激活思維，提升能力
——一節(jié)數(shù)學課的教學改進與思考

（桐鄉(xiāng)市洲泉中學，浙江 嘉興 315000）

學生在數(shù)學學習的過程中經(jīng)常會出現(xiàn)各種思維障礙，其原因是多方面的，但主要的原因是數(shù)學課堂中大量存在著缺少學生參與數(shù)學思維活動的現(xiàn)象，往往略去了知識的探究過程，取而代之的是教師一言堂和機械的訓(xùn)練。尤其是優(yōu)等生缺乏對知識的“火熱”思考和主動建構(gòu)，因而思維能力的提升就無從談起?！缎抡n標》指出，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識和技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。數(shù)學教學活動，特別是課堂教學應(yīng)激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。為此，我校對九年級學生實施分層教學，給優(yōu)等生創(chuàng)造了一個良好的課堂學習氛圍，同時也為數(shù)學教師們提供了分層教學的環(huán)境。

一、留足時間，打開思維通道

陶行知認為，在初中數(shù)學教學中，教師要留給學生動腦的機會，讓學生有較充分的思考時間和空間，發(fā)表自己的見解，這樣才有助于培養(yǎng)學生的探究精神，訓(xùn)練學生的創(chuàng)新思維能力。優(yōu)等生除了掌握基本的知識和概念以外，更應(yīng)該注重能力的培養(yǎng)，課堂是培養(yǎng)優(yōu)等生思維能力的最佳基地。

下面以《浙教版九下數(shù)學§2.1 直線與圓的位置關(guān)系（1）》中的例5、例6 為例，通過兩種教學方式的比較，來驗證：在數(shù)學課堂的教學中，把時間還給學生，更有助于激發(fā)學生的思維，打開學生的思維通道。

例5 木工師傅可以用角尺測量并計算圓的半徑.如圖1，用角尺的較短邊緊靠⊙O于點A，并使較長邊與⊙O相切于點C.記角尺的直角頂點為B，量得AB=8cm，BC=16cm。求⊙O 的半徑.

（一）克扣時間，效果不佳

在之前的教學中，筆者總是為了能夠順利地完成教學任務(wù)，

克扣學生的思考時間，便迫不及待地在課件中呈現(xiàn)早已設(shè)置好的幾個小問題。如例題5 會設(shè)置以下幾個問題：

（1）遇到切點，我們往往會將切點與誰連結(jié)？（連結(jié)圓心和切點）；

（2）求半徑長度，可構(gòu)造哪一種圖形？

（3）當圖形中出現(xiàn)多個直角時，可構(gòu)造哪一種特殊四邊形？

通過這種逐步引導(dǎo)的方式來幫助學生形成解題思路，最終通過師生的短暫互動得到下面“方法二”的解題過程，以致優(yōu)等生朝著教師課前設(shè)置好的思路走下去。這樣雖能完成教學進度，但學生沒有了自己的思考時間和空間，久而久之會對老師產(chǎn)生依賴心理，導(dǎo)致學生在做作業(yè)時，一旦沒有教師在旁指點一二，便不能夠很好地完成有難度的習題。

（二）放手一搏，喜出望外

暫停講解，先給學生足夠時間思考，接著傾聽他們的思考過程和結(jié)果，再進行點評和引導(dǎo)。

經(jīng)過5 分鐘的思考，學生首先提供的是下面的方法一

（我很茫然，輔助線添加得也太多了一點，但我還是打算耐心地聽一聽）

師：生3很棒，大家的想法也很默契！那么同學們還有其他的解決方法嗎？

（停頓了一會兒后，見學生們沒有思緒，稍作提示。）

師：同學們的剛才的解決方法使通過相似三角形的性質(zhì)求出半徑的，那求線段的長度除了這個方法外，還有哪一種更常用的方法呢？……

生4：勾股定理

師：很好，那如何來構(gòu)造這個直角三角形呢？請同學們結(jié)合題中的條件再次思考。最后在大家的相互協(xié)作下，完成了下面的“方法二”。

通過課后反饋，學生首先想到的是用勾股定理求出線段AC 的長；接著根據(jù)AC 在圓中扮演“弦”的角色，又因為所求的是圓的“半徑”，自然而然想到了垂徑定理，還有部分學生運用的是等腰三角形三線合一性質(zhì)，故而如此添加輔助線；再根據(jù)多個直角（∠B，∠OCB），并結(jié)合圖形，又進一步聯(lián)想到了K 字形相似，從而解決了問題（即方法一）?？梢妼W生的想法自然，清晰到位，并且計算簡單，并不遜色于書本提供的方法。若教師一味地牽著學生的鼻子走，不但不利于學生智力的開發(fā)，還會大大打擊學生們的學習自主性。接著以相同的課堂教學方式，分析并完成了例6 的教學。

例6 已知如圖,4，直線AB 與⊙O 相切于點C，AO 交⊙O 于點D，連結(jié)OC，CD.求證：（注：幾何知識中倍角關(guān)系的證明是一個重要的知識點，學生急需掌握相應(yīng)的解題思路和方法。）

課堂上給優(yōu)等生充足的時間和空間，有利于激發(fā)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強烈欲望，加深他們對所學知識的深刻理解，訓(xùn)練他們對數(shù)學思想和數(shù)學方法的嫻熟運用，鍛煉他們思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨創(chuàng)性，從而培養(yǎng)他們的思維品質(zhì)。

二、及時總結(jié)，把握思維方向

及時總結(jié)可以幫助優(yōu)等生理清所學知識的層次結(jié)構(gòu)，掌握其外在的形式和內(nèi)在聯(lián)系，形成知識系列及一定的結(jié)構(gòu)框架。通過對所解問題的及時總結(jié)，可以幫助優(yōu)等生掌握解題的方法和經(jīng)驗，從而提高他們的思維能力。

