撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模研究

張恒浩，劉 濤，劉 焱，曾 潔，張雨佳

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京，100076；3. 首都航天機(jī)械有限公司，北京，100076；4. 中國航天系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院，北京，100048）

0 引 言

在早期的航天器發(fā)展過程中，剛體動(dòng)力學(xué)模型能夠準(zhǔn)確反應(yīng)航天器的動(dòng)力學(xué)特征[1,2]。但是隨著航天技術(shù)的快速發(fā)展，航天器種類越來越多，而且航天器根據(jù)任務(wù)要求搭載的撓性附加載荷種類和數(shù)量也越來越多（例如太陽能帆板、空間機(jī)械臂、大尺寸柔性天線等）[3～7]。當(dāng)航天器進(jìn)行大范圍、大角度姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程中航天器攜帶的柔性附加載荷產(chǎn)生的彈性變形效果開始影響航天器運(yùn)動(dòng)，同時(shí)開始和航天器剛性體本身產(chǎn)生耦合干擾[8,9]。傳統(tǒng)的航天器動(dòng)力學(xué)模型采用零階動(dòng)力學(xué)近似模型，在設(shè)計(jì)過程中忽略了大運(yùn)動(dòng)過程中航天器剛性-柔性耦合干擾和撓性部件彈性變形[10]。但是航天器在進(jìn)行大范圍、大角度機(jī)動(dòng)時(shí)，特別是在高速運(yùn)動(dòng)中，表現(xiàn)出來的動(dòng)力學(xué)真實(shí)情況與附加載荷的變形及剛性-柔性耦合干擾有很大關(guān)系[11～14]。1987 年，Kane 提出了動(dòng)力學(xué)剛化概念，自此，許多學(xué)者開始研究動(dòng)力學(xué)剛化問題并分析研究相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型。引入動(dòng)力學(xué)剛化并研究分析剛性-柔性耦合特性的動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)模型具有非常重要的工程應(yīng)用意義[15]。

現(xiàn)階段，引入動(dòng)力學(xué)剛化分析的撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)組合體的動(dòng)力學(xué)模型研究有2 個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)需要考慮：

a）動(dòng)力學(xué)建模應(yīng)考慮剛體運(yùn)動(dòng)特性和柔性部件變形影響，并分析這二者之間的耦合干擾作用；

b）動(dòng)力學(xué)剛化特征應(yīng)包含在動(dòng)力學(xué)模型中。

因此綜上所述，撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究主要存在如下難點(diǎn)：

a）動(dòng)力學(xué)耦合系統(tǒng)的方程階數(shù)太高，并且建模過程太過復(fù)雜，不利于數(shù)學(xué)計(jì)算；

b）處理動(dòng)力學(xué)剛化問題時(shí)，不僅需要通過撓性部件橫截面的變形場(chǎng)高階擴(kuò)展項(xiàng)獲得動(dòng)力學(xué)剛化項(xiàng)，還需要從物理原理的理論上說明產(chǎn)生動(dòng)力學(xué)剛化的原因[16]。

針對(duì)上述研究難點(diǎn)，本文首先建立一個(gè)撓性航天器剛性-柔性耦合的動(dòng)力學(xué)模型，該模型由中心剛體和撓性梁2 個(gè)子系統(tǒng)組成，中心剛體子模型采用材料力學(xué)定理進(jìn)行連續(xù)動(dòng)力學(xué)建模；撓性梁子模型采用角動(dòng)量定理進(jìn)行連續(xù)動(dòng)力學(xué)建模。然后通過撓性梁固有振蕩約束模態(tài)的正交化理論建立整體的空間立體狀態(tài)模型。最后通過仿真驗(yàn)證本文提出的航天器剛性-柔性耦合動(dòng)力學(xué)模型。仿真結(jié)果表明，考慮動(dòng)力學(xué)剛化的一階模型能夠準(zhǔn)確顯示出撓性航天器大范圍運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征。具有清晰的建模思路、簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)表示和很好的集中收斂性。

