重溫直線運動 探析 -t圖像

楊秀潤

(響水縣教師發(fā)展中心，江蘇 鹽城 224600)

能讓莘莘學(xué)子感覺物理簡單易學(xué)是我們的教學(xué)追求.筆者根據(jù)教學(xué)現(xiàn)狀，結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，篩選學(xué)生的易錯點、易混點和疑難點，羅列教師的易漏點、易偏點和薄弱點，反復(fù)思量、整合資源、架構(gòu)體系，旨在讓知識更有價值、讓教育更接地氣、讓理念深入人心，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會鑒別直線運動、理解運動的描述和體驗技能的提高.

1 知識溫故 查漏補缺

常規(guī)知識不必贅述，這里溫故6個問題.

問題1.下列情景中物體做的是直線運動嗎？

(1) 如圖1所示，從空中某位置自由落下的小球，壓縮固定在水平地面上的輕彈簧，反彈，再落下，再反彈，……小球始終在同一豎直方向上.

(2) 如圖2所示，在空中某高度水平勻速飛行的飛機上自由釋放的炮彈，不計空氣阻力.

圖1 小球

圖2 炮彈

這樣的問題，在學(xué)生中經(jīng)常生成兩種截然相反的答案，在課堂上經(jīng)常一石激起千層浪，辯論、疑惑、探討豐富多彩.典型觀點有：“小球做曲線運動.因為它每到最低點或最高點速度方向都改變了360°”，“小球做直線運動.因為它的運動軌跡始終在同一直線上”，“炮彈做曲線運動.因為它離開飛機后的運動軌跡是拋物線”，“炮彈做直線運動.因為它離開飛機后始終位于飛機正下方”等.

要厘清這些問題，不妨先探討問題2.

問題2.鑒別直線運動或曲線運動的依據(jù)是什么？

這個問題的答案容易達成共識，應(yīng)該是物體的運動軌跡.軌跡是直線則為直線運動，是曲線則為曲線運動.

此時，我們可以分析圖1所示的問題.小球運動軌跡是一個線段，始終在同一直線上.從物理意義上講，我們認為小球做的是直線運動，默認以地面為參考系.然而，有學(xué)生認為“小球每到最低點或最高點速度方向都改變了360°”怎么辦？這個問題很好辦，其實小球每次到最低點或最高點的瞬時速度為0，即此時它沒有速度，言下之意是此時的速度方向和大小都沒了，自然就不存在方向改變的問題.

問題3.物體在空間的運動軌跡是否具有相對性？

有學(xué)生認為“物體在空間的運動軌跡是客觀存在的，它的形狀不會隨參考系的選擇而改變”.

圖3 重物

這里，我們引用人教版高中物理教科書物理必修1“第1章第1節(jié)參考系”的一幅插圖來說明.[1]如圖3所示，在空中某高度水平勻速飛行的飛機上，自由釋放一個重物，拍攝他們在不同位置的照片，疊加觀察.飛機上的觀察者看到重物幾乎做直線運動(以飛機為參考系)， 地面上的觀察者看到重物做曲線運動(以地面為參考系).可見，物體在空間的運動軌跡具有相對性，同一物體運動軌跡的形狀也會隨參考系不同而不同.

因此，圖2所示的問題，準(zhǔn)確的說，以飛機為參考系炮彈做直線運動，以地面為參考系炮彈做曲線運動.

問題4.描述直線運動有哪些方法？

圖4 運動的描述

文字是首先考慮的.但是，僅靠文字，隨便描述一個物理問題可能就需要長篇大論，內(nèi)容煩冗.所以還有公式、圖像等方法.公式描述，就是全世界統(tǒng)一規(guī)定一套物理符號，采用數(shù)學(xué)描述，簡潔明了.圖像描述，形象直觀，對應(yīng)精準(zhǔn)，一圖勝千言.當(dāng)然，實踐中這三者經(jīng)常被聯(lián)合運用，相輔相成，其關(guān)系如圖4所示.

