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    Hom-李超三系的上同調(diào)和形變

    2020-10-14 06:35:10
    關(guān)鍵詞:李超等式代數(shù)

    郭 雙 建

    (貴州財經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,貴陽 550025)

    Hom-李代數(shù)起源于向量場上李代數(shù)的離散型量子q-形變理論,其概念是由Hartwig等學(xué)者在研究擬李代數(shù)時引進的[1-2]. 隨后,Hom-型代數(shù)引起大量學(xué)者的研究興趣[3-6],比如,生云鶴教授系統(tǒng)研究了Hom-李代數(shù)的表示[7]等. 其一些推廣概念,如Hom-李超代數(shù),Hom李著色代數(shù)、Hom李三系,3-Hom李代數(shù)等相繼出現(xiàn),它們的諸多性質(zhì)也相繼被研究.

    李超三系是李三系的自然推廣,其最早源于在高能物理場上三元乘法求解Yang-Baxter方程的理論研究[8-9]. 隨后,文獻[10]刻畫了擬-經(jīng)典李超三系的概念,討論了其與Yang-Baxter方程的求解的聯(lián)系,并且給出了若干具體例證. 文獻[11]討論了李超三系的上同調(diào)和Nijenhuis 算子. 雖然李超三系的概念引入的時間不長,但是它已經(jīng)被許多學(xué)者接受.但遺憾的是,除了文獻[12]刻畫了Hom李超三系的導(dǎo)子之外,對Hom李超三系的性質(zhì)研究還不多,這也是本文的研究出發(fā)點.

    設(shè)T為Hom-李超三系.本文主要刻畫其上的若干代數(shù)性質(zhì),并引入了T的上同調(diào)和上邊界算子,最后利用上同調(diào)方法討論了T的形變.

    1Hom-李超三系的上同調(diào)

    定義1[12]保積Hom-李超三系(T,[·,·,·])是一個Z2分次向量空間T,伴有三元運算[·,·,·]:T×T×T→T和線性映射φ:T→T,φ([x,y,z])=[φ(x),φ(y),φ(z)]使得下列等式成立

    |[x,y,z]|=(|x|+|y|+|z|)(mod 2);

    (1)

    [y,x,z]=-(-1)|x||y|[x,y,z];

    (2)

    (-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+

    (-1)|z||y|[z,x,y]=0;

    (3)

    [φ(x),φ(y),[z,u,v]]=

    [[x,y,z],φ(u),φ(v)]+

    (-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,u],φ(v)]+

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)[φ(z),φ(u),[x,y,v]].

    (4)

    其中,齊次元x,y,z,u,v∈T.以|x|表示x的Z2次數(shù). 在本文中,出現(xiàn)|x|時,均默認x為T中的齊次元.

    如果三線性映射χ:(T,[·,·,·],φ)→(T′,[·,·,·]′,φ′)為Z2-空間上的態(tài)射,且滿足χ([x,y,z])=[χ(x),χ(y),χ(z)]′和χφ=φ′χ,則稱χ為Hom-李超三系的同態(tài).

    定義2設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為Z2-分次向量空間和A∈End(V). 若雙線性映射θ:T?T→End(V)滿足下列條件: 對任意的x,y,z,u∈T,

    θ(φ(x),φ(y))A=Aθ(x,y),

    (5)

    (-1)(|x|+|y|)(z+|u|)θ(φ(z),φ(u))θ(x,y)-

    (-1)|x||y|+|u|(|z|+|x|)θ(φ(y),φ(u))θ(x,z)-

    θ(φ(x),[y,z,u])A+

    (-1)|x|(|y|+|z|)D(φ(y),φ(z))θ(x,u)=0,

    (6)

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|u|)θ(φ(z),φ(u))D(x,y)-

    D(φ(x),φ(y))θ(z,u)+θ([x,y,z],φ(u))A+

    (-1)|z|(|x|+|y|)θ(φ(z),[x,y,u])A=0.

    (7)

    其中,D(x,y)=(-1)|x||y|θ(y,x)-θ(x,y),則稱(V,θ)為T的表示,即V為T-模.

    例1設(shè)T為保積Hom-李超三系.定義θ:T?T→End(V)為

    θ(x,y)(z)=(-1)|z|(|x|+|y|)[z,x,y].

    易知,D(x,y)(z)=[x,y,z]. 此時,(T,θ)為T的伴隨表示.

    命題1設(shè)T為保積Hom-李超三系,(V,θ)為T的一個表示,則T?V為保積Hom-李超三系.

