如圖2中的8-12站，本身的風速較大，雖在風速較小時訂正效果不佳，但在風速較大時，改進非常顯著。

表1 不同風速情況下ZJWARRS與擬合風速的均方根誤差對比

((a)、(b)、(c)分別為在小于5 m/s、5～15 m/s、大于15 m/s情況下的統(tǒng)計。改進幅度的計算方法為圖中的數(shù)字標記了12個觀測站的位置)圖2 3檔風速下擬合結果對ZJWARRS預報改進的空間分布

通過以上分析可知，最小二乘擬合對風速的訂正效果在不同站點上具有顯著差別。為了進一步研究不同站點訂正效果差別的原因，分別選取了訂正效果最差和最好的3個站進行分析。如圖3所示，3個效果差的站點風速均偏小，平均風速在5.5～7.5 m/s之間，而3個效果最好的站風速較大，平均極大風都在10 m/s以上。風速偏小時，ZJWARRS本身的誤差較小，且ZJWARRS預報與觀測之間的規(guī)律并不顯著，使得訂正改進的空間不大。而3個訂正效果最好的站，平均風速大，ZJWARRS誤差也大，預報結果普遍小于觀測，且二者之間存在顯著的線性規(guī)律，這種情況下最小二乘擬合的改進幅度都在30%左右。此外，3個訂正效果最差的站都在圖2中標記的臨近大陸的7個站中，而3個訂正效果最好的站則都在遠離陸地的5個站中產(chǎn)生，這也與上文分析一致，即對平均風速大、ZJWARRS誤差較大的站點，最小二乘擬合容易取得較好的效果。

(橫坐標為觀測，縱坐標為ZJWARRS預報，圖中標記的站號對應圖2中站點的位置，AVG代表該站參與建模所有樣本的平均觀測風速，百分數(shù)為針對ZJWARRS預報值訂正結果的改進幅度，計算方法同圖2)圖3 改進效果最差(a—c)和最好(d—f)的6個站點觀測與ZJWARRS預報的散點分布

2.2 樣本長度的影響

一般而言，統(tǒng)計建模方法對樣本數(shù)量較為敏感。在本次最小二乘擬合試驗中，多少樣本才可以建立起較為穩(wěn)定的模型，樣本數(shù)量對擬合效果又有怎樣的影響？為了回答這一問題，設計了20組不同樣本數(shù)量的擬合試驗進行分析。設置一個首項為0、公差為10的等差數(shù)列，產(chǎn)生20組試驗的樣本數(shù)量。建模樣本在上文中指出的2018年12月到2019年6月共7個月的歷史資料中產(chǎn)生，為避免季節(jié)特征的影響，建模時采用隨機選擇樣本的方法，根據(jù)數(shù)量不同選出20組數(shù)據(jù)分別建模。檢驗則依然采用2019年7—9月共3個月的數(shù)據(jù)。

試驗結果如圖4所示，圖4a顯示了不同樣本數(shù)量建模對整體均方根誤差的影響?？梢钥闯?，建模樣本為10個時，擬合效果明顯差于ZJWARRS結果。樣本數(shù)量增加到20個時，誤差比10個樣本的建模結果急劇減小，比ZJWARRS也有明顯改進。20個樣本后，增加樣本數(shù)量對建模效果的影響逐漸減小，尤其是在60個樣本以后，再增加樣本對模型的改進效果非常微弱。將風速分成3檔進行統(tǒng)計，如圖4b—4d所示，結果與不分檔類似，都是在樣本由10個增加到20個時改進幅度最大，而在樣本數(shù)量達到60個左右時，擬合效果趨于穩(wěn)定。

也就是說，20個樣本是最小二乘擬合具有正效應的最低樣本數(shù)，而60個樣本已經(jīng)使擬合的效果趨于穩(wěn)定，再增加樣本對擬合效果的改善并不明顯。

