算法優(yōu)化后，不妨更進(jìn)一步

管小冬

《分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)》一課的教學(xué)中，在呈現(xiàn)教材例題（如下圖），學(xué)生閱讀、分析并列出算式后，我請(qǐng)他們先獨(dú)立思考，再在小組中交流。隨后進(jìn)行的全班交流中，大家一起梳理出了三種代表性方法：1.化為小數(shù)后計(jì)算；2.用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子；3.將除以改為乘它的倒數(shù)。接著，大家又在更大范圍內(nèi)分析、思考這些方法的適用性，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)前兩種方法均有一定的局限，方法3 則普遍適用。由此，學(xué)生總結(jié)出分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法——“除以一個(gè)數(shù)（0 除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”。

一節(jié)課下來(lái)，頗有些酣暢淋漓的感覺。原因有二：一是學(xué)生呈現(xiàn)了多種個(gè)性化算法。這表明即使在面對(duì)單純的計(jì)算問題時(shí)，他們也能積極從自身的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，思考解決問題的方法，思維趨于開放狀態(tài)。二是在算法優(yōu)化環(huán)節(jié)，學(xué)生并未輕易否定與書本不同的方法，而是深入分析了各種方法的適用范圍，展現(xiàn)出他們分析問題時(shí)的審慎態(tài)度與思維的全面性。

欣喜之余，我習(xí)慣性地開始思考，課堂之中有哪些環(huán)節(jié)還可以處理得更好？在學(xué)生的生成中，是否還有些“靈光”未能被我及時(shí)捕捉？

盤點(diǎn)中，我的目光漸漸聚焦于一位學(xué)生提出的方法二——“用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子”，她的靈感來(lái)自于分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算方法。

初始，大家對(duì)她的方法是驚訝且欣喜的，她的臉上也洋溢著自豪。我想，這種驚訝、欣喜、自豪，可能源于他們其實(shí)已經(jīng)知道了分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的“正規(guī)算法”，而又突然發(fā)現(xiàn)“分?jǐn)?shù)除法竟然還可以這樣算！”隨后，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的嘗試、對(duì)比和分析，當(dāng)發(fā)現(xiàn)這種方法的“局限”而又重歸“正規(guī)算法”時(shí)，大家又是平靜的?，F(xiàn)在回想起來(lái)，在這種平靜之中，他們似乎在對(duì)我、對(duì)這位學(xué)生、對(duì)他們自己說(shuō)，“瞧，最后還得這樣吧！”

是的，縱觀整節(jié)課，雖說(shuō)有學(xué)生的生成、碰撞、辨析與精彩，但作為組織者與引導(dǎo)者的我，一直都堅(jiān)定地帶領(lǐng)他們從算法多樣化，經(jīng)由算法優(yōu)化，最終走向算法一致化。而這，也是當(dāng)下計(jì)算課堂的經(jīng)典招式。因?yàn)?，在我們的潛意識(shí)中，理解算理、掌握算法仍是計(jì)算課最重要的教學(xué)目標(biāo)。還因?yàn)槲覀兒芮宄瑢W(xué)生個(gè)性化的算法，終究是敵不過(guò)教材呈現(xiàn)的那歷經(jīng)人類千百年智慧凝練而成的算法的。所以，雖然我們始終在倡導(dǎo)算法多樣化，但其實(shí)只是將之作為通向“正規(guī)算法”路途中的點(diǎn)綴而已。

但對(duì)學(xué)生而言，重要的恰恰卻是那些屬于他們自己的算法。因?yàn)樽罱K的“正規(guī)算法”可能早已經(jīng)由書本、成人向他們傳遞，而這些屬于他們自己的個(gè)性化算法往往卻是他們經(jīng)驗(yàn)的匯聚、靈感的萌發(fā)。我想，帶領(lǐng)他們緊抓住自己的靈感，持續(xù)深入地思考下去，進(jìn)而獲得屬于自己的解決問題的方法，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的樂趣，應(yīng)該要遠(yuǎn)比掌握一個(gè)“正規(guī)算法”重要得多。因?yàn)?，?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的，不止于基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，更為重要的是帶領(lǐng)他們學(xué)會(huì)思考，特別是長(zhǎng)時(shí)間的思考。