    證明對任意的(x,u),(y,v),(z,w)∈T?V,定義三線性積[·,·,·]:(T?V)?(T?V)?(T?V)→(T?V)為

    [(x,u),(y,v),(z,w)]=
    ([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
    (-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w)),

    其中,|(x,u)|=|x|.

    由于T為保積Hom-李超三系,容易驗證(1)成立.

    對于(2),令(x,u),(y,v),(z,w)∈T?V并計算如下,

    -(-1)|x||y|[(y,v),(x,u),(z,w)]=
    -(-1)|x||y|([y,x,c],(-1)|y|(|x|+|z|)·
    θ(x,z)(v)-(-1)|x||z|θ(y,z)(u)+
    D(y,x)(w))=
    (-(-1)|x||y|[y,x,c],
    -(-1)|y||z|θ(x,z)(v)-
    (-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-
    (-1)|x||y|D(y,x)(w))=
    ([x,y,z],(-1)|x|(|y|+|z|)·
    θ(y,z)(u)-(-1)|y||z|θ(x,z)(v)+
    D(x,y)(w))=[(x,u),(y,v),(z,w)],

    由于

    -(-1)|x||y|[y,x,w]=[x,y,w]=

    D(x,y)(w),

    所以最后一個等式成立.

    對于(3),有

    (-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+

    (-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)] +

    (-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=

    ((-1)|x||z|[x,y,z]+(-1)|y||x|[y,z,x]+

    (-1)|z||y|[z,x,y],Ω)=(0,Ω),

    其中,

    Ω=(-1)|x||y|θ(y,z)(u)-

    (-1)(|x|+|y|)|z|θ(x,z)(v)+

    (-1)|x||z|D(x,y)(w)+

    (-1)|y||z|θ(z,x)(v)-

    (-1)(|y|+|z|)|x|θ(y,x)(w)+

    (-1)|b||a|D(y,z)(u)=

    (-1)|x||y|θ(y,z)(u)+

    (-1)|y||z|θ(z,x)(v)+

    (-1)|z||y|θ(x,y)(w)-

    (-1)|x||z|θ(x,y)(w)+

    (-1)|y||x|θ(y,z)(u)-

    (-1)|y||z|θ(z,x)(v)=0,

    則有

    (-1)|x||z|[(x,u),(y,v),(z,w)]+
    (-1)|y||x|[(y,v),(z,w),(x,u)]+

    (-1)|z||y|[(z,w),(x,u),(y,v)]=(0,0).

    對于(4),令(x,u),(y,v),(z,w),(s,m),(p,n)∈T?V.首先,計算如下,

    [[(x,u),(y,v),(z,w)],(φ+A)(s,m),

    (φ+A)(p,n)]=[([x,y,z],

    (-1)|x|(|y|+|z|)θ(y,z)(u)-

    (-1)|y||z|θ(x,z)(v)+D(x,y)(w))·

    (φ+A)(s,m),(φ+A)(p,n)] =

    ([[x,y,z],φ(s),φ(p)],Π1),

    其中,

    Π1=(-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·

    (-1)|x|(|y|+|z|)θ(φ(s),φ(p))θ(y,z)(u)-

    (-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)(-1)|y||z|·

    θ(φ(s),φ(p))θ(x,z)(v)+

    (-1)(|x|+|y|+|z|)(|s|+|p|)·

    θ(φ(s),φ(p))D(x,y)(w)-

    (-1)|y||z|θ([x,y,z],φ(p))θ(x,z)A(m)+

    D([x,y,z],s)A(n),

    其次,計算

    (-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)[(z,w),
    [(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]=
    [(-1)|z|(|x|+|y|)(φ+A)(z,w)·
    ([x,y,s],(-1)|x|(|y|+|s|)θ(y,s)(u)-
    (-1)|y||s|θ(x,s)(v)+D(x,y)(m)),
    (φ+A)(p,n)]=
    ((-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)],Π2),

    其中,

    Π2=-(-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·

    (-1)|z|(|x|+|y|)+|x|(|y|+|s|)·

    θ(φ(z),φ(p))θ(y,s)(u)+

    (-1)(|x|+|y|+|s|)|p|·

    (-1)|z|(|x|+|y|)+|y||s|·

    θ(φ(z),φ(p))θ(x,s)(v)+

    (-1)(|x|+|y|+|s|+|p|)|z|·

    (-1)|z|(|x|+|y|)θ([x,y,s],φ(p))A(w)-

    (-1)(|x|+|y|+|s|)|p|(-1)|z|(|x|+|y|)·

    θ(φ(z),φ(p))D(x,s)(m)+

    (-1)|z|(|x|+|y|)D(φ(z),[x,y,s])A(n),

    第三,再計算

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
    [(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
    [(x,u),(y,v),(p,n)]]=
    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
    [(φ+A)(z,w),(φ+A)(s,m),
    ([x,y,p],(-1)|x|(|y|+|p|)·
    θ(y,p)(u)-(-1)|y||p|θ(x,p)(v)+
    D(x,y)(n))]=
    ((-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·
    [φ(z),φ(s),[x,y,p]],Π3),

