繩牽連物體的運(yùn)動(dòng)研究

王維國

(江蘇省海安高級(jí)中學(xué)，江蘇 海安 226600)

繩桿關(guān)聯(lián)系統(tǒng)是力學(xué)中的經(jīng)典問題，對(duì)中學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)，在高考中屢見不鮮，也引起了一些研究者的關(guān)注．在研究繩桿關(guān)聯(lián)系統(tǒng)速度和加速度關(guān)系時(shí)，不少人利用運(yùn)動(dòng)的合成與分解規(guī)律分析，或在直角坐標(biāo)、自然坐標(biāo)、極坐標(biāo)下，用高等數(shù)學(xué)方法對(duì)幾何關(guān)系式、速度關(guān)系式求導(dǎo).[1]有研究者指出轉(zhuǎn)動(dòng)的繩牽連兩物體的速度并非同時(shí)達(dá)到最大，并計(jì)算了速度最大的位置.[2]有人用幾何畫板、MATLAB作出了繩桿兩端物體的加速度等物理量隨角度變化的圖像.[3，4]有的文獻(xiàn)提及可用數(shù)值求解拉氏方程得到速度加速度和張力隨時(shí)間變化，但沒有詳述．[5]而對(duì)繩牽連物體的運(yùn)動(dòng)量隨時(shí)間變化規(guī)律定量關(guān)系的研究卻未見到.本文對(duì)此及相關(guān)問題進(jìn)行系統(tǒng)的分析，并將結(jié)論用圖像進(jìn)行直觀呈現(xiàn)．

1 問題的由來

以某市2020屆高三第一次調(diào)研試卷中的一道選擇題為例.

圖1

例1.如圖1所示，豎直桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球A，用不可伸長的輕質(zhì)細(xì)線通過輕質(zhì)小定滑輪O，連接小球A、B．小球A從細(xì)繩與豎直方向的夾角為37°的位置由靜止釋放，恰能運(yùn)動(dòng)到細(xì)繩與豎直方向垂直的C點(diǎn)，一切阻力不計(jì)，已知sin37°=0.6.則

(A) 小球A在上升過程中加速度先減小后增大.

(B) 小球B在最低點(diǎn)時(shí)加速度和速度都為0.

(C) 小球B的質(zhì)量為1.25m.

(D) 小球B的質(zhì)量為2m.

答案： (A)、(B)、(D)．

不少教師對(duì)選項(xiàng)(B)有疑問，認(rèn)為小球B從最高點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)先加速后減速，在最低點(diǎn)速度為0，而后向上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，所以在最低點(diǎn)時(shí)小球B加速度應(yīng)該向上，而不為0．

本文就這個(gè)繩牽連物體問題從多個(gè)角度進(jìn)行定量分析．

2 牽連加速度關(guān)系

因?yàn)閺埦o的剛性繩的總長度不變，所以兩端物體沿繩方向的速度大小相等．有學(xué)生據(jù)此進(jìn)行知識(shí)遷移，認(rèn)為沿繩方向的加速度大小也相等．這個(gè)結(jié)論能否成立，需經(jīng)推理證明．

2.1 繩牽連加速度關(guān)系的推導(dǎo)

我們用兩種方法分析兩小球在任意位置加速度aA、aB大小的關(guān)系．

2.1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng)法

取與輕小滑輪相切右側(cè)繩上的點(diǎn)為P點(diǎn)，設(shè)P點(diǎn)到豎直桿的距離為s，繩與豎直方向的夾角為θ．任意時(shí)刻A球相對(duì)P點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，有切向加速度aτ和向心加速度an，則A球相對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的加速度aAP有

aAP=aτ+an.

(1)

A球和繩上P點(diǎn)相對(duì)地面的加速度分別為aA、aP，由相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度關(guān)系有

aA=aAP+aP.

(2)

設(shè)B球的加速度方向向下，則繩上P點(diǎn)的加速度沿滑輪切向(AP方向)，與B球的加速度大小相等，aB=aP．

將(1)式代入(2)式，把(2)式投影到繩AP方向，得A球在AP方向上的加速度

aAcosθ=an+aB，

(3)

其中向心加速度為

(4)

將(4)式代入(3)式得任意位置兩球加速度大小關(guān)系

(5)

此式中，A球加速度向上為正方向，B球加速度向下為正方向．

2.1.2 對(duì)幾何關(guān)系式求導(dǎo)

在一些文獻(xiàn)中，研究加速度關(guān)系用高等數(shù)學(xué)方法時(shí)涉及到單位矢量的導(dǎo)數(shù)，較為繁瑣．如果在描述幾何關(guān)系時(shí)，避免用角度參量，就能使運(yùn)算過程更為簡單．

設(shè)A球到P點(diǎn)距離為r，A球到C點(diǎn)距離為h，由幾何關(guān)系得

r2=s2+h2.