基于以上想法，我對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)做了如下改進(jìn)與補(bǔ)充。

首先，在課堂的總結(jié)與回顧環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生思考：針對(duì)方法二的局限性——只適用于被除數(shù)的分子、分母分別都是除數(shù)的分子、分母的倍數(shù)這一情況，我們能否想辦法化解，使之也能普遍適用。之所以放在總結(jié)與回顧環(huán)節(jié)，是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法是學(xué)生后續(xù)探究分?jǐn)?shù)其他相關(guān)問題重要的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，對(duì)個(gè)性化算法的繼續(xù)探究應(yīng)建立在學(xué)生理解算理、掌握算法的基礎(chǔ)之上。同時(shí)，這樣的安排也使得在課末，對(duì)“分?jǐn)?shù)除法可以怎樣算？”這一問題的探究，不因“正規(guī)算法”的歸納得出畫上句號(hào)，而是給學(xué)生留下了進(jìn)一步思考與探索的空間，促使其根據(jù)問題的癥結(jié)所在，充分調(diào)動(dòng)自身已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，探尋解決問題的方法，并在此過(guò)程中進(jìn)一步增強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系與融通，達(dá)成對(duì)分?jǐn)?shù)及分?jǐn)?shù)運(yùn)算的深度理解。

其次，將對(duì)方法二的研究作為學(xué)生近期數(shù)學(xué)研究的小課題，持續(xù)關(guān)注學(xué)生的研究進(jìn)展，協(xié)助其解決研究中的疑難，組織開展交流討論活動(dòng)。事實(shí)上，學(xué)生的后續(xù)研究也確實(shí)給大家?guī)?lái)不少驚喜。有些方法甚至脫離了方法二的思路，真正是“條條大路通羅馬”“給我一個(gè)舞臺(tái)，還你一片精彩”！

現(xiàn)將部分學(xué)生的方法摘錄如下。

最后，組織學(xué)生對(duì)相應(yīng)方法進(jìn)行適當(dāng)歸納、提煉。如對(duì)方法A，引導(dǎo)學(xué)生理解要求，即是求，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法計(jì)算法則，有。顯然，被除數(shù)是除數(shù)與商的分子分母分別相乘并約分后的結(jié)果。由此理解“用分母除以分母的商作分母，分子除以分子的商作分子”這一算法的合理性。同時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步細(xì)化分析，即，發(fā)現(xiàn)雖然思路不同，計(jì)算途徑迥異，但最終仍可歸納提煉為“除以一個(gè)數(shù)（0 除外），等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，進(jìn)而理解教材呈現(xiàn)的“正規(guī)算法”其實(shí)是建立在多種不同算法基礎(chǔ)上的最優(yōu)化、最簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)，并獲得算理的多元理解與算法的深度掌握。

在此基礎(chǔ)上，就算法優(yōu)化后，如何更進(jìn)一步，讓我們的計(jì)算教學(xué)更好地由“方法的統(tǒng)一”和過(guò)于“注重計(jì)算技能”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鹬貙W(xué)生的思維特點(diǎn)、重視學(xué)生思維能力的培養(yǎng)”，我總結(jié)出以下幾點(diǎn)建議，與大家交流。