例如，要描述一個做勻變速直線運動物體的速度與時間的關(guān)系，引入公式v=v0+at，其v-t圖像是一次函數(shù)關(guān)系，當(dāng)然其取值范圍會根據(jù)實際意義有所限制.

問題5.描述直線運動為什么要規(guī)定“正方向”？

有學(xué)生說“我就不喜歡規(guī)定正方向，啰嗦”.

這種說法暴露了該學(xué)生尚未頓悟.其實，規(guī)定“正方向”是我們簡化問題的一種智慧.描述直線運動需要多個矢量，而矢量運算遵守平行四邊形定則，也就是“1+1”不一定等于“2”，要看方向是什么關(guān)系.換言之，矢量的方向和大小均要參與運算.而標(biāo)量運算遵守的是代數(shù)運算法則，“1+1” 肯定等于“2”. 描述直線運動，既有標(biāo)量又有矢量，如何簡化描述呢？描述直線運動幾個矢量的方向均只有互為相反的兩種可能，只要在矢量大小數(shù)據(jù)前貼上“+”“-”標(biāo)簽表示方向，就可以將矢量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，等式中同時有多個矢量和標(biāo)量也無妨，運算結(jié)果的“+”“-”繼續(xù)反饋矢量的方向，有效簡化了問題的描述.其關(guān)系如圖5所示.

圖5 運算法則

當(dāng)然，規(guī)定“正方向”實際是規(guī)定“正負方向”.因為，一旦規(guī)定了“正方向”，其“負方向”也隨之被規(guī)定.為了簡潔，我們描述為規(guī)定“正方向”即可.

問題6.解讀直線運動圖像需要注意哪些關(guān)鍵信息？

首先是坐標(biāo)系，注意坐標(biāo)軸、原點、標(biāo)度等，注意坐標(biāo)軸表示什么物理量，原點是否從0開始，標(biāo)度的數(shù)值排布規(guī)律及其單位.其次是圖像，注意其形狀、斜率、交點、“面積”等，結(jié)合相關(guān)知識理解其物理意義，譬如v-t圖像中圖像與橫軸圍成的“面積”表示位移.

2 因勢利導(dǎo) 實踐知新

探討3道例題，期待學(xué)生在不知不覺中體驗技能的提高.其中，“例1”的原型來自高中物理教科書，“例2”進一步研究如何用v-t圖像描述上述“問題1”中小球的運動情況.

圖6 例1圖

例1.圖6中的3條直線描述了甲、乙、丙3個物體的運動，下列說法正確的是

(A) 3個物體均做勻速運動.

完善基礎(chǔ)建設(shè)，促進生態(tài)發(fā)展是落實智慧城市的重要工作，由于城鄉(xiāng)規(guī)劃工作涉及面積較廣，人口和社會結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性導(dǎo)致部分區(qū)域的基礎(chǔ)設(shè)備和公共設(shè)施缺失，智慧城市背景下，既要重視該區(qū)域的基礎(chǔ)設(shè)備與公共設(shè)施的完善，還要注重綠色生態(tài)，提高目標(biāo)區(qū)域的宜居性。做好該工作需從以下幾點著手：

(B) 乙和丙在t=10 s時相遇.

(C) 3個物體中甲的加速度最小.

(D) 在0～10 s內(nèi)3個物體中乙的位移最大.

解析：此題考查學(xué)生解讀直線運動圖像的基本功.如果認為(A)(B)選項都正確，說明你把坐標(biāo)軸看錯了.這是v-t圖像，而非x-t圖像.3個物體均做勻變速直線運動，圖像的交點只能顯示速度相等，并非相遇.故(A)(B)選項均不對.

例2.如圖1所示，從空中某位置自由落下的小球，壓縮固定在水平地面上的輕彈簧，反彈，再落下，再反彈，……小球始終在同一豎直方向上.試用v-t圖像大致描述小球的運動情況.

此題考查勻變速直線運動、胡克定律、牛頓第二定律等知識點，對運動的描述要求較高.不少同學(xué)認為“小球在下落過程中，一旦接觸彈簧則立刻開始減速.”這是典型的物理觀念錯誤，需要認真糾正.

