穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道形成雙黑洞

李檻杉

(1. 中國科學院 云南天文臺，昆明650011； 2. 中國科學院大學，北京100049)

1 引 言

大質(zhì)量恒星在宇宙中占有重要地位。這些恒星演化到中心核燃料耗盡時，通常會發(fā)生超新星爆炸現(xiàn)象，向星際空間拋射大量重元素[1]，對星系的化學演化有巨大影響[2]。大質(zhì)量恒星的恒星星風、超新星爆炸等過程能攪動星際氣體，進而可能會影響新一代恒星的形成[3]。大質(zhì)量恒星演化的產(chǎn)物是致密星，包括中子星和恒星級黑洞。宇宙中一些重要天文現(xiàn)象與致密星密切相關(guān)，包括X 射線雙星、伽馬暴以及雙致密星并合產(chǎn)生的引力波事件等。

理論研究方面，1999 年Fryer[4]估算出能形成黑洞的恒星質(zhì)量范圍。如果不考慮星風物質(zhì)損失，初始質(zhì)量為(25 ～40)M⊙的恒星一般會經(jīng)歷超新星爆炸，然后通過吸積回落物質(zhì)形成黑洞；初始質(zhì)量大于40 M⊙的恒星一般會直接坍縮為黑洞，不經(jīng)歷超新星爆炸[4]。該數(shù)值具有一定的不確定性，只是一個典型的值。如果考慮星風損失，演化過程就更加復雜，而且存在較大不確定性。Belczynski 等人研究了大質(zhì)量單星演化初始質(zhì)量與形成黑洞質(zhì)量的關(guān)系，在太陽金屬豐度情況下，可以形成的最大黑洞質(zhì)量大約為15 M⊙，而在金屬豐度較低(Z =0.000 1)的情況下可以形成的最大黑洞質(zhì)量為94 M⊙[5]。

觀測研究方面，根據(jù)恒星初始質(zhì)量函數(shù)，大質(zhì)量恒星在所有恒星中占比小，并且演化時標較短。除去已經(jīng)探測到的引力波事件，觀測研究中能準確測量質(zhì)量參數(shù)的中子星系統(tǒng)有60 多個[6,7]，而觀測到X 射線雙星系統(tǒng)中的黑洞有20 多個[8]，只有大約10 個系統(tǒng)能準確測量黑洞動力學質(zhì)量，大多數(shù)黑洞質(zhì)量范圍在(5 ～10)M⊙之間。銀河系中已發(fā)現(xiàn)的X射線雙星系統(tǒng)中，最大黑洞質(zhì)量約為15 M⊙，近鄰星系中存在質(zhì)量更大的黑洞：M33 X-7(MBH= 15.65 M⊙±1.45 M⊙)[9], IC 10 X-1 (MBH≈23 M⊙～24 M⊙)[10,11], NGC 300 X-1(MBH＞10 M⊙)[12,13]。研究發(fā)現(xiàn)這3 個大質(zhì)量黑洞所處的區(qū)域金屬豐度都較低：星系IC 10中X-1 的金屬豐度Z ≈0.004[14]，星系M33 中X-7 的金屬豐度Z ≈0.008，星系NGC 300中X-1 的金屬豐度Z ≈0.006[15]。

Sana 等人研究發(fā)現(xiàn)，大質(zhì)量恒星大多以雙星的形式存在，大部分系統(tǒng)演化過程中會發(fā)生雙星相互作用[16]。最終可以形成雙致密星，包括雙中子星(NS-NS)、中子星-黑洞系統(tǒng)(NS-BH)和雙黑洞(BH-BH)。這些前身星系統(tǒng)一般會經(jīng)歷一兩次超新星爆炸和幾個階段物質(zhì)轉(zhuǎn)移，以及一次或者兩次公共包層演化階段[5,17-20]。雙中子星系統(tǒng)的研究可以參見文獻[21]，大質(zhì)量雙星在超新星爆發(fā)前的演化研究可以參見文獻[22—24]。

現(xiàn)階段大質(zhì)量恒星的演化仍然存在較多不確定的問題[25]，如星風物質(zhì)損失率、超新星爆炸機制和反沖速度等。而雙星的相互作用使得大質(zhì)量雙星系統(tǒng)演化更加復雜[24]，包括物質(zhì)轉(zhuǎn)移和公共包層演化[26]等問題。

1984 年Bond 等人提出雙黑洞并合可以作為潛在的引力波源[27]，而對它的研究始于20世紀90 年代[28]。一些研究者提出銀河系高金屬豐度環(huán)境下的恒星是形成雙黑洞的潛在候選體[17,29]，后來Belczynski 等人[30]研究表明高金屬豐度環(huán)境將抑制雙黑洞的形成，提出低金屬豐度的恒星才是形成大質(zhì)量黑洞的主要候選體[31]。此外，星族III 恒星也被考慮作為形成雙黑洞及引力波源的前身星系統(tǒng)[32]。

