分數(shù)階微分方程初值問題的比較定理

鄭艷萍，楊 慧

(太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619)

分數(shù)階導(dǎo)數(shù)是非局部算子，從而與整數(shù)階的導(dǎo)數(shù)相比，前者的全局相關(guān)性較好地解決了“具有局部性的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)不能夠很好地描述出系統(tǒng)函數(shù)發(fā)展的歷史依賴過程”的問題，能用較少地參數(shù)就能描述出與實驗結(jié)果吻合很好的方程模型。分數(shù)階微分方程模型在描述復(fù)雜物理學(xué)問題時更有實際意義[1]。近年來，越來越多的專家學(xué)者對分數(shù)階微分方程問題予以討論。文獻[2]給出了階數(shù)q(q∈(0，1))的分數(shù)階微分方程初值問題的相關(guān)不等式及分數(shù)階微分方程初值問題局部解的存在性定理。文獻[3]探討了階數(shù)q(q∈(0，1))的分數(shù)階微分方程初值問題的第一及第二比較定理。文獻[4]把文獻[3]中具有Caputo型導(dǎo)數(shù)的微分方程初值問題的比較定理推廣到階數(shù)為q(q∈(n-1，n])的情形。文獻[5]給出了Riemann-Liouville型導(dǎo)數(shù)的分數(shù)階微分方程初值問題的比較定理的一些推廣。在上述研究的基礎(chǔ)上，本文推廣了微分方程初值問題的上下解概念，運用探討微分方程問題的經(jīng)典方法得出了具有Caputo型導(dǎo)數(shù)階數(shù)q(q∈(2，3])的分數(shù)階微分方程初值問題的一類新的比較定理。

1 相關(guān)定義及引理

令x=(x1，x2，…，xn)T，y=(y1，y2，…，yn)T∈Rn.若對?i=1，2，…，n，xi≤yi，稱x≤y.更進一步，若x≤y，且至少存在某一指標i0，1≤i0≤n，使得xi0

定義1[6]對任意的t>0，函數(shù)x(t)的階數(shù)為q∈R+的積分定義為:

定義2[6-7]給定函數(shù)f∈[0，+∞)→R，稱

Dqf(t)=

為f的q階Caputo型導(dǎo)數(shù)，符號[·]表示取整，Z+表示正整數(shù)。

引理1設(shè)q>0，則IqDqu(t)=u(t)-

引理2設(shè)v，w∈C(J，R)，且：

若上述(1)和(2)不等式中至少有一個嚴格成立，且進一步假設(shè)f(t，x)對于固定的t，關(guān)于變量x不減，v(0)

由定義1，可得如下引理：

引理3對任意C∈R，DqC=0;當2

Dqtq=q(q-1)(q-2)Γ(q-2).

2 主要結(jié)果及其證明

本文主要考慮如下的高階分數(shù)階微分方程初值問題:

(1)

其中函數(shù)f∈C[J×R，R]，J=[0，1]，且Dq是q階的Caputo型分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，在此進一步假定函數(shù)f(t，x)對固定的t關(guān)于x不減，具有如下的分裂f(t，x)=F(t，x，x)，F(xiàn)∈C[J×R2，R].于是初值問題(1)就轉(zhuǎn)化為如下的形式：

(2)

下面主要探討初值問題(1)和(2)的比較定理。首先給出其上下解定義。

定義3設(shè)函數(shù)v，w∈C[J，R]，F(xiàn)∈C[J×R2，R]且Dqv，Dqw都存在。

(1)若函數(shù)v，w滿足：

(3)

則稱v，w為初值問題 (2)的自然下解和上解。

(2)若函數(shù)v，w滿足：

(4)

則稱v，w為初值問題(2)的I型對偶下解和上解。

(3)若函數(shù)v，w滿足：

(5)

則稱v，w為初值問題(2)的II型對偶下解和上解。

定理2若v，w∈C(J，R)，且對任意的t∈J，

證明方式與文獻[2]中定理2.1的類似，故在此略去其證明。

定理3設(shè)v，w是初值問題(2)的自然下解和上解。假定對任意x1≥x2，y1≥y2，F(xiàn)滿足：

F(t，x1，y1)-F(t，x2，y2)≤

L[(x1-x2)+(y1-y2)]，

(6)

證明 由v(t)，w(t) 是初值問題(2)的自然下解和上解，有：

v(t)≤v0+v1t+

w(τ))dτ，t∈J.

令wε(t)=w(t)+ε(1+2tq).對?ε>0，有：

?t∈J，wε(t)>w(t).

(7)

故：

w(τ))dτ+ε(1+2tq).

(8)

由式(6)-(8)有：

[F(τ，wε(τ)，wε(τ))-2Lε(1+2τq)]dτ+

因為：

因為q∈(2，3]，所以Γ(q+1)<Γ(2q-1)，q(2q-1)>6.

從而：

根據(jù)定理2，在t∈J上，v(t)

定理4設(shè)v，w是初值問題(2)的I型的對偶下解和上解.假定對任意x1≥x2，y1≥y2，F(xiàn)滿足

F(t，x1，y)-F(t，x2，y)≤x1-x2

(9)

F(t，x，y1)-F(t，x，y2)≥-(y1-y2)

(10)

證明 對?ε>0，令：

(11)

(12)

顯然，在J上wε(t)>w(t)，vε(t)

vε(0)=v(0)-ε2

Dqv(t)-εq≤F(t，v，w)-εq≤

F(t，v，wε)+[wε(t)-w(t)]-εq≤

F(t，vε，wε)+[v(t)-vε(t)]+

[wε(t)-w(t)]-εq=

Dqw(t)+εq≥F(t，w，v)+εq≥

F(t，wε，v)-[wε(t)-w(t)]+εq≥

F(t，wε，vε)-[vε(t)-v(t)]-

[wε(t)-w(t)]+εq>F(t，wε，vε)

因此，在J上對vε(t)，wε(t)應(yīng)用定理2，令ε→0+，可以得到v(t)≤w(t)在J上成立。證明完畢。

定理5設(shè)v，w是初值問題(2)的II型的對偶下解和上解。假定對任意x1≥x2，y1≥y2，F(xiàn)滿足：

F(t，x，y1)-F(t，x，y2)≤y1-y2

(13)

F(t，x1，y)-F(t，x2，y)≥-(x1-x2)

(14)

證明 對?ε>0，令：

(15)

(16)

則運用與定理4相似的證明方式，可得出定理5的結(jié)論成立。

注：定理3、定理4和定理5推廣了文獻[5]中的定理2.2.