探循環(huán)之“源理”定循環(huán)之依據(jù)
——以學(xué)定教“循環(huán)小數(shù)”實(shí)錄與評(píng)析

□于飛執(zhí) 教曹明 徐丹紅評(píng)析

【教學(xué)內(nèi)容】人教版五年級(jí)上冊(cè)第33-34頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)，理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因，并能正確使用循環(huán)小數(shù)表示商。

2.通過自學(xué)交流、計(jì)算驗(yàn)證等學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑探究、發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。

【教學(xué)重點(diǎn)】認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)，理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因。

【教學(xué)過程】

一、直接揭題，獲取學(xué)情

師：今天學(xué)習(xí)“循環(huán)小數(shù)”（板書：循環(huán)小數(shù)）。你知道循環(huán)小數(shù)長什么樣嗎？誰能來寫1個(gè)循環(huán)小數(shù)？

三位學(xué)生分別板書：5.666…，6.272727…，0.314314…

（評(píng)析：學(xué)生對(duì)于循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)不是一張白紙。教師直接揭題，讓學(xué)生來寫一寫，把握真實(shí)學(xué)情，以學(xué)定教。）

二、自學(xué)交流，探究新知

（一）自學(xué)驗(yàn)證，獲取新知

1.自學(xué)驗(yàn)證，初步感知。

師：它們是循環(huán)小數(shù)嗎？自學(xué)書本第33-34頁，找找答案，了解循環(huán)小數(shù)的相關(guān)知識(shí)。

（學(xué)生自學(xué)3分鐘）

師：這三個(gè)數(shù)是循環(huán)小數(shù)嗎？

生：是的。

師：為什么是？

生：因?yàn)樗鼈兒竺嬗袩o數(shù)個(gè)相同的數(shù)字。

生：因?yàn)楹竺娴臄?shù)字是重復(fù)的。

2.認(rèn)識(shí)循環(huán)節(jié)，并會(huì)簡寫循環(huán)小數(shù)。

師：重復(fù)的數(shù)字，有一個(gè)名稱叫——

生：循環(huán)節(jié)。

師：這三個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)分別是——

生：6，27，314。

師：這些循環(huán)小數(shù)，還可以怎么表示呢？

生:6上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。

師：5.666…這么多個(gè)6，你說的圓點(diǎn)點(diǎn)在哪個(gè)6上？

生：點(diǎn)在第一個(gè)6上。

師：6.2727…和0.314314…又該怎么表示呢？

生：6.2727…循環(huán)點(diǎn)點(diǎn)在第一個(gè)2和7的上面，0.314314…循環(huán)點(diǎn)點(diǎn)在第一個(gè)3和4上面。

師：是的。只要點(diǎn)在第一個(gè)循環(huán)節(jié)的首尾數(shù)字上即可。

小結(jié)：像這樣一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，從某一位起，一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這樣的小數(shù)就叫作循環(huán)小數(shù)。

（評(píng)析：學(xué)生通過自學(xué)的方式，認(rèn)識(shí)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)和簡便寫法。教師將教材的編排順序進(jìn)行適時(shí)調(diào)整，將什么是循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)和簡便寫法提前，既順應(yīng)學(xué)生已有的認(rèn)知，又為后續(xù)探究循環(huán)小數(shù)之源提供了基本知識(shí)。）

（二）三道算式，探循環(huán)之源與理

師：通過剛才的自學(xué)，你還有什么收獲嗎？

生：我還知道小數(shù)有有限小數(shù)和無限小數(shù)。

生：我知道循環(huán)小數(shù)是無限小數(shù)。

師：確實(shí)，因?yàn)檠h(huán)小數(shù)的小數(shù)部分有無數(shù)個(gè)重復(fù)的數(shù)字，因此它是無限小數(shù)，而像1.5這樣的小數(shù)就是有限小數(shù)。你還有其他收獲或者疑問嗎？

生：我知道兩個(gè)數(shù)相除，有可能得到循環(huán)小數(shù)。

師：你關(guān)注的是循環(huán)小數(shù)是怎么產(chǎn)生的。這真是一個(gè)巨大收獲，掌聲送給他。他是說循環(huán)小數(shù)可以由兩數(shù)相除得到。老師這里有一個(gè)算式，會(huì)不會(huì)產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)呢？（板書：1.3÷3=）