20 世紀初愛因斯坦預言了引力波，但是引力波產(chǎn)生的形變效果微弱，探測存在很多問題。1975 年，Hulse 和Taylor[33]發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星PSR B1913+16，1982 年Weisberg 和Taylor[34]觀測研究發(fā)現(xiàn)這個雙星系統(tǒng)正在損失能量，間接證實了引力波的存在。20 世紀90年代初，美國科學家開始建造激光干涉引力波天文臺(Laser Interferometer Gravitationalwave Observatory，以下簡稱LIGO)，LIGO 在1999 年建成，經(jīng)過10 多年的改進、升級，2016 年2 月LIGO 發(fā)布了探測到的第一個引力波信號GW150914[35]。GW150914 來自兩顆大質(zhì)量黑洞并合，[36,37]。LIGO 為研究大質(zhì)量恒星演化及恒星級黑洞提供了新的觀測手段，第一次證實了恒星級大質(zhì)量雙黑洞的存在[38]。隨后，LIGO 和Virgo陸續(xù)探測到更多的雙黑洞并合產(chǎn)生的引力波信號，以及雙中子星并合產(chǎn)生的引力波信號[39]。到目前為止，LIGO 和Virgo 總共已經(jīng)探測到了10 個雙黑洞并合的引力波事件和1 個雙中子星并合的引力波事件，表1 列出了對應(yīng)引力波事件的相關(guān)參數(shù)。

LIGO 現(xiàn)階段探測到的引力波信號中大部分黑洞質(zhì)量較大，例如LIGO 探測到的第一個引力波信號GW150914 是來自(35.6+30.6)M⊙的大質(zhì)量雙黑洞并合成為一個約63M⊙的大質(zhì)量黑洞[40]，Belczynski 等人的研究表明通過公共包層演化通道可以形成這樣的雙黑洞[5]。目前的模型中能形成雙黑洞并合的通道主要有三種：(1)孤立的雙星演化通道[5,41,42]；(2)化學均勻演化通道[43-45]；(3)動力學演化通道[46-48]。對形成類似GW150914 事件中的大質(zhì)量雙黑洞，三種通道都有一個共同特點，要求恒星是在低金屬豐度的環(huán)境下形成，避免劇烈的星風物質(zhì)損失。如果金屬豐度較高，星風物質(zhì)損失率大，最后留下的質(zhì)量會低于30M⊙[49, 50]。

表1 LIGO 和Virgo 探測到的引力波事件相關(guān)參數(shù)[40]

本文采用恒星演化程序MESA[51-53]研究孤立大質(zhì)量雙星系統(tǒng)通過穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道(不包含公共包層演化階段)，最終形成恒星級大質(zhì)量雙黑洞，研究結(jié)果能解釋部分引力波事件。第2 章介紹了我們工作中相關(guān)過程的計算方法以及初始輸入?yún)?shù)；第3 章介紹研究結(jié)果，包括最終形成的雙黑洞的質(zhì)量分布以及并合時標等；第4 章是總結(jié)和展望。

2 模型與計算方法

我們采用恒星演化程序MESA 詳細研究大質(zhì)量雙星系統(tǒng)的演化，輸入初始參量，包括恒星質(zhì)量、金屬豐度和軌道周期等。恒星演化到中心He 燃燒結(jié)束時，停止演化，然后提取恒星質(zhì)量以及CO 核質(zhì)量等參量，依據(jù)超新星爆炸機制計算形成黑洞的質(zhì)量。

2.1 相關(guān)物理參數(shù)

我們在處理對流過程中采用標準混合長模型[54]，混合長參數(shù)α= 1.5。采用勒都判據(jù)，半對流過程依據(jù)Langer 等人[55]的研究，有效參數(shù)取αsc=1.0，采用MESA 程序提供基本核反應(yīng)元素網(wǎng)格“basic.net”。處理對流超射依據(jù)Brott 等人[56]的研究，對流超射參數(shù)取0.335倍的壓強標高，恒星對流核的半徑為勒都判據(jù)計算的半徑加上0.335Hp，Hp表示對流核邊界處的壓強標高。通常對流超射會形成質(zhì)量較大的恒星核，尤其是主序燃燒階段，對流超射會導致形成的He 核質(zhì)量較大。

金屬豐度對恒星的演化有重要的影響[24]，在不同星系中以及同一個星系中不同時間形成的恒星金屬豐度不同。Belczynski 等人[5]的研究表明，只有在低金屬豐度環(huán)境(Z ＜10%Z⊙) 下才能形成大質(zhì)量雙黑洞(MBH＞30 M⊙)。我們的工作建立在他們的研究基礎(chǔ)上，最低金屬豐度取Z = 0.000 1 (Z = 0.5% Z⊙)，最高金屬豐度取Z = 0.002(Z =10%Z⊙)，Z 定義為比He 重的所有元素所占的質(zhì)量分數(shù)，在最低和最高金屬豐度之間選取5 個值，分別是：0.000 1,0.000 2,0.000 5,0.001,0.002。初始He 元素豐度依據(jù)Brott 等人[56]的研究，當Z =0 時，Y =0.2477[57](Y 表示He 元素豐度)，Z =Z⊙時，Y =0.28[58]，He 元素豐度與金屬豐度呈線性變化關(guān)系。

我們只研究形成黑洞的情況，不考慮形成中子星的情況，用MESA 模擬恒星演化得到，恒星初始質(zhì)量為20 M⊙時，演化到中心He 燃燒結(jié)束，形成的CO 核質(zhì)量約為6 M⊙。依據(jù)Fryer 等人[59]的快速超新星爆炸機制，CO 核質(zhì)量為6 M⊙是形成中子星和黑洞的分界點。恒星初始質(zhì)量越大，在演化程序計算過程中越容易出現(xiàn)計算不收斂的問題，經(jīng)過我們的測試，初始質(zhì)量為80 M⊙的恒星在程序計算演化過程中收斂情況較好；所以在我們的研究中，主星(雙星系統(tǒng)中初始質(zhì)量較大的恒星)的初始質(zhì)量MPZAMS取(20 ～80)M⊙。有研究表明雙星在主序階段發(fā)生相互作用，初始質(zhì)量比大于0.65 時物質(zhì)轉(zhuǎn)移是動力學穩(wěn)定的[60,61]；如果初始質(zhì)量比小于0.65，伴星吸積物質(zhì)會快速膨脹，最終導致雙星并合[62]。我們在研究中不考慮并合情況，所以初始雙星質(zhì)量比取q1=0.7, 0.8, 0.9，其中q1=MSZAMS/MPZAMS，次星(雙星系統(tǒng)中初始質(zhì)量較小的恒星)的初始質(zhì)量MSZAMS依據(jù)q1和主星質(zhì)量取值。

