考慮基礎(chǔ)激勵(lì)輸入的柔性磁懸浮控制系統(tǒng)

沈 鋼，李 欽，陳 浩

（1. 同濟(jì)大學(xué)鐵道與城市軌道交通研究院，上海201804；2. 上海市計(jì)量測(cè)試技術(shù)研究院，上海201203）

磁懸浮車(chē)輛有著速度快、能耗低、轉(zhuǎn)彎半徑小、爬坡能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，是未來(lái)交通領(lǐng)域重要的發(fā)展方向［1］。德國(guó)對(duì)磁懸浮車(chē)輛的研究較早，研制的TR系列磁懸浮列車(chē)已有50 年的歷史［2］。我國(guó)上海的世界首條商用高速磁懸浮線(xiàn)路即由德國(guó)TR08 系列磁懸浮列車(chē)發(fā)展而來(lái)。日本的HSST型中低速磁懸浮和MLX 型高溫超導(dǎo)磁懸浮列車(chē)亦達(dá)到了較高的技術(shù)水平。然而，目前磁懸浮列車(chē)的車(chē)軌耦合振動(dòng)問(wèn)題急需解決［3］。日本的HSST 型列車(chē)和德國(guó)的TR04列車(chē)均曾發(fā)生過(guò)車(chē)軌耦合振動(dòng)過(guò)大的情況［4］。當(dāng)磁懸浮系統(tǒng)遇到軌道局部的不平順激勵(lì)時(shí)，磁鐵間由車(chē)輛鏈接形成的耦合導(dǎo)致車(chē)軌間的耦合振動(dòng)，極大地影響車(chē)輛運(yùn)行的舒適性甚至安全性。目前工業(yè)上廣泛使用的磁懸浮控制算法均基于將軌道板假設(shè)為絕對(duì)剛性而設(shè)計(jì)的，由于不考慮軌道板的振動(dòng)自由度，從理論上車(chē)軌耦合振動(dòng)無(wú)法完全抑制。只有增大軌道板剛度，提高軌道板和橋梁基礎(chǔ)的制造、安裝等精度，才能夠保證磁懸浮車(chē)輛系統(tǒng)具有可以接受的穩(wěn)定性，這也就造成了磁懸浮線(xiàn)路的建設(shè)成本極高，難以大規(guī)模推廣應(yīng)用。通過(guò)改進(jìn)控制算法提升磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高容許的軌道板精度誤差、橋梁基礎(chǔ)精度誤差以及降低軌道板剛度要求，這無(wú)疑有著很大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值和應(yīng)用價(jià)值。

本研究中探討了考慮軌道板振動(dòng)的柔性控制算法下磁懸浮車(chē)輛系統(tǒng)對(duì)軌道板的剛度要求，并討論了磁懸浮系統(tǒng)在不同激勵(lì)作用下的響應(yīng)。

1 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

車(chē)軌耦合的磁懸浮車(chē)輛系統(tǒng)主要包括電磁鐵、軌道板、橋梁基礎(chǔ)等三個(gè)部分。為了數(shù)學(xué)描述的方便，將車(chē)體與懸浮架的質(zhì)量等效在電磁鐵上，將軌道板等效為橋梁基礎(chǔ)上的質(zhì)量剛度系統(tǒng)。圖1為磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。圖1 中，x1、x2分別為軌道板和電磁鐵的位移，w為基礎(chǔ)的位移激勵(lì)輸入，m1、m2分別為軌道板和電磁鐵的質(zhì)量，k為軌道板的等效剛度，F(xiàn)為電磁鐵的電磁力，R為電磁線(xiàn)圈的電阻，U為電磁線(xiàn)圈間的電壓，L為線(xiàn)圈的電感。

圖1 考慮基礎(chǔ)激勵(lì)輸入的磁懸浮系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of maglev system considering irregularity excitation

由電工學(xué)中電磁鐵的工作原理可知，電磁力的計(jì)算式如下所示［5］：

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率；N為線(xiàn)圈匝數(shù)；Asm為磁極面積；I為線(xiàn)圈電流。為了方便進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)和研究，在工作點(diǎn)處將非線(xiàn)性的電磁系統(tǒng)方程線(xiàn)性化。令S=x2-x1為懸浮氣隙，分別將電磁力F關(guān)于電流I和氣隙S求偏導(dǎo)數(shù)，可得到電磁力的線(xiàn)性化方程，如下所示：

式（2）～（4）中：PI和PS分別為電流系數(shù)和氣隙系數(shù)；Ibal和dbal分別為系統(tǒng)的平衡電流和平衡氣隙。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可得電磁鐵和軌道板的運(yùn)動(dòng)方程，如下所示：