課堂教學中，當學生被激發(fā)出多種思維解決同一問題以后，一定要采取及時總結(jié)的措施，幫助學生一起整理解決問題的思路和方法，讓他們的能力更加精進。經(jīng)過長期的訓(xùn)練，會讓優(yōu)等生養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習慣，有助于他們在做習題的過程中把握思維的方向，有效地解決問題。

對于方法的總結(jié)要簡潔、準確，把握解題的中心，因此我采用“希沃爾技術(shù)”呈現(xiàn)解題方法的詳細過程，便于優(yōu)等生回憶解題過程；再借助“學科思維導(dǎo)圖”整理各種方法的解題思路，便于學生進行比較和總結(jié)，讓學生能夠根據(jù)所求問題，掌握解題的技巧，積累解題的經(jīng)驗。

（一）總結(jié)例5，把握求線段長度的思維方向

師：請同學們根據(jù)上述兩個方法的解題思路，請思考一個問題：當我們再次遇到有關(guān)求線段長度的問題時，可從哪些方向入手去尋找問題所需的條件，然后根據(jù)題中各個已知條件展開合情推理，找到問題解決的思路和方法呢？

結(jié)合剛剛的思路整理，采用“逆推”的方式，借助思維導(dǎo)圖，便能簡潔、清晰地展示求線段長度的基本思路和方向。通過這樣的方式進行整理和總結(jié)，讓學生掌握及時總結(jié)的方法。

任務(wù)：請同學們在課后翻閱做過的類似習題，找找還有沒有其他方法可用來求線段的長度，并進一步完善“求線段長度”的思維導(dǎo)圖。通過對方法的整理和歸類，有助于優(yōu)等生今后更加有效地落實課堂和課后作業(yè)，幫助他們減輕學業(yè)負擔，從而能騰出更多的時間去思考、去鉆研，讓他們的能力得到進一步的提升。

（二）總結(jié)例6，把握證倍角關(guān)系的思維方向

證明倍角關(guān)系是初中數(shù)學幾何中的一塊重要內(nèi)容，因此把握思維方向，掌握方法很重要，那么證明倍角關(guān)系又有哪些思維方向呢？先結(jié)合例6 的兩種方法，進行思路整理。再讓學生根據(jù)上述兩幅思維導(dǎo)讀，并結(jié)合例5 思維導(dǎo)圖的方法，完成右圖這一幅有關(guān)倍角關(guān)系證明的導(dǎo)圖。

通過對證倍角關(guān)系思維和方法的總結(jié)，有助于優(yōu)等生加強幾何問題的證明和邏輯思維的培養(yǎng)。

首先根據(jù)解題方法縷清思路，再用逆向思維總結(jié)方法，是初中數(shù)學常用的學習方法。要讓學生具備這樣的能力，及時總結(jié)必不可少。一旦養(yǎng)成良好的總結(jié)習慣，可為優(yōu)等生今后的數(shù)學學習和研究、能力的鍛煉打下堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。

三、延伸拓展，提升思維能力

知識的延伸拓展和方法的應(yīng)用，可以有效地促進知識的遷移，同時能提高優(yōu)等生的學習積極性，培養(yǎng)參與意識；促進知識網(wǎng)絡(luò)的形成，架構(gòu)思維的橋梁，提升優(yōu)等生的思維能力。

為了讓學生感受到總結(jié)的作用，同時檢測剛才的教學是否有效，“延伸拓展”這一環(huán)節(jié)便可起到一舉兩得之功效。

（一）精選習題

（2）如圖8，當當∠A ＜90°時，請判斷第（1）小題的結(jié)論是否仍成立，并說明理由。

讓學生通過對這個習題的練習，了解在初中數(shù)學幾何問題的學習中，可通過倍角關(guān)系去證明線段之間的關(guān)系，從而掌握知識點之間是相互聯(lián)系，不可分割的，它們能組成一個強大的知識網(wǎng)絡(luò)。同時讓優(yōu)等生了解到證線段的關(guān)系不光可以從線段本身入手，還可以從角之間的關(guān)系、邊角的關(guān)系去落實，達到升華思維之目的。

（二）解決問題

優(yōu)等生有了思考的方向，更應(yīng)該放手，將課堂再次還給他們，由他們?nèi)?chuàng)造和發(fā)揮。先單獨思考，再合作討論，最后由他們通過自己的智慧，去收獲喜悅。

（三）課后作業(yè)

請同學們于課后完成下面習題：

（1）求拋物線的表達式；

（2）連結(jié)OB，點P 為x軸下方拋物線上一動點，過點P 作OB 的平行線交直線AB 于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2 時，求出點P 的坐標.（坐標平面內(nèi)兩點M之間的距離

布置這個問題的目的是讓學生通過對第三小題的解答，總結(jié)出：我們可以通過作角平分線證倍角關(guān)系，那么證倍長關(guān)系，可以通過取線段中點，通過類比的方式，找到思維的突破口，把握思維的方向，促成思維能力的提高。

總之，對于初中數(shù)學優(yōu)等生的教學，除了教會他們掌握基本的知識和概念以外，更應(yīng)注重他們能力的培養(yǎng)。因為只有提高優(yōu)等生的思維能力，讓他們學會分析問題、解決問題、總結(jié)方法、積累經(jīng)驗并學會運用，才能從根本上解決他們的學業(yè)負擔，減輕他們的心理壓力，真正達到“學為中心”、“輕負高效”之目的。