雙星初始軌道周期依據(jù)Kruckow 等人[63]的研究，對于OB 型恒星，為了避免Darwin 不穩(wěn)定性，我們選取最小初始軌道周期為3 d，最大周期為100 d。

通常情況下恒星存在自轉(zhuǎn)速度，在雙星系統(tǒng)中某些情況下次星吸積物質(zhì)可能達到很高的自轉(zhuǎn)速度[64]，會改變恒星的演化軌跡及演化結(jié)局。一般情況下，恒星自轉(zhuǎn)速度較慢，遠小于破裂速度時，自轉(zhuǎn)對恒星演化的影響很小[56]，我們在研究中沒有考慮恒星自轉(zhuǎn)的影響。

2.2 星風模型

相對于小質(zhì)量和中等質(zhì)量(MZAMS≤8 M⊙)的恒星，大質(zhì)量恒星(MZAMS?10 M⊙)演化過程中星風物質(zhì)損失顯得尤為重要。大質(zhì)量恒星外層輻射的光子動量很大，星風物質(zhì)損失率也很大。初始質(zhì)量MZAMS＞20 M⊙的恒星，甚至在主序階段，快速星風物質(zhì)損失會影響其后續(xù)演化。而后主序演化階段，星風物質(zhì)損失變得更為關(guān)鍵，它可以影響恒星的亮度、燃燒壽命、有效溫度，He核質(zhì)量以及恒星最終的命運[65]。

Vink 等人[66]的研究表明，星風物質(zhì)損失率在溫度為1.25×104K 和2.5×104K 時存在跳變。我們的工作以Brott 等人[56]的星風模型為基礎(chǔ)，在有效溫度較高時(Teff＞25 000 K)，采用Vink 等人[66,67]的星風物質(zhì)損失模型；在有效溫度較低時(Teff＜25 000 K)，比較Vink等人[66,67]的星風模型與Nieuwenhuijzen 和de Jager[68]的經(jīng)驗星風模型的物質(zhì)損失率，選擇兩者中物質(zhì)損失率較大者。我們在Yoon 等人[69]研究的基礎(chǔ)上，考慮恒星表面元素對星風物質(zhì)損失率的影響，并對含有富H 包層的恒星(Ys＜0.4，Ys表示表面He 豐度)，采用Vink等人[66,67]的星風模型計算質(zhì)量損失率；對于不含H 包層的貧H 恒星(Ys＞0.7)，采用1/10的Hamann 等人[70]沃爾夫-拉葉星的星風物質(zhì)損失模型計算質(zhì)量損失率；對于0.4 ＜Ys＜0.7的情況，在兩種星風模型之間線性插值。

我們采用Vink 等人的星風損失率公式[66]計算質(zhì)量損失率。有效溫度處在27 500 ＜Teff≤50 000 K 時，質(zhì)量損失率表示為：

其中，v∞/vesc=2.6。

有效溫度為12 500 ～22 500 K 時，質(zhì)量損失率表示為：

其中，v∞/vesc=1.3。

當有效溫度Teff在22 500 ～27 500 K 范圍內(nèi)時，跳變溫度為：

其中，

Nieuwenhuijzen 和de Jager 的星風損失率[68]表示為：

Hamann 等人的星風損失速率[70]表示為：

2.3 反沖速度

大質(zhì)量恒星演化會通過超新星爆炸形成中子星或黑洞，如果初始質(zhì)量較大，則可能會直接坍縮形成黑洞(依據(jù)CO 核質(zhì)量，在6 M⊙≤MCO＜7 M⊙和11 M⊙≤MCO情況下判定恒星直接坍縮形成黑洞，參見2.7 節(jié))。超新星爆炸會拋射物質(zhì)，而爆炸過程通常是各向異性，爆炸會導致新形成的致密星有反沖速度[71]。Hobbs 等人[72]研究分析了233 個脈沖星的速度分布，依據(jù)樣本的一維和二維速度分布導出了脈沖星誕生時的三維速度分布，可以用σ = 265 km·s-1的一維麥克斯韋速度分布擬合脈沖星的三維速度分布。依據(jù)Fryer 等人[59]的研究，如果超新星爆炸后有回落物質(zhì)，則反沖速度需要乘相應(yīng)的因子：Vkick=(1-ffb)Wkick，其中ffb表示物質(zhì)回落系數(shù)，Wkick表示Hobbs 等人[72]研究給出的反沖速度；對直接坍縮形成黑洞的情況(ffb=1)，則表示黑洞誕生時反沖速度為零。