    其中,

    Π3=(-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

    (-1)|x|(|y|+|p|)D(φ(z),φ(s))θ(y,p)(u)-

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)(-1)|y||p|·

    D(φ(z),φ(s))θ(x,p)(v)+

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

    (-1)(|x|+|y|+|p|)|z|θ(φ(s),[x,y,p])A(w)-

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

    (-1)(|x|+|y|+|p|)|s|·

    θ(φ(z),[x,y,p])A(m)+

    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)·

    D(φ(z),φ(s))D(x,y)(n),

    第四,計算

    [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
    [(z,w),(s,m),(p,n)]]=
    [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
    ([z,s,p],(-1)|z|(|s|+|p|)·
    θ(s,p)(w)-(-1)|s||p|θ(z,p)(m)+
    D(z,s)(n))]=([x,y,[z,s,p]],Π4),

    其中,

    Π4=(-1)|x|(|y|+|z|+|s|+|p|)·

    θ(φ(y),[z,s,p])A(u)-

    (-1)|y|(|z|+|s|+|p|)θ(φ(x),[z,s,p])A(v)+

    (-1)|z|(|s|+|p|)D(α(z),α(s))θ(s,p)(w)-

    (-1)|s||p|D(α(z),α(s))θ(z,p)(m)

    +D(φ(z),φ(s))D(z,s)(n),

    最后,由等式(5),(6)和(7),可得

    [[(x,u),(y,v),(z,w)],
    (φ+A)(s,m),φ(α+A)(p,n)]+
    (-1)|z|(|x|+|y|)[(φ+A)(z,w),
    [(x,u),(y,v),(s,m)],(φ+A)(p,n)]+
    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[(φ+A)(z,w),
    (φ+A)(s,m),[(x,u),(y,v),(s,m)]]=
    ([[x,y,z],φ(s),φ(p)]+
    (-1)|z|(|x|+|y|)[φ(z),[x,y,s],φ(p)]+
    (-1)(|x|+|y|)(|z|+|s|)[φ(z),φ(s),
    [x,y,p]],Π1+Π2+Π3)=
    ([φ(x),φ(y),[z,s,p]],Π4)=
    [(φ+A)(x,u),(φ+A)(y,v),
    [(z,w),(s,m),(p,n)]],

    證畢.

    定義3設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為T-模. 如果存在n-線性映射χ:T×T×…×T→T滿足下列條件:

    Aχ(x1,x2,…,xn)=χ(φ(x1),φ(x2),…,φ(xn)),

    (8)

    χ(x1,x2,…,x,y,…,xn)=

    -(-1)|x||y|χ(x1,x2,…,x,y,…,xn),

    (9)

    -(-1)|x||z|χ(x1,x2,…,xn-3,x,y,z)+

    (-1)|y||x|χ(x1,x2,…,xn-3,x,z,y)+

    (-1)|z||y|χ(x1,x2,…,xn-3,z,x,y)=0.

    (10)

    Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)=

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+

    D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·

    [x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n+1)).

    Φ2nχ(x1,…,x2n+1)=

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-1)-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|y|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)·

    θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(y,x1,…,x2n-2,x2n)+

    D(φn(x2k-1),φn(x2k))·

    不難驗證Φnχ滿足(9)和(10). 要驗證Φnχ滿足(8),使得Φnχ是良定義的,事實上,只需驗證

    A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n-1))=(Φ2n-1χ(φ(x1),…,

    φ(x2n-1))).Φ2n-1χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))=

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn(x2n),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-1))-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

    θ(φn(x2n-1),φn(x2n+1))χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),

    (-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·

    φ([x2k-1,x2k,xj]),…,φ2(x2n+1))=

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn(x2n),φn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1))-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

    θ(χn(x2n-1),χn(x2n+1))A(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+

    Aθ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1))-

    A(-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))(χ(x1,…,x2n-1,x2n))+

    D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))·

    A(Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)).

    定理1設(shè)T為保積Hom-李超三系,V為T-模,則上邊界算子Φn滿足Φn+2Φn=0.

    證明由上邊界算子的定義可知,Φ2n+1Φ2n-1=0可推出Φ2n+2Φ2n=0. 因此只需驗證Φ2n+1Φ2n-1=0,n=1,2,3,… .