1 非慣性坐標(biāo)系下連續(xù)動(dòng)力學(xué)建模

1.1 剛體撓性耦合物理模型

剛體撓性耦合物理模型如圖1 所示。這一模型可以對(duì)大型附加載荷的航天器進(jìn)行建模，由一個(gè)中心剛性體和一根撓性梁組成，撓性梁連接在中心剛性體上。研究過程中設(shè)撓性梁具備Eulor-Bernoulli 特點(diǎn)，在空間工作時(shí)變形和應(yīng)力應(yīng)變較小。并且認(rèn)為撓性梁的組成材料密度均勻，且梁內(nèi)各個(gè)方向受力性能相同。

圖1 剛體撓性耦合物理模型Fig.1 Rigid Physical Model with Flexible Coupling

圖1 中， OIXIYI以中心剛性體的中心點(diǎn)為原點(diǎn)，OXY 建立在撓性梁上，撓性曲線 y =y （ x ,t）表述撓性梁的橫向變形運(yùn)動(dòng)。

1.2 基于結(jié)構(gòu)力學(xué)的撓性梁建模

航天器在做大范圍、全姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)過程中撓性梁的變形過程如圖2 所示。

圖2 撓性梁在航天器大范圍全姿態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中的變形示意Fig.2 Beam’s Transform with Aero-craft’s Large-scale Motion

由圖2 可知，航天器在大范圍運(yùn)動(dòng)過程中，移動(dòng)坐標(biāo)系OXY 是1 個(gè)非慣性坐標(biāo)系。所以撓性梁橫向振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性建模研究的目的是解決在非慣性坐標(biāo)系下的經(jīng)典物理力學(xué)問題。通過結(jié)構(gòu)力學(xué)分析可知，撓性梁的橫向振動(dòng)由梁自身從外部攜帶的分布載荷決定，這些載荷垂直安裝在撓性梁上。撓性梁的橫向振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程如式（1）所示：

式中 q （ x ,t ）為垂直安裝在撓性梁上的載荷對(duì)梁施加的作用力；ρb為梁的密度；E 為梁的楊氏彈性系數(shù)；I為梁的橫截面的旋轉(zhuǎn)慣量。

如圖2 所示，考慮在梁上任意位置M 上不同的質(zhì)量元素 ρbdx的影響。設(shè)位置M 的坐標(biāo)是 M （ x , y （ x ,t ）），位置N 的橫坐標(biāo)是 N （ x ,0）。OIM 的瞬時(shí)長(zhǎng)度如式（2）所示。

在運(yùn)動(dòng)過程中，中心剛性體會(huì)將慣性力施加到撓性梁上。假設(shè)撓性梁上的質(zhì)量單元瞬間運(yùn)動(dòng)沿虛線nn的方向。通過理論計(jì)算可知，科氏作用力將會(huì)分布在虛線tt 的方向上。由于科氏作用力的方向在垂直于撓性梁施加作用力的方向上分量為零，因此科氏作用力不會(huì)引起梁的橫向振動(dòng)，即對(duì)梁產(chǎn)生橫向振動(dòng)的力只有離心慣性力 q1（ x, t ）和切向慣性力 q2（ x ,t ），計(jì)算方程組如式（3）所示。

將式（3）代入式（1），外部垂直安裝的分布載荷在撓性梁上的作用力如式（4）所示：

假設(shè)存在極小的位移誤差和角度誤差，根據(jù)圖2所示的幾何力學(xué)關(guān)系對(duì)梁進(jìn)行受力分析。為保證工程應(yīng)用，將三角函數(shù)的二階解算項(xiàng)忽略。外部垂直安裝的分布載荷在撓性梁上的作用力的計(jì)算如式（5）所示。

將式（5）代入式（1）中，可到撓性梁在大范圍機(jī)動(dòng)條件下的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型，如式（6）所示。