由于黑洞的觀測樣本較少，黑洞的反沖速度不確定性較大。一些研究者研究了X 射線雙星系統(tǒng)中黑洞的反沖速度，1995 年Brandt 等人[73]研究表明，黑洞誕生時具有反沖速度更容易解釋GRO J1655-40 的空間速度；2005 年Willems 等人[74]給出GRO J1655-40 的反沖速度上限約為210 km·s-1。2001 年Mirabel 等人[75]研究表明XTE J1118+480 的空間速度較大，Gualandris 等人[76]認為這個系統(tǒng)中的黑洞誕生時具有反沖速度，2007 年Fragos 等人[77]研究給出XTE J1118+480 的反沖速度約為200 km·s-1。2012 年Wong 等人[78]研究發(fā)現(xiàn)Cygnus X-1 的反沖速度相對較小，約為幾十千米每秒，最大不超過77 km·s-1。2009 年Miller-Jones 等人[79]研究得到黑洞X 射線系統(tǒng)V404Cyg 的本動速度約為40 km·s-1，表明黑洞形成時的反沖速度不大于40 km·s-1。研究表明對某些黑洞候選體，如GRS 1915+105和Cygnus X-1，似乎不需要反沖速度就能解釋它們的空間速度[80,81]。

2.4 計算軌道間距

在形成致密星的過程中系統(tǒng)有物質(zhì)損失，會改變雙星系統(tǒng)的軌道間距，本文依據(jù)Tauris等人[82]的研究，對通過超新星爆炸，吸積回落物質(zhì)形成黑洞的情況(有反沖速度)，采用式(7)計算超新星爆炸后的軌道間距變化：

其中，aorb表示超新星爆炸后的雙星系統(tǒng)軌道間距，a0表示超新星爆炸前的雙星系統(tǒng)軌道間距，ΔM 表示超新星爆炸損失的質(zhì)量，M0表示超新星爆炸前雙星系統(tǒng)總質(zhì)量，Vkick表示新誕生黑洞的反沖速度，Vc表示黑洞前身星軌道速度，θ 表示反沖速度和軌道速度的夾角，方向隨機。對應(yīng)的系統(tǒng)軌道橢率e 計算如下：

其中，系統(tǒng)軌道能量Eorb=-GMBHM2/2aorb，軌道角動量為：μ 表示坍縮形成黑洞后系統(tǒng)的約化質(zhì)量，φ 表示反沖速度在超新星前身星軌道速度垂面上的投影與系統(tǒng)軌道平面的夾角。在橢圓軌道情況下，隨著恒星演化，其軌道會圓化，由于軌道角動量守恒，圓化后的軌道間距為acirc=(1-e2)aorb。

對恒星直接坍縮形成黑洞的的情況(反沖速度為零)，圓化后的軌道間距表示如下[82]：

其中，mtot表示坍縮形成黑洞后雙星系統(tǒng)的總質(zhì)量，M1, M2分別表示兩顆子星質(zhì)量，MBH表示黑洞的質(zhì)量。

2.5 軌道角動量

MESA 程序[53]中軌道角動量計算公式為：，其中，表示軌道角動量變化率，表示引力波輻射引起的角動量損失率， ˙Jml表示物質(zhì)損失帶走的角動量，表示自轉(zhuǎn)較快的小質(zhì)量恒星中磁滯對角動量損失的影響， ˙Jls表示恒星自轉(zhuǎn)和軌道耦合導致的角動量損失。我們在研究中只考慮物質(zhì)損失對軌道角動量的影響，考慮物質(zhì)從吸積星損失，同時物質(zhì)損失帶走吸積星的角動量，具體計算公式如下[83]：

2.6 物質(zhì)轉(zhuǎn)移

雙星演化中，當供給星充滿洛希瓣時，雙星發(fā)生物質(zhì)轉(zhuǎn)移，供給星通過拉格朗日點向伴星轉(zhuǎn)移物質(zhì)。物質(zhì)轉(zhuǎn)移分為穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移和非穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移兩種情況，我們采用質(zhì)量比q2(在物質(zhì)轉(zhuǎn)移開始時的雙星質(zhì)量比)來判定物質(zhì)轉(zhuǎn)移是否穩(wěn)定，在這里質(zhì)量比定義為q2=Mdon/Macc，其中，Mdon為供給星質(zhì)量，Macc為吸積星質(zhì)量。通常依據(jù)供給星演化階段(主序階段、赫氏空隙階段和巨星支階段)不同，發(fā)生物質(zhì)轉(zhuǎn)移對應(yīng)臨界質(zhì)量比的取值不同，我們主要考慮在主序階段和赫氏空隙早期階段發(fā)生穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移，統(tǒng)一取qlimit= 2.5，較小的臨界質(zhì)量比更嚴格地限制了發(fā)生穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移情況的參數(shù)空間[63]。對于q2＜qlimit的情況，系統(tǒng)物質(zhì)轉(zhuǎn)移是動力學穩(wěn)定；對于q2＞qlimit的情況，系統(tǒng)物質(zhì)轉(zhuǎn)移是動力學非穩(wěn)定的，最后形成公共包層。

我們在研究物質(zhì)轉(zhuǎn)移方式時采用MESA 程序中提供的洛希瓣模型[53]，模型要求供給星嚴格保持在洛希瓣內(nèi)，超出洛希瓣的物質(zhì)通過內(nèi)拉格朗日點轉(zhuǎn)移到吸積星。我們在計算中，取伴星吸積率fmt=0.5[84](其中αmt=0, βmt=0.5, γmt=0)。星風物質(zhì)吸積率采用Hurley等人[85]的星風吸積過程，即Bondy-Hoyle 機制。

伴星吸積物質(zhì)考慮了愛丁頓吸積率[86]限制：吸積星為非致密星情況下，愛丁頓吸積率較大，吸積率不受愛丁頓吸積率的限制；吸積星為致密星時，吸積率會受愛丁頓吸積率的限制。如果黑洞的吸積率大于愛丁頓吸積率黑洞的吸積光度會超過愛丁頓光度極限，此時輻射壓會將多余的物質(zhì)推離系統(tǒng)，黑洞將以愛丁頓吸積率吸積物質(zhì)。因為愛丁頓吸積率的限制，在物質(zhì)轉(zhuǎn)移過程中黑洞只能吸積非常少的物質(zhì)。