圖7 小球

圖8 小球的運動圖像

圖9

例3.如圖9所示，在光滑絕緣、足夠大的水平桌面上，放置兩個質(zhì)量均為m、相距為L的小球，其中A球帶正電，B球不帶電.今在桌面上方突然加上一個平行于AB連線的水平方向勻強電場(圖中未畫出)，若兩球每次碰撞均無電荷轉(zhuǎn)移，每次碰撞前后兩球恰好實現(xiàn)速度交換，碰撞時間不計.試求：從加上電場到第n次(n>2)碰撞時A球的位移.[2]

此題綜合考查學(xué)生的分析推理能力，需要較高的科學(xué)探究素養(yǎng).若用解析法，根據(jù)運動學(xué)公式、動量定理、數(shù)學(xué)歸納等知識求解，其篇幅長、易出錯(讀者可以嘗試)；若抓住“速度交換”“無電荷轉(zhuǎn)移”等題眼，建立合適的v-t圖像，問題將迎刃而解，答案便由圖可知！

易知，A球每次碰撞前后的加速度相同，它的v-t圖像斜率就相同，其圖像相互平行；B球每次碰撞后均以“交換”來的速度做勻速運動，直到下一次碰撞，其圖像都平行于t軸.

解析：以AB連線方向為正方向、A球初始位置為坐標(biāo)原點，從突然加上勻強電場時為計時起點，建立直角坐標(biāo)系，同時畫出兩球的v-t圖像，如圖10所示.

圖10 兩球的運動圖像

A球先做初速度為0的勻加速直線運動，設(shè)經(jīng)時間t1，運動位移為x1=L時與B球發(fā)生第1次碰撞，位移x1=L為t1時間內(nèi)A球圖像與t軸圍成的“三角形面積”；碰撞后B球以“交換”來的速度做勻速運動，A球則再次做初速度為0的勻加速直線運動，設(shè)經(jīng)時間t2、運動位移為x2時與B球發(fā)生第2次碰撞，則x2為圖中t1～t2時間內(nèi)A球圖像與t軸圍成的“三角形面積”，等于B球圖像與t軸圍成的“矩形面積”；碰撞后B球以再次“交換”來的速度做勻速運動，A球則做以“交換”后的速度(等于碰撞前B球的速度)為初速度的勻加速直線運動，設(shè)經(jīng)時間t3、運動位移為x3時與B球發(fā)生第3次碰撞，則x3為中t2～t3時間內(nèi)A球圖像與t軸圍成的“梯形面積”，等于B球圖像與t軸圍成的“矩形面積”.

有幾何關(guān)系可得x1=L，x2=4L，x3=8L，x4=12L，…，xn=4(n-1)L，其中n=2，3，4，…(當(dāng)n=1時x1=L).

從加上電場到第n次碰撞時A球的位移為

xAN=x1+x2+x3+x4+…+xn=L+4L+8L+12L+…+4(n-1)L=(2n2-2n+1)L.

(n=2，3，4，…)

3 學(xué)以致用 內(nèi)化提升

圖11

這里設(shè)計3道習(xí)題，供同學(xué)們學(xué)以致用、內(nèi)化提升.

習(xí)題1.如圖11所示，物體以初速度v0沿粗糙固定的斜面上滑，達到最高點后返回出發(fā)點.為了描述該過程，下列v-t圖像正確的是

點撥：答案：(C).觀察4個選項的圖像，均以初速度v0的方向為正方向，以出發(fā)點為坐標(biāo)原點.注意，物體下滑過程中的加速度小于上滑過程中的加速度，則其圖像斜率較??；下滑的速度方向相反，則其圖像進入第四象限(v的負半軸)；下滑與上滑的距離相等，則其圖像與t軸圍成的兩個三角形“面積”大小相等，位移正負抵消，全程合位移為0.