（評(píng)析：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題：循環(huán)小數(shù)是怎么產(chǎn)生的？這是本節(jié)課的核心問題。學(xué)生通過教材例題的自學(xué)，不難發(fā)現(xiàn)：兩數(shù)相除可以得到循環(huán)小數(shù)，這在學(xué)習(xí)本課前學(xué)生是不清楚的。由此激發(fā)了學(xué)生探究的興趣，引發(fā)對(duì)核心問題“循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生之緣由”的深入研究。）

1.計(jì)算1.3÷3，理解“相除”可以得到循環(huán)小數(shù)。

學(xué)生在練習(xí)紙上獨(dú)立計(jì)算，教師巡視，尋找典型算法（循環(huán)節(jié)特別長、豎式商帶省略號(hào)）并板書于黑板上。

師：做好了嗎？請(qǐng)看黑板，這是一位同學(xué)的計(jì)算過程，商是循環(huán)小數(shù)嗎？

生：是循環(huán)小數(shù)，因?yàn)樯桃恢敝貜?fù)出現(xiàn)“3”。

師：為什么商“3”會(huì)重復(fù)出現(xiàn)呢？請(qǐng)把你的想法與同桌說一說。

（學(xué)生思考，同桌交流想法，并匯報(bào)）

生：因?yàn)樨Q式中3×4=12，商4，13-12余1，添0，3×3=9，商3，又余1，再添0，3×3=9，商又是3，余數(shù)又是1。余數(shù)一直是1，添0，商也一直是3，永遠(yuǎn)寫不完。

師：誰聽懂他的意思了？

生：他的意思是豎式計(jì)算過程中總是“余1”，添0后繼續(xù)除，商一直是3。

師：你能上來指著板書豎式，說說你的理解嗎？

（學(xué)生上臺(tái)指著板書，解釋商循環(huán)的原因）

師：我們一起來看豎式。三四十二，余1，添0，對(duì)應(yīng)商3，三三得九，余1，添0，對(duì)應(yīng)的商又是3，繼續(xù)往下算三三得九，余1，添0，對(duì)應(yīng)商還是3。原來是由于余數(shù)1的依次不斷重復(fù)出現(xiàn)（板書：依次不斷重復(fù)），使得商出現(xiàn)了循環(huán)小數(shù)。（教師邊小結(jié)，邊完善上圖中的板書）

師：在計(jì)算中，除法豎式除到哪一位，豎式中的商就寫到哪一位。很多同學(xué)豎式商寫了省略號(hào)，這是錯(cuò)誤的，此處省略號(hào)不用寫。（擦掉原先豎式商的省略號(hào)）省略號(hào)在橫式中要表示出來，板書橫式中的商：0.4333…，也可以簡寫成：0.43·。

（評(píng)析：教師在本環(huán)節(jié)想要達(dá)成兩個(gè)目標(biāo)。目標(biāo)1：確定兩個(gè)數(shù)相除是可以產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)的，找到循環(huán)之源；目標(biāo)2：理解為什么商“3”重復(fù)出現(xiàn)，是由于“余數(shù)1”的依次不斷重復(fù)出現(xiàn)引起的，理解循環(huán)之理。）

2.計(jì)算86÷11，理解“相同余數(shù)第二次出現(xiàn)”可以產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)。

師：原來兩個(gè)數(shù)相除真的可以產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)，我們一起再來試一試。（師板書：86÷11）

學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師尋找豎式“寫得很短的”案例，并板書于黑板上。

師：計(jì)算好了嗎？答案是多少？

師：這里有一位學(xué)生是這樣做的（如右圖）。仔細(xì)觀察，你看得懂嗎？他的計(jì)算過程產(chǎn)生循環(huán)小數(shù)了嗎？

生：沒有產(chǎn)生，因?yàn)樯讨谐霈F(xiàn)81，你怎么知道接下來一定是81重復(fù)呢，可能是812812重復(fù)都有可能，我覺得算到這里還不能判斷。

生：我也認(rèn)為是不對(duì)的。循環(huán)小數(shù)要商不斷重復(fù)出現(xiàn)，現(xiàn)在還沒有重復(fù)出現(xiàn)。

生：我有不同意見。我覺得可以判斷商一定是循環(huán)小數(shù)了，因?yàn)槟憧船F(xiàn)在余數(shù)是9，那么添0，往下算的話，商就是8，再算商就是1，它就是81循環(huán)。