2.7 黑洞質(zhì)量的計算

目前很多研究者提出多種模型研究超新星爆炸機制，不同的模型結(jié)果存在差異，具體可以參見Spera 等人[50]的研究。我們的研究中采用Fryer 等人的快速超新星爆炸機制[59]，在這種模型中統(tǒng)一設(shè)Mproto=1.0 M⊙，具體計算公式如下：

其中，ffb表示超新星爆炸時拋射的物質(zhì)中回落到原致密星(proto-compact object)上的比例系數(shù)(0 ～1)，0 表示沒有回落物質(zhì)，1 表示拋射物質(zhì)全部回落。M 代表超新星爆炸前的恒星質(zhì)量，Mproto表示原致密星的質(zhì)量，MCO表示CO 核的質(zhì)量。a1=(0.25-1.275)/(M -Mproto), b1=1-11a1。

Mfb表示爆炸后回落到原致密星上的物質(zhì)質(zhì)量，Mrem,bar表示剩余重子物質(zhì)的質(zhì)量。Mrem表示最終形成致密星的引力質(zhì)量。對形成中子星的情況采用Timmes 等人[87]的公式：

計算最終形成中子星的質(zhì)量。

對形成黑洞的情況，依據(jù)Fryer 等人[59]的研究，采用公式如下：

計算最終形成黑洞的質(zhì)量。

觀測研究中最大的中子星質(zhì)量約為2 M⊙[88]，統(tǒng)計分析測量黑洞的質(zhì)量分布表明黑洞的質(zhì)量不會低于4.5 M⊙[8,89,90]。這導致中間有一段質(zhì)量分布間隙(2 M⊙～5 M⊙)，而快速超新星爆炸模型恰好能擬合這段質(zhì)量間隙。因此快速超新星爆炸模型更符合觀測要求，而其他機制產(chǎn)生的致密星質(zhì)量分布是連續(xù)的，不能較好符合致密星質(zhì)量分布間隙，所以我們采用快速超新星爆炸模型計算最終形成的黑洞質(zhì)量。

2.8 引力波輻射

雙致密星繞轉(zhuǎn)因輻射引力波而損失系統(tǒng)角動量，并縮短雙星軌道間距。對于軌道間距較小的雙黑洞，引力波輻射最終可能會導致雙黑洞并合。我們的研究采用以下公式計算并合時標[91]。

雙星系統(tǒng)為圓軌道(橢率e=0)時，并合時標表示為：

τ 的單位為a；P 表示軌道周期，單位為h；M 表示啁啾質(zhì)量，Mtot表示雙致密星的總質(zhì)量，qBH=MBH2/MBH1, MBH1和MBH2分別表示兩顆黑洞的質(zhì)量，單位為M⊙。

若雙星系統(tǒng)為橢圓軌道(橢率e/=0)時，并合時標表示為：

其中，

3 結(jié)果

我們研究了孤立的大質(zhì)量雙星系統(tǒng)通過穩(wěn)定的物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道，最終形成雙黑洞。我們采用MESA 計算恒星演化，從主序前開始，直到恒星中心He 燃燒結(jié)束時停止；提取恒星質(zhì)量及CO 核質(zhì)量等參數(shù)，依據(jù)快速超新星爆炸機制計算出黑洞質(zhì)量。我們的研究結(jié)果主要包括恒星初始質(zhì)量與形成黑洞質(zhì)量的關(guān)系，雙黑洞的并合時標以及與觀測研究的對比等。我們還發(fā)現(xiàn)，部分雙星系統(tǒng)在第一次物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段中，次星因吸積物質(zhì)而膨脹，最終次星充滿洛希瓣，形成相接雙星。其次，在MESA 程序模擬恒星演化過程中有部分雙星系統(tǒng)程序計算不收斂，不能得到預期的結(jié)果，造成計算網(wǎng)格點數(shù)據(jù)不完整。第三，部分雙星系統(tǒng)中恒星初始質(zhì)量較小，恒星演化經(jīng)歷超新星爆炸，然后通過吸積回落物質(zhì)形成黑洞；這種情況下形成的黑洞質(zhì)量較小，在發(fā)生第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段時質(zhì)量比q2＞qlimit，會演化形成公共包層。這部分系統(tǒng)基本在中心H燃燒階段或者赫氏空隙階段進入公共包層，而研究表明在主序階段或赫氏空隙階段發(fā)生公共包層演化會導致雙星系統(tǒng)并合[20]。

3.1 初始質(zhì)量-終止質(zhì)量

我們采用恒星演化程序MESA 計算雙星演化，得到了恒星的CO 核質(zhì)量以及形成的黑洞質(zhì)量，圖1a)給出恒星初始質(zhì)量與CO 核質(zhì)量關(guān)系，圖b)給出恒星初始質(zhì)量與形成黑洞質(zhì)量關(guān)系，金屬豐度在0.000 1 ～0.002 之間。我們只考慮形成黑洞的情況，形成中子星的情況不屬于本文的研究范圍。而初始質(zhì)量為25 M⊙左右的恒星演化到中心He 燃燒結(jié)束時，形成的CO 核質(zhì)量基本處于7M⊙～11M⊙之間，最終會通過超新星爆炸，再吸積回落物質(zhì)形成黑洞。這種情況下，新誕生的黑洞會有反沖速度，大多數(shù)雙星系統(tǒng)會被瓦解，只有少部分雙星系統(tǒng)能保留，最終形成的黑洞質(zhì)量小于直接坍縮形成的黑洞質(zhì)量。