(6)

將(6)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(7)

因?yàn)閞、h均隨時(shí)間減小，所有

(8)

將(8)式代入(7)式得

rvB=hvA.

(9)

將(9)式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得

(10)

-vB2+raB=-vA2+haA.

即

(11)

(12)

(12)式與上一節(jié)所講的結(jié)果(5)式相同．

2.2 牽連加速度關(guān)系討論

在零時(shí)刻，A球在最低點(diǎn)，B球在最高點(diǎn)，vA=0，vB=0，則aAcosθ=aB；當(dāng)A球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，B球最低點(diǎn)，vA=0，vB=0，仍滿足aAcosθ=aB．在這兩個(gè)位置，“沿繩方向的加速度大小相等”是成立的，其條件是繩沒有轉(zhuǎn)動(dòng)．B球最低點(diǎn)時(shí)，A球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，繩水平，A球的加速度aA=g，且cosθ=0，則aB=aAcosθ=gcosθ=0.上述試題中的(B)選項(xiàng)“小球B在最低點(diǎn)時(shí)加速度和速度都為0”是正確的．在繩兩端的物體的速度均為0時(shí)，繩的角速度為0，因此就沒有向心加速度，此時(shí)兩端物體沿繩方向的加速度相等．而很多人想當(dāng)然地認(rèn)為“B球在最低點(diǎn)會(huì)向上運(yùn)動(dòng)，所以加速度方向應(yīng)向上”，其實(shí)在往返運(yùn)動(dòng)中，速度等于0時(shí)，加速度是可以同時(shí)為0的．

3 兩球會(huì)同時(shí)達(dá)到最大速度嗎？

兩球速度都從0起先增大到極大值，然后減小到0，做往復(fù)運(yùn)動(dòng).有人認(rèn)為兩球速度會(huì)同時(shí)達(dá)到極大，下面就這個(gè)問題進(jìn)行定量分析．

3.1 兩球達(dá)到最大速度的先后問題分析

3.2 兩球速度變化過程的圖像分析

初始位置繩與豎直方向的夾角為θ0=37°，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

(13)

得

mB=2mA=2m.

(14)

A從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到任意位置的過程中

(15)

vB=vAcosθ.

(16)

解得

(17)

(18)

將上式進(jìn)行無量綱化處理，得

(19)

(20)

圖2 速度隨角度變化

從圖2可知，在A球上升B球下降過程中，θ從37°增大到90°,當(dāng)θ=52°時(shí)，B球的速度先達(dá)到極大值，θ=67°，A球的速度后達(dá)到極大值．用Excel的數(shù)值計(jì)算功能可得A、B兩球速度先達(dá)到極大值的角度分別為52.2°和67.5°．在A球下降B球上升過程中，θ從90°減小到37°,A球的速度先達(dá)到極大值，B球的速度后達(dá)到極大值．

3.3 加速度隨位置的變化情況

根據(jù)牛頓第二定律，有

Tcosθ-mg=maA.

(21)

2mg-T=2maB.

(22)

根據(jù)(12)、(17)-(22)式解得

(23)

(24)

圖3 加速度隨角度變化

從圖3可知，當(dāng)θ=52°時(shí)，aB=0，B球的速度達(dá)到極大值，θ=67°時(shí)，aA=0，A球的速度達(dá)到極大值，與圖2中位置一致．當(dāng)θ=90°時(shí)，A球在最高點(diǎn)，vA=0，aA=g，B球在最低點(diǎn)，vB=0，aB=0，即B球的速度與加速度同時(shí)為0．

3.4 速度與加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律

由牽連加速度關(guān)系式寫成微分方程，不易得到解析解．采用MATLAB程序，可以作出兩球運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間變化的圖像．

由理論力學(xué)規(guī)律可知保守系的拉格朗日函數(shù)：[7]

L=T-V，

(25)

其中L代表體系的動(dòng)能與勢(shì)能之差，體系的動(dòng)能為

(26)