由Meisinger等［6］的工作可以得到電磁鐵的電氣方程，如下所示：

式中：η為漏磁率。式（2）～（7）對(duì)磁懸浮系統(tǒng)進(jìn)行了完整的數(shù)學(xué)描述。

2 控制器的設(shè)計(jì)

狀態(tài)反饋是一種廣泛應(yīng)用于控制領(lǐng)域的控制形式。將系統(tǒng)的狀態(tài)變量反饋給控制器進(jìn)行計(jì)算，得到的控制量作用回系統(tǒng)中以實(shí)現(xiàn)控制［7］。下面建立針對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。對(duì)于磁懸浮系統(tǒng)而言，目前工業(yè)上廣泛應(yīng)用的控制器大多不考慮軌道板的振動(dòng)情況，即將軌道板假設(shè)為絕對(duì)的剛性物體，基于此假設(shè)計(jì)算的控制器簡(jiǎn)稱(chēng)剛性控制器?？紤]軌道板振動(dòng)自由度，軌道板被作為質(zhì)量剛度系統(tǒng)對(duì)待，基于此假設(shè)計(jì)算的控制器簡(jiǎn)稱(chēng)柔性控制器。從理論上看，剛性控制器在設(shè)計(jì)時(shí)不考慮軌道板的自由度，計(jì)算更為簡(jiǎn)單、快速；柔性控制器考慮的自由度較多，控制器本身在實(shí)現(xiàn)控制時(shí)的計(jì)算量也會(huì)較大。

2.1 剛性控制器設(shè)計(jì)

由于不考慮軌道板振動(dòng)的自由度，因此數(shù)學(xué)模型中的x1被認(rèn)為是定值，不參與控制器的計(jì)算。針對(duì)式（2）～（7）描述的磁懸浮系統(tǒng)，選取x2、x?2、x?2作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，Xs=[x2x?2x?2]T在平衡位置將系統(tǒng)線(xiàn)性化，則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述可整理為如下形式的方程組：

式（8）～（10）為整理后剛性控制器控制下的系統(tǒng)描述，得到的系統(tǒng)狀態(tài)方程如下所示：

式中：Ks為設(shè)計(jì)的剛性控制器。剛性控制器結(jié)構(gòu)如圖2所示。

建立性能泛函，如下所示：

式中：qd、q2、r分別為懸浮氣隙加權(quán)系數(shù)、磁鐵振動(dòng)加速度加權(quán)系數(shù)和控制電壓加權(quán)系數(shù)。由于剛性控制算法不涉及軌道板的自由度，因此性能泛函只能對(duì)電磁鐵自由度的相關(guān)信息進(jìn)行約束。性能泛函的選取決定了控制器的控制效果。在Simulink平臺(tái)上不斷調(diào)試性能泛函中qd、q2、r的取值組合，以電磁鐵和軌道板振動(dòng)較小和控制電壓在可接受范圍內(nèi)為目的，得到較優(yōu)的權(quán)重系數(shù)組合。經(jīng)過(guò)仿真試驗(yàn)嘗試，取qd=106、q2=1、r=1，分別對(duì)懸浮氣隙、磁鐵振動(dòng)加速度和控制電壓進(jìn)行加權(quán)。

圖2 剛性控制器結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure of stiff controller

式中：Qs和Rs分別為輸出加權(quán)矩陣和控制加權(quán)矩陣。對(duì)希望的輸出指標(biāo)和控制電壓進(jìn)行加權(quán)，達(dá)到使磁懸浮系統(tǒng)的氣隙振動(dòng)和電磁鐵的振動(dòng)較小，同時(shí)控制電壓不能太大的目的。

由最優(yōu)控制理論可知，滿(mǎn)足下式的U使得性能泛函J最?。?］：

式中：P為Riccati方程的解。Riccati方程如下所示：

2.2 柔性控制器設(shè)計(jì)

式（16）～（20）即為整理后柔性控制器下的系統(tǒng)描述方程組。系統(tǒng)的狀態(tài)方程如下所示：

狀態(tài)反饋控制律如下所示：

式中：Kf為設(shè)計(jì)的柔性控制器。柔性控制器結(jié)構(gòu)如圖3 所示。由于考慮了軌道板的振動(dòng)，因此性能泛函便可對(duì)軌道板的運(yùn)動(dòng)做出控制要求。式（23）中qt便體現(xiàn)了對(duì)軌道板振動(dòng)的約束，使得控制器工作時(shí)得以抑制軌道板的振動(dòng)。性能泛函如下所示：

圖3 柔性控制器結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of flexible controller

取qt=107、qd=106、q2=1、r=1，分別對(duì)軌道板的振動(dòng)速度、懸浮氣隙、電磁鐵的加速度、控制電壓進(jìn)行加權(quán)。

令

式中：Qf和Rf分別為輸出加權(quán)矩陣和控制加權(quán)矩陣。希望通過(guò)加權(quán)，使得軌道板的振動(dòng)和電磁鐵的振動(dòng)較小，懸浮氣隙的波動(dòng)也較小，同時(shí)控制電壓在合理的范圍內(nèi)。