圖1 初始質(zhì)量-終止質(zhì)量

恒星演化過程中金屬豐度會影響恒星的星風物質(zhì)損失率，從圖1 中可以看出，金屬豐度越高，主星最終形成的黑洞質(zhì)量越小。次星形成的黑洞質(zhì)量隨金屬豐度變化不明顯，主要原因是次星演化過程中在第一次物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段會吸積大量物質(zhì)，明顯改變恒星的質(zhì)量，吸積物質(zhì)的質(zhì)量不同，造成最終形成的黑洞質(zhì)量差別較大。此外，在我們的結(jié)果中，大多數(shù)系統(tǒng)中主次星形成的黑洞質(zhì)量會出現(xiàn)質(zhì)量反轉(zhuǎn)(初始質(zhì)量大的恒星形成的黑洞質(zhì)量反而較小)，隨著質(zhì)量比q1和恒星質(zhì)量增大，反轉(zhuǎn)效果越明顯。圖1b)初始質(zhì)量與形成黑洞質(zhì)量關(guān)系中存在幾個黑洞質(zhì)量明顯較大的點(圖中橢圓圈出部分)，主要原因是這些系統(tǒng)初始軌道周期較大，同時恒星質(zhì)量較小，金屬豐度較低，恒星演化膨脹不劇烈，第一次物質(zhì)轉(zhuǎn)移后軌道間距變得更大，后續(xù)雙星演化過程中供給星沒有充滿洛希瓣，系統(tǒng)沒有經(jīng)歷第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段，次星演化到超新星爆炸前保留了更多物質(zhì)，最終形成的黑洞質(zhì)量也明顯較大。其他質(zhì)量系統(tǒng)沒有發(fā)生這種情況，可能是因為其他系統(tǒng)初始軌道周期更小，初始質(zhì)量更大，恒星金屬豐度更高，恒星演化膨脹劇烈，能發(fā)生第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移。此外可能存在其他沒有經(jīng)歷物質(zhì)轉(zhuǎn)移過程的情況，因為MESA 程序在計算過程中不收斂，導致沒有得到相應(yīng)結(jié)果。

我們將本文的計算結(jié)果與Belczynski 等人(紅色線)[5]和Spera 等人(紫色線)[50]研究結(jié)果進行對比，如圖1b)所示。他們的研究都采用快速超新星爆炸模型，計算了單星演化情況下恒星初始質(zhì)量與形成致密星質(zhì)量的關(guān)系。我們主要將主星演化結(jié)果與他們的研究結(jié)果進行對比，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在雙星相互作用階段供給星會損失大量物質(zhì)，導致最終主星形成的黑洞質(zhì)量整體處于Spera 等人[50]的結(jié)果下方。在小質(zhì)量端，主星形成的黑洞質(zhì)量小于Belczynski等人[5]的結(jié)果；在主星初始質(zhì)量大于40 M⊙時，主星形成的黑洞質(zhì)量大于Belczynski 等人研究給出的黑洞質(zhì)量。快速超新星爆炸機制中計算致密星質(zhì)量依賴于超新星爆炸前的恒星質(zhì)量及CO 核質(zhì)量，而不同研究者采用不同的星風物質(zhì)損失模型、金屬豐度以及CO 核計算模型，會導致計算得到的超新星爆炸前的恒星質(zhì)量及CO 核質(zhì)量存在差異，最終導致不同模型計算得到的致密星質(zhì)量分布也不同。

3.2 并合時標

我們計算了形成的雙黑洞通過引力波輻射損失角動量的并合時標，如圖2 所示。模型只考慮穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移情況，不包含公共包層演化階段，導致雙星演化過程中缺乏有效縮短軌道間距的機制，并合時標強烈依賴初始軌道周期。如果初始周期太大，最終形成的雙黑洞軌道間距較大，造成通過引力波輻射的并合時標遠超過哈勃時標。只有初始軌道周期較小的情況下，形成的雙黑洞才能在哈勃時標內(nèi)并合(如圖2，圖中僅展示了并合時標小于哈勃時標的情況)。圖中紅色方塊表示直接坍縮形成黑洞的情況，初始軌道周期越小，雙黑洞并合時標越短：在初始軌道周期為3 d 時，最小的并合時標約為6 Ga；當初始軌道周期大于4.2 d 時，形成的雙黑洞不能在哈勃時標內(nèi)并合。藍色方塊表示通過超新星爆炸形成黑洞，這種情況下反沖速度可能使雙星間距變小，最終形成的雙黑洞最小并合時標約為0.5 Ga。恒星從零齡主序演化到形成黑洞的時標(約5 Ma)，遠小于雙黑洞輻射引力波損失角動量的時標，本文中并合時標是指從形成雙黑洞開始到最終雙黑洞輻射引力波損失角動量而并合的這段時間。