    其中,

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|f|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n),

    χ(x1,…,x2n+3)=

    (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

    θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n+1)-

    (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

    θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))Φ2n-1χ(x1,…,x2n,x2n+2)+

    (-1)(|x2k-1|+|x2k|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2k-2|)·

    (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

    θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3)).

    (a1) ((-1)(|x2n|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1)

    (a2) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+1|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+1||x2n|·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+1))χ(x1,…,x2n-1,x2n)+

    D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))

    (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

    θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))

    (a3) (-1)(|x2n|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-1)

    (a4) -(-1)(|x2n-1|+|x2n+2|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n+2||x2n|·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+2))χ(x1,…,x2n-2,x2n)+

    D(φn-1(x2k-1),φn-1(x2k))

    …,[x2k-1,x2k,xj],…,φ(x2n),φ(x2n+2))+

    D(φn(x2k-1),φn(x2k))

    (b3) (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

    (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

    θ(φn-1(x2n+1),φn-1(x2n+3))

    D(φn(x2n+1),φn(x2n+2))·

    (-1)(|x2n|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)·

    θ(φn-1(x2n),φn-1(x2n+3))

    (a5)χ((x1,…,x2n-1))-

    (-1)(|x2n-1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-2|)+|x2n||x2n+3|·

    θ(φn-1(x2n-1),φn-1(x2n+3))

    (-1)(|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n+1|)·

    θ(φn(x2n+2),φn(x2n+3))

    (b6)θ(φn(x2n+2),φn-1[x2k-1,x2k,x2n+3])χ(φ(x1),

    (-1)(|x2n|+|x2n+1|+|x2n+2|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n-1|)

    (a7)θ(φn(x2n),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),

    (-1)(|x2n+1|+|x2n+3|)(|χ|+|x1|+|x2|+…+|x2n|)+|x2n+2||x2n+3|·

    θ(φn(x2n+1),φn(x2n+3))

    (a8)θ(φn(x2n-1),φn-1[x2n+1,x2n+2,x2n+3])χ(φ(x1),…,φ(x2n-2),φ(x2n))

    由等式(6)和(8),可知(a1)+···+(a8)=0; 由(7)和(8),可知(b1)+···+(b8)=0;不難驗證(c1)+(c2)=(d1)+(d2)=0. 因此

    2Hom-李超三系的單參數(shù)形式形變

    設(shè)T為保積Hom-李超三系,k[[t]]為變量t的冪級數(shù)環(huán).假設(shè)T[[t]]是一組形式級數(shù),其系數(shù)是向量空間T的元素.

    定義5設(shè)T為保積Hom-李超三系,則T的單參數(shù)形式形變?yōu)橐唤M冪級數(shù)

    χt:T[[t]]×T[[t]]×T[[t]]→T[[t]]

    φ(z))=φχt(x,y,z),

    (11)

    其中,每一個χi為k-三線性映射χi:T×T×T→T和χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],滿足下列條件:

    |χt(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;

    (12)

    χt(y1,y2,y3)=

    -(-1)|y1||y2|χt(y1,y2,y3);

    (13)

    -(-1)|y1||y3|χt(y1,y2,y3)+

    (-1)|y2||y1|χt(y2,y3,y1)+

    (-1)|y3||y2|χt(y3,y1,y2)=0;

    (14)

    χt(φ(y1),φ(y2),χt(y3,y4,y5))=

    (-1)|y3|(|y1|+|y2|)χt(φ(y3),

    χt(y1,y2,y4),φ(y5))+

    χt(χt(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    χt(φ(y3),φ(y4),χt(y1,y2,y5)).

    (15)

    注記1等式(11)~(15)等價于

    χt(φ(x),φ(y),φ(z))=φχt(x,y,z);

    (16)

    |χi(y1,y2,y3)|=|y1|+|y2|+|y3|;

    (17)

    χi(y2,y1,y3)=-(-1)|y1||y2|χi(y1,y2,y3);

    (18)

    (-1)|y1||y3|χi(y1,y2,y3)+

    (-1)|y2||y1|χi(y2,y3,y1)+

    (-1)|y3||y2|χi(y3,y1,y2)=0;

    (19)

    χi(α(y3),χj(y1,y2,y4),φ(y5))+

    χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).

    (20)

    χiχj(y1,y2,y3,y4,y5)+

    χi(χj(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    χi(φ(y3),φ(y4),χj(y1,y2,y5)).

    當(dāng)n=1,等式(20)等價于χ0χ1+χ1χ0=0. 當(dāng)n≥2,等式(20)等價于-(χ0χn+χnχ0)=χ1χn-1+χ1χn-2+…+χn-1χ1.