……

（學(xué)生爭論不清）

師：那想象一下，如果繼續(xù)往下算，會(huì)怎么樣呢？

學(xué)生說計(jì)算過程，教師板書豎式。（形成右圖豎式，注：此時(shí)還未有線框）

師：現(xiàn)在你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：下面算的過程和之前的是一樣的，不斷重復(fù)了。師：什么地方是一樣的，上來指一指。（學(xué)生上臺(tái)指相同過程）

師：他的意思是第二步過程和原有的第一步是一樣的，這一步對(duì)應(yīng)的商是81。那沒有算完的這一步（最后的余數(shù)9），對(duì)應(yīng)的商是81。

小結(jié)：這位同學(xué)只算到余數(shù)9第二次重復(fù)出現(xiàn)，就判斷循環(huán)節(jié)是81是可行的。因?yàn)?，余?shù)相同，計(jì)算下一步就會(huì)重復(fù)上一步過程，也就產(chǎn)生了循環(huán)。

（評(píng)析：為什么余數(shù)第二次重復(fù)出現(xiàn)，就能判斷商是循環(huán)小數(shù)呢？這是一個(gè)有挑戰(zhàn)性的問題。教師在展示“短”作品后，充分讓學(xué)生思辨，有學(xué)生贊同，有學(xué)生不贊同。交流過程充分展現(xiàn)學(xué)生質(zhì)疑探究的能力。）

3.計(jì)算41÷37，誰能最快找到循環(huán)節(jié)。

師：下面我們進(jìn)行比賽，看誰能最快找到41÷37商的循環(huán)節(jié)。

（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，教師巡視，尋找較快完成的同學(xué)）

師：找到循環(huán)節(jié)了嗎？是多少？

生：找到了，循環(huán)節(jié)是108。

師：（投影學(xué)生作品：短的）這是很快找到循環(huán)節(jié)的同學(xué)，仔細(xì)觀察，和他過程一樣的舉手。

師：順便檢查一下，108循環(huán)，你的循環(huán)點(diǎn)點(diǎn)對(duì)了嗎？

（學(xué)生互相檢查有沒有正確表示）

師：通過剛才的3次計(jì)算，你對(duì)循環(huán)小數(shù)有了什么更深的認(rèn)識(shí)？

生：我知道循環(huán)小數(shù)是兩個(gè)數(shù)除出來的。

生：我知道如果余數(shù)依次不斷重復(fù)出現(xiàn)相同的數(shù)字，商也不斷重復(fù)。

生：我還理解了余數(shù)只要第二次重復(fù)出現(xiàn)，就可以判斷是循環(huán)小數(shù)了，不用計(jì)算很多位。

（評(píng)析：采用比誰最快找到循環(huán)節(jié)的教學(xué)方式，使得在一堂課的后半段，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被再次激發(fā)，既鞏固了教學(xué)成果，又使學(xué)生對(duì)于循環(huán)小數(shù)的產(chǎn)生有了更深刻的認(rèn)識(shí)和理解。）

三、鞏固練習(xí)，拓展提升

（一）比大小

（二）確定循環(huán)節(jié)

師：昨天老師計(jì)算了1.5÷7，計(jì)算過程課件會(huì)慢慢呈現(xiàn)，當(dāng)你確定商的循環(huán)節(jié)了，就站起來示意。

課件一步步呈現(xiàn)豎式過程，到右圖所示結(jié)果時(shí)，有很多學(xué)生站起來了。

師：為什么計(jì)算到這里，你們就確定了循環(huán)節(jié)呢？

生：因?yàn)樯讨貜?fù)出現(xiàn)2了。

師：是這樣的嗎？你為什么沒有站起來？

生：我覺得到這里還無法判斷，因?yàn)樵偎阆氯ィ?添0，商是8了，不是1，還沒有出現(xiàn)重復(fù)。

生：我們判斷循環(huán)小數(shù)不是看商的數(shù)字有沒有重復(fù)，而是看豎式中余數(shù)有沒有重復(fù)，而這里余6，上面沒有6，所以還不能判斷。

師：解釋得真好，判斷商是不是循環(huán)小數(shù)，關(guān)鍵看：余數(shù)有無重復(fù)出現(xiàn)（指板書：重復(fù)出現(xiàn)）。