圖2 初始軌道周期-并合時標

3.3 與觀測對比

演化形成的雙黑洞的質(zhì)量分布如圖3 所示，圖中紅色方塊表示形成的雙黑洞能在哈勃時標內(nèi)并合，灰色點表示并合時標大于哈勃時標的情況。黑洞質(zhì)量整體分布在(7 ～60)M⊙范圍內(nèi)，其中有個別情況形成的黑洞質(zhì)量較大，最大約70 M⊙；系統(tǒng)的總質(zhì)量分布在(15 ～110)M⊙范圍內(nèi)，雙黑洞質(zhì)量比整體分布在0.6 ～1 之間。其中小質(zhì)量端和大質(zhì)量端形成的雙黑洞可能在哈勃時標內(nèi)并合，而中間質(zhì)量段的雙黑洞并合時標都超過哈勃時標。我們將計算結(jié)果與目前已經(jīng)探測到的引力波事件進行了對比，如圖3 所示，圖中帶誤差棒的點表示LIGO 和Virgo 探測到的引力波事件。從圖中可以看到我們的模擬結(jié)果與探測到的部分引力波事件中的雙黑洞比較相符，小質(zhì)量端GW170608 和GW151226 與我們的結(jié)果符合得較好；在大質(zhì)量端，觀測點整體處于我們計算結(jié)果的下方，計算結(jié)果與觀測樣本符合不如小質(zhì)量端好；在中間質(zhì)量段(MBH1≈20 M⊙～35 M⊙)，形成的雙黑洞總質(zhì)量相對較小，由引力波輻射損失角動量導致的雙黑洞并合時標相對較長，形成的雙黑洞不能在哈勃時標內(nèi)并合。

圖3 雙黑洞質(zhì)量分布

由圖4 可知形成的雙黑洞并合時標小于哈勃時標情況下對應(yīng)的初始主星質(zhì)量-初始周期參數(shù)空間，藍色方塊表示通過超新星爆炸形成黑洞的情況，紅色方塊表示直接坍縮形成黑洞的情況。在小質(zhì)量端，主星初始質(zhì)量約為30 M⊙時通過超新星爆炸形成黑洞，新誕生的黑洞具有反沖速度，反沖速度會改變雙星軌道間距及橢率，對應(yīng)的初始軌道周期為3 ～5 d時，形成的雙黑洞可能在哈勃時標內(nèi)并合。在大質(zhì)量端，主星初始質(zhì)量大于60 M⊙，初始軌道周期為3 ～4.2 d 時，形成的雙黑洞能在哈勃時標內(nèi)并合。

圖4 初始主星質(zhì)量-初始周期

圖5 展示了一個類似GW170729 引力波事件的形成通道，恒星金屬豐度Z = 0.000 1，初始軌道周期為3 d，雙星初始質(zhì)量為(80+56)M⊙，主星在主序階段充滿洛希瓣，通過內(nèi)拉格朗日點向次星轉(zhuǎn)移物質(zhì)，在3.6 Ma 后形成一顆質(zhì)量為46 M⊙的黑洞，而此時次星吸積物質(zhì)增長到69.9 M⊙。接著次星演化到主序末階段充滿洛希瓣，發(fā)生第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移，此時吸積星是黑洞，吸積率受愛丁頓吸積率限制，第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段中黑洞只吸積了非常少的物質(zhì)(約0.2 M⊙)，在4.62 Ma 后次星形成一顆質(zhì)量為38.8 M⊙的黑洞。至此雙星系統(tǒng)演化形成質(zhì)量為(46.2+38.8)M⊙的雙黑洞，通過引力波輻射損失角動量，最終雙黑洞約在10.6 Ga 后并合。

3.4 討論分析

之前已經(jīng)有很多學者研究了孤立雙星系統(tǒng)的演化，但是大多數(shù)研究都是基于快速恒星演化程序，這種程序的優(yōu)點是可以快速產(chǎn)生批量的計算結(jié)果，但是對恒星詳細的演化過程處理比較粗糙。我們在研究中采用一維恒星演化程序MRSA 模擬恒星演化，根據(jù)恒星結(jié)構(gòu)方程，一步步迭代計算恒星演化，這樣能比較準確地模擬恒星演化。但這會帶來兩個問題：(1)計算量大，所以計算速度慢且耗時長，導致計算樣本數(shù)目不會太多；(2)演化過程中兩顆子星都必須滿足恒星結(jié)構(gòu)方程，如果某一步不滿足，MESA 程序會不停地迭代計算，直到最終時間步長非常小，計算結(jié)果不收斂，不能得到我們想要的結(jié)果，造成研究中網(wǎng)格點數(shù)據(jù)不完整。如圖1，在大質(zhì)量端，只有低金屬豐度情況下，才能得到相應(yīng)的計算結(jié)果；在金屬豐度較高的情況下，程序會出現(xiàn)計算不收斂的問題，造成計算結(jié)果缺失。

圖5 GW170729 可能的形成通道

超新星爆炸對雙星系統(tǒng)的演化有重要影響，反沖速度越大越容易瓦解雙星系統(tǒng)，Dominik 等人[20]的研究表明，減小反沖速度會增加雙致密星并合率。我們在Fryer 等人的研究基礎(chǔ)上取Vkick= (1-ffb)Wkick，在超新星爆炸形成黑洞的過程中，大部分雙星系統(tǒng)會被超新星爆炸瓦解，只有少部分系統(tǒng)能保留。如果直接采用Hobbs 等人[72]的研究結(jié)果(即Vkick=Wkick)，不考慮回落物質(zhì)影響，則幾乎絕大部分經(jīng)歷超新星爆炸的系統(tǒng)都會被破壞。

第一次物質(zhì)轉(zhuǎn)移時雙星質(zhì)量比q2＜qlimit，是動力學穩(wěn)定的物質(zhì)轉(zhuǎn)移。有一部分系統(tǒng)(主要在小質(zhì)量端)通過超新星爆炸形成黑洞，這種方式形成的黑洞質(zhì)量較小，在發(fā)生第二次物質(zhì)轉(zhuǎn)移時雙星質(zhì)量比q2＞qlimit，會演化形成公共包層；這些系統(tǒng)在供給星主序階段或赫氏空隙階段進入公共包層，有研究表明這種情況下公共包層演化會導致雙星系統(tǒng)并合[20]。我們只考慮穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道，并假設(shè)進入公共包層演化階段的系統(tǒng)最終都會并合。此外，有其他研究者認為在赫氏空隙階段進入公共包層演化，系統(tǒng)最終可以拋射包層，雙星不會并合，這種情況會增加雙黑洞的并合率[5,20,42]。