    由χ0(y1,y2,y3)=[y1,y2,y3],有

    χ0χ1(y1,y2,y3,y4,y5)=

    -D(φ(y1),φ(y2),χ(y3,y4,y5))-

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·

    D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·

    θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))=

    -[φ(y1),φ(y2),χ1(y3,y4,y5)]+

    (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

    [φ(y3),χ1(y1,y2,y4),φ(y5)]+

    [χ1(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5)]+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    [φ(y3),φ(y4),χ1(y1,y2,y5)]=

    -D(φ(y1),φ(y2),φ(y3,y4,y5))-

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y5|)+|y4||y5|·

    D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|+|y3|)(|y4|+|y5|)·

    θ(φ(y4),φ(y5))χ(y1,y2,y3)+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    D(φ(y3),φ(y4),χ(y1,y2,y5)),

    類似的,有

    χ1χ0(y1,y2,y3,y4,y5)=

    -χ1(φ(y1),φ(y2),χ0(y3,y4,y5))-

    (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

    χ1(φ(y3),χ(y1,y2,y4),φ(y5))+

    χ1(χ0(y1,y2,y3),φ(y4),φ(y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    χ1(y3,y4,χ0(y1,y2,y5))=

    -χ1(φ(y1),φ(y2),[y3,y4,y5])+

    (-1)|y3|(|y1|+|y2|)·

    χ1(φ(y3),χ0(y1,y2,y4),φ(y5))+

    χ1([y1,y2,y3],φ(y4),φ(y5))+

    (-1)(|y1|+|y2|)(|y3|+|y4|)·

    χ1(φ(y3),φ(y4),y1,y2,y5),

    于是

    (χ0χ1+χ1χ0)(y1,y2,y3,y4,y5)=

    Φ3χ1(y1,y2,y3,y4,y5).

    因此,由χ0χ1+χ1χ0=0,可得Φ3χ1=0. 也可得

    -Φ3χn=χ1χn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1,

    稱χ1為χt的無窮小形變.

    定義6設(shè)T為保積Hom-李超三系.如果存在k[[t]]-模形式同構(gòu)

    其中Ψt°φ=φ°Ψt:T→T為k-線性映射使得

    ?y1,y2,y3∈T.

    特別的,如果χ1=χ2=…=0,則稱χ1=χ0為零形變. 如果χt~χ0,則稱χt為微小形變. 如果每一個單參數(shù)形式形變χt均為微小的,則稱T為Hom-分析剛性的.

    其中,y1,y2,y3∈T. 比較上述等式兩邊t1的系數(shù),有

    χ1(y1,y2,y3)+Ψ1([y1,y2,y3])=

    [y1,Ψ(y2),y3]+[y1,y2,Ψ(y3)],

    進一步,

    [Ψ1(y1),y2,y3]+[y1,Ψ1(y2),y3]+

    [y1,y2,Ψ1(y3)]-Ψ1([y1,y2,y3])=

    (-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)Ψ1(y1)-

    Ψ1([y1,y2,y3])+D(y1,y2)Ψ1(y3)-

    (-1)|y2||y3|θ(y1,y3)Ψ1(y2)=

    Φ1Ψ1(y1,y2,y3).

    Φ3χn=χ1φn-1+χ2χn-2+…+χn-1χ1=0.

    令Ψt=idT-ηntn,則

    χ0(y1,y2,y3)-{χ0(ηn(y1),y2,y3)+

    χ0(y1,ηn(y2),y3)+χ0(y1,y2,ηn(y3))}tn+

    {χ0(ηn(y1),ηn(y2),y3)+

    χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))+

    χ0(y1,ηn(y2),ηn(y3))}t2n+

    χ0(ηn(y1),ηn(y2),ηn(y3))t3n+

    χ0(y1,y2,ηn(y3))}ti+n+

    χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))+

    χi(y1,ηn(y2),ηn(y3))}ti+2n-

    于是,

    χ′1(y1,y2,y3)=…=χ′n-1(y1,y2,y3)=0,

    χn(y1,y2,y3)-[ηn(y1),y2,y3]-

    [y1,ηn(y2),y3]-[y1,y2,ηn(y3)]=

    χn(y1,y2,y3)-

    (-1)|y1|(|y2|+|y3|)θ(y2,y3)ηn(y1)+

    (-1)|y2||y3|θ(y1,y3)ηn(y2)-

    D(y1,y2)ηn(y3),

    因此,推出

    χn(y1,y2,y3)-Φ1ηn(y1,y2,y3)=0.

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