課件繼續(xù)呈現(xiàn)計(jì)算過程，到如上右圖所示，學(xué)生認(rèn)同可以判斷循環(huán)節(jié)是：142857。

（評(píng)析：課堂很活躍，學(xué)生能判斷了就站起來。很多學(xué)生看到商重復(fù)出現(xiàn)2時(shí)就站起來了，這時(shí)教師沒有急著算下去，而是組織生生交流，讓站起來的學(xué)生自然意識(shí)到應(yīng)該關(guān)注的是豎式中的余數(shù)有無重復(fù)出現(xiàn)，再次經(jīng)歷了難點(diǎn)的理解鞏固。）

（三）你知道嗎

師：現(xiàn)在我們通過課件觀看一些循環(huán)小數(shù)。

（評(píng)析：這一環(huán)節(jié)拓展了學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)的認(rèn)識(shí)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣，例如學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：循環(huán)節(jié)的位數(shù)最大是比除數(shù)小1，思考為什么小1，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力。）

四、全課總結(jié)，交流感受

師：今天這節(jié)課學(xué)習(xí)了循環(huán)小數(shù)，你對(duì)循環(huán)小數(shù)有什么新的問題要提？

生：學(xué)習(xí)循環(huán)小數(shù)，有什么用？

生：兩數(shù)相除商有可能是無限但不循環(huán)的小數(shù)嗎？

生：為什么剛才“你知道嗎”這幾個(gè)例子，循環(huán)節(jié)的位數(shù)比除數(shù)小1？

……

師：同學(xué)們提出的問題都很有探究價(jià)值，這些問題的答案有興趣的同學(xué)可以課余去探究，通過查資料了解。

（評(píng)析：總結(jié)交流環(huán)節(jié)，教師又組織了一次發(fā)現(xiàn)和提出問題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考循環(huán)小數(shù)還有哪些知識(shí)可以去探究，這也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。）

【總評(píng)】

這是一堂層次分明的數(shù)學(xué)課，教師在教學(xué)中充分體現(xiàn)了以學(xué)生為主體的理念，主要表現(xiàn)在以下三點(diǎn)。

一、把握學(xué)情，以學(xué)定教

學(xué)生對(duì)循環(huán)小數(shù)的認(rèn)知不是零起點(diǎn)，教師把握了學(xué)情。課始讓學(xué)生寫循環(huán)小數(shù)，通過自學(xué)的方式加以驗(yàn)證，同時(shí)把循環(huán)節(jié)及簡便表示很有效率地教學(xué)完。這樣的處理方式，優(yōu)點(diǎn)在于：（1）尊重學(xué)情，學(xué)生已經(jīng)知道的、自學(xué)能會(huì)的知識(shí)，就應(yīng)該放手讓學(xué)生展示，在自學(xué)和交流中不斷完善認(rèn)知；（2）留足空間，探究循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因是本課的重點(diǎn)難點(diǎn)。

二、突出重點(diǎn)，深度學(xué)習(xí)

本課知識(shí)點(diǎn)較多，包含了循環(huán)小數(shù)的定義、產(chǎn)生過程、讀寫方法、認(rèn)識(shí)循環(huán)節(jié)、商的分類、無限小數(shù)和有限小數(shù)的定義等。于老師把理解循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的原因，作為本課的重點(diǎn)難點(diǎn)，著重探究為什么，而不是是什么。于老師設(shè)計(jì)了3道不同形式、不同層次的計(jì)算題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷了循環(huán)小數(shù)產(chǎn)生的過程，知道商循環(huán)的原因是由于余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)引起的。學(xué)生掌握了只要余數(shù)第二次重復(fù)出現(xiàn)，就不必再除，可以確定商的循環(huán)節(jié)。

三、發(fā)現(xiàn)問題，提出問題

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)。于老師在課中很好地搭建了發(fā)現(xiàn)和提出問題的平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑和交流，幫助學(xué)生理解循環(huán)小數(shù)。如在自學(xué)后的交流環(huán)節(jié)，于老師問：自學(xué)后你有哪些收獲或者疑問？意在讓學(xué)生關(guān)注循環(huán)小數(shù)的產(chǎn)生。又如在課尾問：你對(duì)循環(huán)小數(shù)有什么新的問題要提？意在引發(fā)學(xué)生的深入思考，激發(fā)探究欲望，這是比獲得知識(shí)更重要的環(huán)節(jié)。