(橫坐標為建模的樣本數(shù)量，縱坐標為訂正結果的均方根誤差，橫線為ZJWARRS預報的均方根誤差。(a)為所有樣本的統(tǒng)計;(b)、(c)、(d)分別針對小于5 m/s、5～15 m/s、大于15 m/s的樣本統(tǒng)計結果)圖4 建模樣本長度對擬合效果的影響

2.3 分級建模的影響

由2.1節(jié)的分析可知，最小二乘法對風速較大的站點訂正效果較好，而對風速較小的站點訂正效果較差。這可能是由于對風速較大的站點建模時，大風速的樣本較多，建立的模型更傾向于對大風速樣本進行訂正。由于最小二乘法中每個樣本的權重相同，如果樣本包含的風速跨度較大，模型要兼顧各個樣本誤差。若將不同風速的樣本分開，單獨進行擬合，是否能有效改進擬合的效果呢？

設計一組簡單的試驗來驗證這一猜想。依然選擇200個樣本進行建模，但在建模時根據(jù)ZJWARRS預報風速大小將樣本分成兩組：小于10 m/s和大于10 m/s，當固定時效、固定站點上大于10 m/s的樣本大于20個時，將該時效和站點的模型分成兩種情況分別進行擬合；反之如果大于10 m/s的樣本過少則依然將所有樣本統(tǒng)一進行建模。進行檢驗時，根據(jù)ZJWARRS風速分別選擇相應的模型進行訂正。將此分級建模的結果與上文中不分級建模的效果進行對比，以驗證樣本分級對建模效果的影響。

檢驗結果如圖5所示，可以看出在不同風速下，分級建模的表現(xiàn)差別較大。在風速小于5 m/s時，有8個站點比不分級建模有小幅改進，剩下的29個站擬合效果與不分級建?；鞠喈?；當風速在5～15 m/s時，分級建模變差的站點有4個，其余33個站點與不分級建模效果相當；而在大于15 m/s風速情況下，雖然有8個站點比不分級有所改進，但同時有16個站點的效果變差。綜合來看，分級與不分級的建模效果基本相當，并沒有明顯改進擬合結果。將風速分級的標準由10 m/s調(diào)整為8.6 m/s等，得到的結果與上述結果基本一致。

((a)、(b)、(c)分別為在小于5 m/s、5～15 m/s、大于15 m/s情況下的統(tǒng)計。改進幅度為圖5 3檔風速下分級建模對不分級建模結果改進的空間分布

3 結 語

本文利用ZJWARRS預報結果與極大風觀測資料，對洞頭區(qū)的37個站點進行最小二乘擬合試驗，并利用3個月的資料對擬合結果進行了檢驗，同時還試驗了樣本數(shù)量和分級建模對擬合效果的影響，主要結論如下。

1)最小二乘擬合對ZJWARRS的風速預報具有一定的訂正效果，尤其在風速為5～15 m/s時，訂正結果的改進幅度約為20%。在空間分布方面，在離陸地較遠、風速較大的站點，擬合效果最好，改進幅度在30%以上，而對風速較小的站點，訂正有負效果。

2)20個樣本是擬合具有正效應的最低樣本數(shù)，隨著樣本增加，訂正效果有所改進，但改進幅度逐步減小。當樣本數(shù)量達到60個時，訂正效果基本穩(wěn)定，再增加樣本數(shù)量對模型的改善效果有限。

3)簡單將建模樣本進行風速分級后分別進行建模，與不分級直接建模的效果相比，并沒有明顯優(yōu)勢。

最小二乘法是一種最簡單的擬合統(tǒng)計方法，對ZJWARRS預報誤差較大且具有一定規(guī)律的站點有一定的訂正效果，但在不同站點訂正效果差別較大。當樣本數(shù)量達到一定程度后，再增加樣本或者對樣本進行風速分級建模都無法顯著提高擬合的效果。在最小二乘法中所有樣本的權重相等，故對樣本中的異常值比較敏感。為了取得更好的訂正效果，嘗試考慮更多影響因子的統(tǒng)計方法以及動力模塊的地形適應都是十分必要的。