一、宜在算法優(yōu)化后進(jìn)行

將對(duì)個(gè)性化算法的持續(xù)、深入研究放置于算法優(yōu)化后，主要基于三個(gè)方面的考慮。首先，在計(jì)算新授課中，我們往往需要在四十分鐘內(nèi)帶領(lǐng)學(xué)生完成算理理解、算法掌握及鞏固等任務(wù)。而學(xué)生的個(gè)性化算法往往源自其自身知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的獨(dú)特思考，有些在短時(shí)間內(nèi)可辨析清楚，有些需要較長(zhǎng)時(shí)間的思考與理解，有些甚至短期內(nèi)無(wú)法解決。其次，依據(jù)心理學(xué)的“首因效應(yīng)”——“當(dāng)不同的信息結(jié)合在一起時(shí)，人們總是傾向于重視前面的信息”，我們應(yīng)首先促成學(xué)生對(duì)“正規(guī)算法”算理的理解和算法的掌握。最后，這樣的安排可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到，算法的得出并不意味著研究的結(jié)束，后續(xù)持續(xù)深入的研究仍會(huì)有新理解、新發(fā)現(xiàn)。這也有利于培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生“長(zhǎng)時(shí)間思考”的習(xí)慣與能力。

二、更需教師的適時(shí)參與與適度點(diǎn)撥

算法優(yōu)化后的持續(xù)探討，研究?jī)?nèi)容往往是課上暫時(shí)擱置的學(xué)生一些極具個(gè)性化的想法，或是在理解、掌握“正規(guī)算法”過(guò)程中引發(fā)的另類思考。這些想法的產(chǎn)生或基于經(jīng)驗(yàn)，或源自直覺，或初具理性。研究中，思路的梳理、方法的轉(zhuǎn)換、難點(diǎn)的突破、最終的表達(dá)都需要學(xué)生具備較高的分析、推理、判斷與決策能力，其間的困難不言而喻。而教師的適時(shí)參與與適度點(diǎn)撥，往往會(huì)使學(xué)生由“山窮水盡”到“柳暗花明”，從而完整經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的全過(guò)程，并增添勇氣，增強(qiáng)攻堅(jiān)克難意識(shí)，不斷樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。如上述教學(xué)中，交流方法A 后，教師適度點(diǎn)撥，“除了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，想想，還有哪些我們學(xué)過(guò)的知識(shí)可能對(duì)計(jì)算分?jǐn)?shù)除法有幫助呢？由此，你能找到新思路、新方法嗎？”正是這樣的追問，促使學(xué)生不斷開闊思路，進(jìn)而催生出之后呈現(xiàn)的更多方法。

三、可適當(dāng)增加形式思維的比重

基于小學(xué)生的思維特點(diǎn)、教材編排，我們的教學(xué)通常會(huì)將算法的研究放置于具體情境中進(jìn)行，從而借助具體事件、直觀模型幫助學(xué)生理解算理、掌握算法。但我們應(yīng)明白，培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生的抽象思維與邏輯推理能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的必然追求，且“很多數(shù)學(xué)知識(shí)其實(shí)都是數(shù)學(xué)內(nèi)部抽象與演繹的結(jié)果”。因此，算法優(yōu)化后的持續(xù)研究，可適當(dāng)增加形式思維的比重，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從具體直觀向形式抽象過(guò)渡，進(jìn)而達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)形式化、結(jié)構(gòu)化的理解，獲得數(shù)學(xué)思維能力的逐步提升。如上述教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借助已有知識(shí)將分?jǐn)?shù)除法轉(zhuǎn)化為除數(shù)是整數(shù)的除法，乃至除數(shù)是1 的除法，都是培養(yǎng)、發(fā)展學(xué)生抽象思維與推理能力的一次有益嘗試。

最后，需要特別指出的是，“算法是指解題方案的準(zhǔn)確而完整的描述，是一系列解決問題的清晰指令，代表著用系統(tǒng)的方法描述解決問題的策略機(jī)制。”因此，對(duì)算法優(yōu)化后如何更進(jìn)一步的探討，可從計(jì)算教學(xué)延伸至更大范圍，并借此推動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，特別是長(zhǎng)時(shí)間思考與系統(tǒng)思考能力的提升。