1.3 基于角動(dòng)量理論的中心剛性體建模

中心剛性體在進(jìn)行姿態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，所引起的外加作用力如圖3 所示。

圖3 中心剛性體外加作用力示意Fig.3 Forces and Torques in Addition on Hub

在分析撓性梁振動(dòng)過程中，必須考慮慣性負(fù)載的影響，慣性負(fù)載是分布搭載載荷的一部分，用表示，考慮慣性負(fù)載的分布載荷作用力垂直作用于撓性梁時(shí)，其計(jì)算如式（7）所示。

撓性梁上分布的剪切力 Fs（ x ,t ）和瞬間力矩 M（ x ,t）的計(jì)算如式（8）所示。

聯(lián)立式（7）和式（8），得到中心剛性體的連續(xù)動(dòng)力學(xué)模型表達(dá)式，計(jì)算過程如式（9）所示。

2 基于正交理論的離散動(dòng)力學(xué)建模

用于近似描述撓性梁的橫向振動(dòng)變形采用展開的N 階正交方程式，計(jì)算如式（10）所示。

式中 φi( x)表示第i階正交約束模態(tài)； qi(t )表示對(duì)應(yīng)的模態(tài)坐標(biāo)信息。撓性梁的正交約束模態(tài)的細(xì)化計(jì)算如式（11）所示。

通過式（11）計(jì)算，得到撓性梁在有限空間的動(dòng)力學(xué)方程：

式（12）中，參數(shù)q、NΛ 、DN和HN的計(jì)算通過式（13）～（16）得到。

在式（12）中，撓性梁的剛性矩陣的表達(dá)式為ΛN+ （）2( DN-I )。當(dāng)中心剛性體的旋轉(zhuǎn)角速度發(fā)生變化時(shí)，表示撓性梁剛性矩陣計(jì)算的表達(dá)式也會(huì)發(fā)生變化，若只考慮變量參數(shù) - （）2I ，則撓性梁剛性矩陣的計(jì)算表達(dá)式可以表述為 ΛN-（）2I，且可能發(fā)生動(dòng)力學(xué)軟化現(xiàn)象，當(dāng)中心剛性體旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度達(dá)到某一數(shù)值時(shí)，剛性矩陣開始出現(xiàn)負(fù)定現(xiàn)象，這將導(dǎo)致仿真計(jì)算出現(xiàn)誤差。當(dāng)全面考慮參數(shù)項(xiàng)（）2( DN- I )的影響時(shí)，撓性梁剛性矩陣的計(jì)算表達(dá)式表述才為 ΛN+ （）2( DN-I )，參數(shù)項(xiàng)（）2DN可使撓性梁的剛性矩陣具有正定性，可使仿真計(jì)算在大范圍機(jī)動(dòng)條件下保持收斂性。

因此上述分析即為動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象發(fā)生的理論分析。兩種情況經(jīng)常出現(xiàn)在動(dòng)力學(xué)的零階模型和一階模型的分析過程中。通過上述分析，中心剛性體的有限元?jiǎng)恿W(xué)方程為

由式（12）～（18）組成撓性航天器在N 維空間的耦合動(dòng)力學(xué)模型，考慮動(dòng)力學(xué)剛化影響，這種耦合動(dòng)力學(xué)模型能夠很好地滿足航天器剛性-柔性耦合組合體的大范圍機(jī)動(dòng)要求。整個(gè)航天器系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為

式中 IAN為中心剛體在浮動(dòng)坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；DHR為慣量轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣；HJ為Heaviside 脈沖函數(shù)矩陣；jhh為坐標(biāo)系間轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)換向量；RHD為施加力；HA為施加力矩。

