關(guān)于大數(shù)定律的教學(xué)思考

摘要：大數(shù)定律揭示了隨機(jī)變量頻率的穩(wěn)定性，是概率論的精華。由于本節(jié)內(nèi)容比較抽象，理論性較強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不容易理解，本文嘗試從生活實(shí)例出發(fā)，逐步介紹大數(shù)定律內(nèi)容，對(duì)大數(shù)定律本質(zhì)進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞：大數(shù)定律;隨機(jī)變量;頻率;穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：G642.4 ????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在大量重復(fù)性試驗(yàn)中，人們觀察到，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在一個(gè)具體數(shù)值附近。比如說，對(duì)于拋硬幣試驗(yàn)，如果向上拋一枚硬幣，硬幣落下后，可能是朝上，也可能是朝下，但是當(dāng)拋硬幣試驗(yàn)重復(fù)多次進(jìn)行時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)硬幣朝上和硬幣朝下發(fā)生的次數(shù)各占總次數(shù)的一半。大數(shù)定律從數(shù)學(xué)角度出發(fā)揭示了隨機(jī)變量頻率的穩(wěn)定性，具體研究了穩(wěn)定性的確切含義以及出現(xiàn)的條件。

1大數(shù)定律的起源

研究隨機(jī)變量頻率的穩(wěn)定性，類似于利用數(shù)學(xué)分析中極限的思想。在不改變?cè)囼?yàn)條件下，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無(wú)限增大時(shí)，討論頻率是否逐漸穩(wěn)定，由此得到概率的定義。

在重伯努利試驗(yàn)中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大，頻率趨近于一個(gè)穩(wěn)定數(shù)值，也就是概率，即，與有較大偏差的發(fā)生的可能性非常小，這就是頻率穩(wěn)定性的真正含義。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，就可以得到下述伯努利大數(shù)定律。

伯努利大數(shù)定律：設(shè)表示重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，為事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)任意的，有

（2）

成立。

證明：可以借助切比雪夫不等式進(jìn)行證明，詳見文獻(xiàn)[2]第六章。

伯努利大數(shù)定律是歷史是第一個(gè)研究頻率穩(wěn)定性的定理。在實(shí)際推斷中，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，我們可以借助伯努利大數(shù)定律用頻率來近似表示事件概率。

2弱大數(shù)定律

伯努利大數(shù)定律中隨機(jī)變量的期望和方差都存在，對(duì)于更一般的情形，比如對(duì)于獨(dú)立同分布的序列，只知道期望存在的條件下，仍然可以考慮頻率穩(wěn)定性問題，稱為弱大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）。

弱大數(shù)定律（辛欽大數(shù)定律）：設(shè)為一列隨機(jī)變量組成的序列，它們之間相互獨(dú)立的，且服從同一分布，若數(shù)學(xué)期望，存在，則對(duì)任意的，有

（3）

成立，其中表示前項(xiàng)的算術(shù)平均值。

證明：詳見文獻(xiàn)[2]第六章。

辛欽大數(shù)定律給出了近似求解隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的方法。實(shí)際生活中經(jīng)常用算術(shù)平均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值。如：用觀察到的某地區(qū)5000個(gè)人的平均壽命作為該地區(qū)的人均壽命的近似值。

3大數(shù)定律舉例

例：用儀器檢測(cè)已知物體的質(zhì)量，經(jīng)過次獨(dú)立測(cè)量，得到的測(cè)量數(shù)據(jù)分別為，假設(shè)儀器不存在誤差，問：當(dāng)充分大時(shí)，儀器測(cè)量方差的值是否可取為？

解： 設(shè)為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，具有數(shù)學(xué)期望與方差

，，

若儀器不存在誤差，則，即有. 記

，

則為獨(dú)立分布的隨機(jī)變量，且

，

由辛欽大數(shù)定律定律，可得

從而當(dāng)充分大時(shí)，可以取作為儀器測(cè)量的方差。

4結(jié)語(yǔ)

大數(shù)定律揭示了隨機(jī)事件中偶然現(xiàn)象背后所隱藏的必然規(guī)律，是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中非常重要的內(nèi)容。除了伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律之外，還有泊松大數(shù)定律、切比雪夫大數(shù)定律以及馬爾可夫大數(shù)定律。通過學(xué)習(xí)大數(shù)定律，掌握其本質(zhì)思想，有助于解決一些實(shí)際問題。

作者簡(jiǎn)介：郭閃閃（1991.05—）女，漢族，河南周口人，重慶師范大學(xué)講師，博士，研究方向：偏微分方程。

參考文獻(xiàn)

[1]劉倩.大數(shù)定律的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].高師理科學(xué)刊，2015（35）.

[2]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（第4版）[M].高等教育出版社，2008.

[3]李賢平.概率論基礎(chǔ)（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[4]邱志平.大數(shù)定律教學(xué)設(shè)計(jì)探究[J].高等教育教學(xué)，2016.