圖12

習(xí)題2.如圖12所示，一小球從空中某位置自由落下，撞擊水平地面后以較小速率反彈，上升，下落，再反彈，……忽略小球與地面的接觸時間，不計空氣阻力，試用v-t圖像大致描述小球的運動.

答案：以豎直向下為正方向，釋放點為坐標(biāo)原點, 如圖13所示.或者，以豎直向上為正方向，釋放點為坐標(biāo)原點，如圖14所示.

圖13 小球的運動圖像

圖14 小球的運動圖像

點撥：圖13或圖14任意畫出一幅即可.注意，小球的機械能損失于它與地面的碰撞過程中，故反彈高度一次比一次?。豢諝庾枇Σ挥?，則每次豎直上拋的位移與自由下落的位移大小相等、方向相反.在其v-t圖像上需要定性顯示出來.

圖15

習(xí)題3.如圖15所示，兩個完全相同的小球A和B，用輕彈簧連接，并用細線懸掛于足夠高的O點，處于靜止.今突然燒斷細線，不計空氣阻力，以地面為參考系，試用v-t圖像大致描述兩個小球的運動.

答案：以地面為參考系，以球的初位置為坐標(biāo)原點，兩球運動的v-t圖像如圖16所示.

點撥：此題抓住一些關(guān)鍵點的運動關(guān)系，通過描點、連線，能大致畫出兩球運動的v-t圖像即可.由受力分析、運動分析等基礎(chǔ)知識容易知道，燒斷細線瞬間(t=0時刻)，A球的加速度為2g豎直向下，B球的加速度為0，彈簧處于拉伸狀態(tài).隨著兩球下落，彈簧伸長量逐漸變小，A球做加速度由2g逐漸減小的加速運動，B球做加速度由0逐漸增大的加速運動；當(dāng)彈簧第一次恢復(fù)原長時(設(shè)為t1時刻)，兩球的加速度均為g，此時兩者圖像的斜率平行，但A球速度大于B球速度，彈簧開始被壓縮，A球繼續(xù)做加速度逐漸減小的加速運動，B球繼續(xù)做加速度逐漸增大的加速運動；當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(設(shè)為t2時刻)，兩球瞬時速度為相等，A球的加速度0，B球的加速度為2g豎直向下.此后，彈簧壓縮量逐漸變小，A球做加速度由0逐漸增大的加速運動，B球做加速度由2g逐漸減小的加速運動；當(dāng)彈簧第2次恢復(fù)原長時(設(shè)為t3時刻)，兩球的加速度均為g，兩者圖像的斜率再次平行，但A球速度小于B球速度，彈簧開始被拉伸，A球繼續(xù)做加速度逐漸增大的加速運動，B球繼續(xù)做加速度逐漸減小的加速運動；當(dāng)彈簧被拉伸到最長時(設(shè)為t4時刻)，兩球瞬時速度為相等，A球的加速度2g豎直向下，B球的加速度為0，t4時間內(nèi)兩球下落的位移相等，彈簧恢復(fù)到初始狀態(tài)，彈簧完成一個周期.然后，進入下一個周期的運動，……縱觀全局，若把小球A和B看成一個整體，其(質(zhì)心)運動是自由落體運動，兩者圖像交點的連線斜率即為重力加速度g.

此題若要精準(zhǔn)畫圖，涉及矢量合成，要求較高.兩球的運動可用方程分別描述為vA=vA0sinωt+gt和vB=-vB0sinωt+gt，其v-t圖像如圖16所示，注意兩球圖像并不關(guān)于v=gt線對稱.當(dāng)然，若以其中一個小球為參考系，則另一個小球做簡諧運動，其v-t圖像就是正弦函數(shù)圖像了.

新時代的物理教育，從教學(xué)策劃到資源整合，從教學(xué)設(shè)計到課堂實操，從教學(xué)理念到素養(yǎng)落實，每個細節(jié)都呼喚規(guī)范呈現(xiàn)，目的是深入淺出、寓教于樂、提升素養(yǎng)，讓學(xué)生茅塞頓開、學(xué)有所獲，讓教師眼前一亮、受到啟發(fā).