雙星系統(tǒng)通過穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道，不包含公共包層演化階段，因此缺乏有效縮短軌道間距的機制，形成的雙黑洞并合時標非常依賴于初始軌道。我們的模型提出，只有初始軌道周期較小的情況下(P0≤5 d)，形成的雙黑洞才有可能通過引力波輻射損失角動量，最終在哈勃時標內(nèi)并合；而對初始周期較大(P0＞5 d)的情況，形成的雙黑洞都不能在哈勃時標內(nèi)并合。

我們計算得到形成的雙黑洞質(zhì)量比分布約為0.6 ～1，其中大部分系統(tǒng)質(zhì)量比都較大。大質(zhì)量端能在哈勃時標內(nèi)并合的系統(tǒng)，整體分布于觀測點的上方(見圖3)，可能我們選取的初始雙星質(zhì)量比較大，因此最終形成的雙黑洞質(zhì)量比較大?？紤]較小的雙星初始質(zhì)量比，如果物質(zhì)轉(zhuǎn)移階段雙星沒有相接，則形成的雙黑洞質(zhì)量比可能會較小。我們計算了部分初始雙星質(zhì)量比q1= 0.6 的樣本，發(fā)現(xiàn)其中部分系統(tǒng)能發(fā)生穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移，雙星不會在主序階段相接，最終形成的能在哈勃時標內(nèi)并合的雙黑洞質(zhì)量分布稍微下移了一點(如圖3 中綠色加號)，但效果不是特別明顯，整體依舊處于觀測點上方。在較小初始雙星質(zhì)量比(q1＜0.6)的情況下，主序階段發(fā)生物質(zhì)轉(zhuǎn)移的系統(tǒng)基本都會形成相接雙星。

4 總結(jié)與展望

探測到引力波信號證實了恒星級大質(zhì)量雙黑洞的存在。我們采用一維恒星演化程序MESA 研究了初始質(zhì)量為(20 ～80)M⊙，金屬豐度分別為0.5%Z⊙,1%Z⊙,2.5%Z⊙,5%Z⊙以及10%Z⊙的大質(zhì)量雙星系統(tǒng)演化。在恒星演化到主序或者赫氏空隙階段充滿洛希瓣，通過穩(wěn)定物質(zhì)轉(zhuǎn)移通道形成大質(zhì)量雙黑洞。金屬豐度主要影響恒星的星風物質(zhì)損失率，主要體現(xiàn)在主星的演化上，金屬豐度越低，星風物質(zhì)損失率越小，恒星演化形成的黑洞質(zhì)量越大。研究發(fā)現(xiàn)，次星受金屬豐度影響不明顯，主要原因是次星在雙星相互作用階段會吸積大量物質(zhì)，并明顯改變恒星的質(zhì)量，導致次星演化形成的黑洞質(zhì)量差異較大。我們計算得到主星演化形成的黑洞質(zhì)量分布在(10 ～55)M⊙之間。次星形成的黑洞質(zhì)量受初始雙星質(zhì)量比的影響，初始質(zhì)量比q1越大，形成的黑洞質(zhì)量越大，分布在(7 ～70)M⊙之間。最終大質(zhì)量雙星演化形成的雙黑洞總質(zhì)量分布在(15 ～110)M⊙之間，系統(tǒng)質(zhì)量比分布在0.6 ～1 之間。我們發(fā)現(xiàn)雙黑洞并合時標主要依賴初始軌道周期，初始軌道周期≤5 d 的系統(tǒng)最終形成的雙黑洞軌道間距較近，通過引力波輻射損失角動量，最終可能在哈勃時標內(nèi)并合；如果初始周期大于5 d，最后演化形成的雙黑洞軌道間距較大，并合時標遠大于哈勃時標。研究結(jié)果能解釋一些現(xiàn)在觀測到的引力波事件，圖3 給出我們的結(jié)果與探測到的引力波事件的對比，在小質(zhì)量端GW170608 和GW151226 引力波事件落在我們的計算網(wǎng)格點中；大質(zhì)量端與觀測樣本符合相對較差，觀測點整體分布在我們計算結(jié)果的下方；中間質(zhì)量段形成的雙黑洞總質(zhì)量較小，導致相同軌道間距情況下并合時標更長，最終系統(tǒng)不能在哈勃時標內(nèi)并合。

我們工作中存在的問題是計算樣本數(shù)目較少，下一步研究應(yīng)該增加網(wǎng)格點密度，并選取更多的樣本，包括目前工作中未涉及的巨星支階段發(fā)生物質(zhì)轉(zhuǎn)移的情況；其次是反沖速度對形成雙黑洞影響較大，后續(xù)工作可以研究不同反沖速度對形成雙黑洞的影響；再次，在大質(zhì)量端雙黑洞質(zhì)量比整體大于觀測值，后續(xù)工作可以考慮更小的吸積效率以及更有效的角動量損失機制；最后，恒星的自轉(zhuǎn)對恒星的星風物質(zhì)損失以及內(nèi)部混合等有影響，后續(xù)工作應(yīng)該考慮恒星自轉(zhuǎn)的影響。