由最優(yōu)控制理論可知，滿(mǎn)足下式的U使得性能泛函J最?。?/p>

式中：P為Riccati方程的解。Riccati方程如下所示：

3 軌道板剛度對(duì)懸浮穩(wěn)定性的影響

為了分析控制器的作用效果，建立了Matlab/Simulink 磁懸浮系統(tǒng)模型，并將不同的控制算法搭建在模型上。Simulink模型結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 Matlab/Simulink控制模型結(jié)構(gòu)Fig.4 Structure of Matlab/Simulink control model

在Simulink 模型中，剛性控制器和柔性控制器的控制矩陣皆建立在系統(tǒng)中，由開(kāi)關(guān)通道選擇實(shí)行控制的控制算法。模型參數(shù)如表1所示。

表1 模型參數(shù)Tab.1 Parameters of model

分別使用第2 節(jié)推導(dǎo)的剛性控制算法U=-KsXs和柔性控制算法U=-KfXf進(jìn)行仿真試驗(yàn)。軌道板剛度取34 000 N·m-1，懸浮氣隙響應(yīng)如圖5所示。

圖5 懸浮氣隙響應(yīng)Fig.5 Air gap response

由圖5可見(jiàn)，剛性控制算法下系統(tǒng)是發(fā)散的，而柔性控制算法下系統(tǒng)可以很好地收斂。剛性控制算法下對(duì)磁懸浮系統(tǒng)增加不同的軌道梁剛度K，得到的懸浮氣隙響應(yīng)如圖6～9所示。

圖6 K=510 000 N·m-1Fig.6 K=510 000 N·m-1

圖7 K=680 000 N·m-1Fig.7 K=680 000 N·m-1

柔性控制算法下對(duì)磁懸浮系統(tǒng)增加軌道梁剛度K，得到的懸浮氣隙響應(yīng)如圖10和圖11所示。

圖8 K=1 020 000 N·m-1Fig.8 K=1 020 000 N·m-1

圖9 K=1 700 000 N·m-1Fig.9 K=1 700 000 N·m-1

圖10 K=34 000 N·m-1Fig.10 K=34 000 N·m-1

圖11 K=510 000 N·m-1Fig.11 K=510 000 N·m-1

由圖10和圖11可見(jiàn)，柔性控制算法下磁懸浮系統(tǒng)在初始剛度K=34 000 N·m-1時(shí)已經(jīng)穩(wěn)定，增大剛度只會(huì)進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，懸浮氣隙響應(yīng)的波動(dòng)進(jìn)一步減小，系統(tǒng)更快收斂在平衡位置。由圖6～9可見(jiàn)，剛性控制算法很難使磁鐵軌道系統(tǒng)穩(wěn)定。軌道板剛度增大到原剛度的50倍時(shí)，剛性控制算法才能夠?qū)⑾到y(tǒng)穩(wěn)定在一定的范圍內(nèi)，但是對(duì)懸浮氣隙的響應(yīng)曲線(xiàn)放大后仍可看出系統(tǒng)在平衡位置處存在著振蕩，并且振蕩一直持續(xù)存在。這是由于控制系統(tǒng)未考慮軌道板的自由度，對(duì)軌道板振動(dòng)無(wú)法進(jìn)行抑制，除非軌道板自身存在一定的阻尼，否則系統(tǒng)很難趨向穩(wěn)定?，F(xiàn)實(shí)中，軌道板總會(huì)存在一定的阻尼，不斷地增大軌道板的剛度亦能夠使得系統(tǒng)趨向于穩(wěn)定，這也是實(shí)際工程中，采用剛性控制算法的磁懸浮線(xiàn)路軌道板質(zhì)量很大、造價(jià)高昂的原因。

4 軌道存在激勵(lì)

在工程實(shí)際中，由于磁懸浮車(chē)輛需要通過(guò)橋梁，因此橋梁間的制造精度誤差以及地表的沉降等因素都會(huì)造成磁懸浮線(xiàn)路基礎(chǔ)存在擾動(dòng)。為了減少擾動(dòng)對(duì)磁懸浮系統(tǒng)的不利影響，通常對(duì)橋梁和基礎(chǔ)的制造要求很高，這也大大提高了磁懸浮線(xiàn)路的工程造價(jià)。通過(guò)提升控制算法來(lái)提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低對(duì)橋梁基礎(chǔ)等的建造精度要求，無(wú)疑有著很大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值，十分有利于磁懸浮車(chē)輛的進(jìn)一步推廣應(yīng)用。下面對(duì)存在激勵(lì)情況時(shí)不同控制器作用下的系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行分析。

