中考根的判別式知多少

曾藝華

摘 要：縱觀這幾年福建中考數(shù)學(xué)試題，我們發(fā)現(xiàn)，每年的中考幾乎都考到根的判別式及其應(yīng)用.教師在復(fù)習(xí)過(guò)程中可以根據(jù)根的判別式的應(yīng)用，對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考法進(jìn)行歸納總結(jié).歸納總結(jié)根的判別式的幾種重要用法，讓學(xué)生不僅懂得知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，還能舉一反三，真正理解知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：一元二次方程;根的判別式;中考真題

一元二次方程根的判別式是二次函數(shù)與一元二次方程聯(lián)系的重要紐帶，在銜接初高中函數(shù)應(yīng)用中起到重要作用，其中根的判別式的應(yīng)用在中考中很常見(jiàn)的，大多以選擇題、填空題以及解答題24，25題第一問(wèn)第二問(wèn)的形式出現(xiàn).主要考察根的判別式在求一元二次方程根的個(gè)數(shù)，二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用.常常借助數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，把函數(shù)與幾何結(jié)合起來(lái)。根的判別式也可用于求解拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離的最值，是解析幾何應(yīng)用的重要知識(shí)點(diǎn)。

一、求一元二次方程根的個(gè)數(shù)

根的判別式可以用來(lái)判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，或者由一元二次方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍.

分析：第一問(wèn)求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)有兩個(gè)待定系數(shù)，把公共點(diǎn)的坐標(biāo)代人拋物線(xiàn)的關(guān)系式，其中系數(shù)用系數(shù)來(lái)表示，只剩待定系數(shù)，用頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式或是求出頂點(diǎn)式就可以把頂點(diǎn)坐標(biāo)求出來(lái)，第二問(wèn)只要聯(lián)立直線(xiàn)和拋物線(xiàn)所在的方程，用判別式判斷方程解的個(gè)數(shù)，若△，拋物線(xiàn)和直線(xiàn)就有兩個(gè)交點(diǎn).

四、求二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離最值.

由例4可以引申到拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題，過(guò)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)且與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，與拋物線(xiàn)一定有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離即為最值.（其中已知直線(xiàn)的斜率存在）

例5和例6都是求拋物線(xiàn)與已知直線(xiàn)的距離最值問(wèn)題.這個(gè)最值有兩種情況：如例5，當(dāng)已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離有最小值;如例6，當(dāng)已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，拋物線(xiàn)一側(cè)的點(diǎn)到已知直線(xiàn)的距離有最大值。

本文結(jié)合作者日常教學(xué)，探討了二次函數(shù)中與判別式有關(guān)的四類(lèi)問(wèn)題，二次函數(shù)中與判別式有關(guān)的問(wèn)題還有很多，本文作為拋磚引玉，期待同行有更多的發(fā)現(xiàn)。