各個(gè)參數(shù)的計(jì)算方程為

式（19）是撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)在N 維空間中建立的動(dòng)力學(xué)方程。當(dāng)考慮動(dòng)力學(xué)剛化影響時(shí)，變量參數(shù)˙θ 和q 會(huì)相互影響。撓性航天器的動(dòng)力學(xué)模型從一維線性系統(tǒng)向非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)變，因此控制系統(tǒng)在工作時(shí)應(yīng)針對(duì)非線性特點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)調(diào)整控制。

3 仿真驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文提出的撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型的有效性，需要通過以下2 個(gè)方面進(jìn)行仿真驗(yàn)證：

a）在航天器做已知的大范圍機(jī)動(dòng)過程中，采用本文模型對(duì)其引起的動(dòng)力學(xué)剛化效果進(jìn)行驗(yàn)證。

b）在航天器做未知的大范圍機(jī)動(dòng)過程中，分析本文一階動(dòng)力學(xué)模型在剛化影響下的收斂性。

3.1 模型動(dòng)力學(xué)剛化效果驗(yàn)證

根據(jù)工程項(xiàng)目要求，設(shè)撓性航天器的相關(guān)參數(shù)為：撓性梁長(zhǎng)度8 m，梁的彈性系數(shù)為6.8952×1010N/m2，撓性梁與剛性體的連接點(diǎn)面積為7.2968×10-5m2，梁材料密度為2.7667×103kg/m3，梁橫截面的旋轉(zhuǎn)慣量為8.2190×10-9，中心剛性體的半徑為0.5 m，旋轉(zhuǎn)慣量為300 kg/m2。已知的航天器大范圍機(jī)動(dòng)數(shù)學(xué)表述如式（21）所示。

式中mω 為中心剛性體最終運(yùn)動(dòng)的角速度。

將中心剛性體的角速度mω 分別設(shè)為0.5 rad/s，2 rad/s和4 rad/s，分別在動(dòng)力學(xué)零階模型（Zero-order Dynamic Model，ZDM）和動(dòng)力學(xué)一階模型（First-order Dynamic Model，F(xiàn)DM）中進(jìn)行仿真驗(yàn)證，結(jié)果如圖4 所示。

圖4 撓性梁頂端橫截面振動(dòng)Fig.4 Beam’s Tip Transverse Deformation

續(xù)圖4

如圖4a 所示，當(dāng)中心剛性體的角速度為0.5 rad/s時(shí)，撓性梁運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的振蕩頻率發(fā)生偏移，此時(shí)，ZDM 模型的剛性矩陣 ΛN- （）2I 和FDM 模型的剛性矩陣 ΛN+ （）2（ DN-I ）通過剛性矩陣中的參數(shù)矩陣ΛN實(shí)現(xiàn)正定控制作用。因此ZDM 模型和FDM 模型均可通過控制參數(shù)矩陣ΛN實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性梁橫向振動(dòng)的有效控制。因此兩種模型在仿真過程中能夠很好地對(duì)撓性梁的橫向振動(dòng)進(jìn)行控制。

如圖4b 所示，當(dāng)中心剛性體的角速度為2 rad/s時(shí)，撓性梁運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的振蕩頻率會(huì)接近其自身固有的一階振蕩頻率。此時(shí)在ZDM模型的剛性矩陣和FDM模型的剛性矩陣中，參數(shù) - （）2I 和（）2（ DN-I ）開始起正定控制作用，因此ZDM 模型需要通過控制參數(shù)- （）2I 實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性梁橫向振動(dòng)的有效控制，而FDM 模型需要通過控制參數(shù)（）2（ DN-I ）實(shí)現(xiàn)對(duì)撓性梁橫向振動(dòng)的有效控制。這解釋了ZDM 模型和FDM 模型在仿真計(jì)算過程中出現(xiàn)了較大差別。由圖4b 可知，ZDM模型的振蕩誤差要大于FDM 模型，在2 rad/s 的角速度條件下，F(xiàn)DM 模型能夠更好地抑制動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象對(duì)撓性梁橫向振動(dòng)的干擾。