(27)

拉格朗日量中勢(shì)能的零勢(shì)面對(duì)解沒有影響.為方便表述，取A球的勢(shì)能在C點(diǎn)時(shí)為0，B球的零勢(shì)能面取B球運(yùn)動(dòng)的最低點(diǎn)下方s處，則體系的勢(shì)能為

(28)

將(26)-(28)式代入(25)式得拉格朗日量為

(29)

保守力系的拉格朗日方程為

(30)

令廣義坐標(biāo)q(t)=θ，則廣義速度q′(t)=ω，

(31)

(32)

最終方程為

(33)

化簡后用MATLAB程序求解得到θ和ω，再代入下式中的速度關(guān)系．

(34)

設(shè)s=1 m，得到速率v隨時(shí)間t變化圖像，如圖4所示圖線A,B分別指vA,vB．

圖4 v-t圖像

從圖4可以看出，在B球下降過程中，速度從極大值減小到0的過程中圖像中存在一個(gè)拐點(diǎn)，加速度先從0起增大后減小到0，在B球速度為0時(shí)速率圖線的切線的斜率為0，從另一個(gè)角度印證了選項(xiàng)(B)是正確的．

從圖5可以看出，在B球下降過程中，加速度大小在兩個(gè)時(shí)刻為0，一是速度為極大值時(shí)，另一個(gè)是速度減小到0時(shí)．

a-t圖

4 教學(xué)與命題建議

繩桿關(guān)聯(lián)系統(tǒng)問題，常見諸高考試卷，如2018年高考江蘇卷第15題.

圖6

例2.如圖6所示，釘子A、B相距5l，處于同一高度．細(xì)線的一端系有質(zhì)量為M的小物塊，另一端繞過A固定于B．質(zhì)量為m的小球固定在細(xì)線上C點(diǎn)，B、C間的線長為3l．用手豎直向下拉住小球，使小球和物塊都靜止，此時(shí)BC與水平方向的夾角為53°．松手后，小球運(yùn)動(dòng)到與A、B相同高度時(shí)的速度恰好為0，然后向下運(yùn)動(dòng)．忽略一切摩擦，重力加速度為g，取sin53°=0.8，cos53°=0.6．求：

(1) 小球受到手的拉力大小F；

(2) 物塊和小球的質(zhì)量之比M:m；

(3) 小球向下運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，物塊M所受的拉力大小T．

在第(3)問中，必須用到在此位置沿繩方向加速度大小相等的結(jié)論，分析CA方向的小球受力，列出牛頓第二定律表達(dá)式T-mgcos53°=ma，才能求出物塊所受的拉力．

小球在繞B點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)的過程中，相對(duì)與釘子A接觸的繩上的A1點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球相對(duì)A1點(diǎn)有切向和向心加速度，只有在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，小球的速度為0，相對(duì)A1點(diǎn)的向心加速度為0，沿繩方向的加速度相等．在教學(xué)中，如果不強(qiáng)調(diào)這個(gè)加速度關(guān)系成立的條件，直接使用這個(gè)結(jié)論，會(huì)讓學(xué)生誤認(rèn)為在任何情況下沿繩方向的加速度都相等．在高考命題中應(yīng)盡量避免考查繩桿模型的加速度關(guān)系，可考查其中的力和能量問題．

在教學(xué)中為了打破“沿繩方向的加速度相等”這個(gè)思維定勢(shì)，可以通過分析一些實(shí)例來糾錯(cuò)，單擺模型就是一個(gè)很好的例子，固定的懸點(diǎn)沒有加速度，在擺球運(yùn)動(dòng)過程中除了在最高點(diǎn)外都有向心加速度，所以沿繩方向加速度不一定相等．

5 結(jié)束語

本文通過分析一個(gè)繩牽連模型實(shí)例，闡述了繩轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)牽連物體的速度、加速度隨位置、時(shí)間變化的規(guī)律，形象展現(xiàn)了相關(guān)物理量變化的圖景，有助于糾正“沿繩方向的加速度都相等”、“往返運(yùn)動(dòng)中速度為0時(shí)一定有加速度”等錯(cuò)誤認(rèn)知．理論需要實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)，期待有研究者能減小摩擦阻力設(shè)計(jì)繩牽連模型的實(shí)驗(yàn)，利用Tracker等影像追蹤分析軟件研究實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律，與理論分析結(jié)論進(jìn)行印證．