4.1 固定基礎(chǔ)激勵(lì)

假定某一軌道板下的基礎(chǔ)存在垂向的不平順激勵(lì)，為階躍形式的激勵(lì)輸入。假設(shè)軌道板長(zhǎng)度為3 m，磁懸浮列車(chē)通過(guò)的速度為200 km·h-1，則階躍激勵(lì)的時(shí)長(zhǎng)為0.054 s。下面探討激勵(lì)的大小與磁懸浮系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系。激勵(lì)輸入如圖12所示。

圖12 激勵(lì)輸入Fig.12 Disturbance input

在剛性控制算法下將軌道板的剛度增大50倍，K=1 700 000 N·m-1，加入激勵(lì)信號(hào)后，懸浮氣隙響應(yīng)如圖13和圖14所示。

圖13 w=0.1 mmFig.13 w=0.1 mm

圖14 w=0.5 mmFig.14 w=0.5 mm

由圖13和圖14可見(jiàn)，剛性控制算法下基礎(chǔ)激勵(lì)輸入后，系統(tǒng)被激勵(lì)并出現(xiàn)逐漸擴(kuò)大的振蕩。在激勵(lì)輸入w=0.1 mm的情況下振蕩相對(duì)較小，但仍為緩慢發(fā)散的趨勢(shì)。因此，剛性控制算法校正下的磁懸浮系統(tǒng)對(duì)于基礎(chǔ)的激勵(lì)魯棒性很差，極易造成系統(tǒng)振蕩失穩(wěn)。。

柔性控制算法下的懸浮氣隙響應(yīng)如圖15～18所示，軌道板剛度取較小的預(yù)先值K=34 000 N·m-1。

圖15 w=0.5 mmFig.15 w=0.5 mm

由圖15～18 可見(jiàn)，激勵(lì)增加至1.5 mm 后，振蕩才超過(guò)8 mm的安全界限。在激勵(lì)小于1.5 mm的情況下，系統(tǒng)都可以很好地收斂并且振蕩小于安全界圖18w=1.5 mm Fig.18w=1.5 mm限。與剛性控制算法對(duì)比，柔性控制算法對(duì)固定基礎(chǔ)激勵(lì)的穩(wěn)定性更好。

圖16 w=1.0 mmFig.16 w=1.0 mm

圖17 w=1.2 mmFig.17 w=1.2 mm

4.2 隨機(jī)基礎(chǔ)激勵(lì)

在同樣的軌道剛度條件下，添加如圖19所示的軌道基礎(chǔ)擾動(dòng)，每秒產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)的階躍信號(hào)。

從圖20和圖21可以看，剛性控制算法下懸浮氣隙的波動(dòng)已超出8 mm的安全范圍，而柔性控制算法下懸浮氣隙可以保持在安全的范圍之內(nèi)。

軌道板的高頻不平順和基礎(chǔ)的高頻不平順也會(huì)對(duì)懸浮穩(wěn)定性造成影響。圖22 為由某實(shí)測(cè)高速磁懸浮線(xiàn)路不平順數(shù)據(jù)生成的高頻隨機(jī)激勵(lì)。剛性和柔性控制算法的懸浮氣隙響應(yīng)如圖23 所示。由圖23 可見(jiàn)，高頻激勵(lì)時(shí)剛性控制算法下懸浮氣隙更容易振蕩超限且振蕩有發(fā)散的趨勢(shì)；柔性控制算法下懸浮氣隙相對(duì)穩(wěn)定，振蕩的幅度更小，收斂得更快。

圖19 軌道激勵(lì)輸入Fig.19 Track disturbance input

圖20 柔性算法懸浮氣隙響應(yīng)Fig.20 Air gap response of flexible controller

圖21 剛性算法懸浮氣隙響應(yīng)Fig.21 Air gap response of stiff controller

圖23 兩種算法的懸浮氣隙響應(yīng)Fig.23 Air gap responses of two controllers

5 結(jié)論

（1）增大軌道板的剛度有利于磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)定。剛性控制算法對(duì)剛度要求較高，而柔性控制算法對(duì)剛度要求較低。剛性控制算法下磁懸浮系統(tǒng)極易出現(xiàn)振蕩和車(chē)軌耦合振動(dòng)，并且較難抑制。

（2）對(duì)于存在軌道基礎(chǔ)激勵(lì)的情況，剛性控制算法魯棒性較差，激勵(lì)極易造成系統(tǒng)振蕩甚至失穩(wěn)。柔性控制算法對(duì)軌道基礎(chǔ)不平順激勵(lì)輸入的魯棒性較好，在激勵(lì)不大于1.5 mm時(shí)皆可保證振蕩很快收斂且振幅不超過(guò)磁懸浮系統(tǒng)的安全界限。