如圖4c 所示，當(dāng)中心剛性體的角速度為4 rad/s時(shí)，撓性梁運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的振蕩頻率介于其一階自然振蕩頻率和二階自然振蕩頻率之間。此時(shí)，在ZDM 模型的剛性矩陣中，ΛN- （）2I 起負(fù)定控制作用，說明ZDM模型已經(jīng)無法有效控制梁的橫向振動(dòng)，橫向振動(dòng)出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象。在FDM 模型中，由于有參數(shù)DN能夠?qū)崿F(xiàn)正定控制，因此FDM 模型的剛性矩陣 ΛN+ （）2（ DN-I）仍然可以在大范圍機(jī)動(dòng)條件下保持矩陣控制的正定性。由圖4c 可知，在角速度4 rad/s 的條件下，F(xiàn)DM模型對(duì)撓性梁的橫向振動(dòng)仍然收斂可控。

綜上分析可知，隨著中心剛性體最大角速度 ωm的增大，ZDM 模型系統(tǒng)的控制能力開始失效。中心剛性體角速度mω 越大，動(dòng)力學(xué)剛化效果越明顯，但即使當(dāng)中心剛性體的角速度非常大時(shí)，F(xiàn)DM 模型仍然能夠通過剛性矩陣有效控制動(dòng)力學(xué)剛化干擾并實(shí)現(xiàn)收斂控制，因此FDM 模型系統(tǒng)能夠有效解決動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響，滿足實(shí)際的工程應(yīng)用要求。

3.2 FDM 模型的收斂控制分析

根據(jù)工程項(xiàng)目要求，設(shè)撓性航天器的相關(guān)參數(shù)為：撓性梁長(zhǎng)度5 m，梁橫截面的旋轉(zhuǎn)慣量為1.333×10-8kg/m2，梁材料密度為2.7667×103kg/m3，梁的彈性系數(shù)為6.8952×1010N/m2。忽略中心剛性體的外部影響，Jstar為0，b 的值也為0。撓性梁外部轉(zhuǎn)矩的計(jì)算為

式中 tm為工作時(shí)間，取2 s； Thmax表示最大轉(zhuǎn)矩，其數(shù)值為50 N?m。

圖5 為撓性梁FDM 模型仿真計(jì)算結(jié)果。仿真過程中，外部最大轉(zhuǎn)矩為50 N?m，撓性梁頂端橫截面的最大振幅約為0.42 m。當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，撓性梁的連續(xù)振動(dòng)振幅約為0.04 m。

圖5 一階模型仿真解算結(jié)果Fig.5 The FMD’s Model Simulation Results

續(xù)圖5

由圖5 可知，盡管中心剛性體的轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)值非常大，F(xiàn)MD 模型通過控制解算得到的梁橫向振幅、角位移及角速度仍會(huì)有效收斂。說明FMD 模型對(duì)剛性-柔性耦合的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)產(chǎn)生的剛化干擾具有很好的控制性能，能夠較好實(shí)現(xiàn)控制收斂性。

4 結(jié) 論

本文研究并建立了一種撓性航天器剛性-柔性耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。該方法首先將力學(xué)理論應(yīng)用在非慣性坐標(biāo)系中，然后通過設(shè)計(jì)2 個(gè)子系統(tǒng)全面分析考慮動(dòng)力學(xué)剛化影響下的航天器動(dòng)力學(xué)特征并進(jìn)行相關(guān)控制仿真驗(yàn)證。在整個(gè)模型的設(shè)計(jì)分析過程中，得到如下研究成果：

a）建立撓性梁分系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和中心剛性體動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，使其能夠反映撓性梁柔性變形對(duì)航天器的影響。

b）在非慣性坐標(biāo)系中引入力學(xué)理論，將動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象與動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)有機(jī)聯(lián)系在一起進(jìn)行控制分析。

c）提出了一種動(dòng)力學(xué)剛化效果理論分析及控制方法。分析得出航天器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)剛化問題耦合影響原因并處理方法。