研究生專業(yè)基礎(chǔ)課“矩陣計算”的教學(xué)體會與思考

李姣芬 李郴良 周學(xué)林

[摘 要] “矩陣計算”既有數(shù)學(xué)各專業(yè)課程中理論上的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，又有解決實際問題的實用性和實驗性的技術(shù)特征方法。通過學(xué)習(xí)該課程，培養(yǎng)研究生借助計算機解決科學(xué)與工程計算領(lǐng)域中出現(xiàn)的數(shù)值計算問題能力，使研究生能夠比較熟練掌握課程中要求的各種常用算法的原理和構(gòu)造方法，對培養(yǎng)研究生的邏輯思維能力和解決實際問題的能力具有不可替代的作用。

[關(guān)鍵詞] 矩陣計算;實用算法;研究生專業(yè)基礎(chǔ)課

[基金項目] 2020年院級研究生課程建設(shè)項目“‘矩陣計算課程改革”（2020YJSKCJS04）;2018年校級學(xué)位與研究生教育改革項目“研究生數(shù)學(xué)課程的探究式教學(xué)方法研究——以‘偏微分方程數(shù)值解為例”（2018XWYJ25）;2018年校級教學(xué)改革項目“基于‘六面一體校企協(xié)同育人的動態(tài)實踐教學(xué)模式研究與實踐”（JGB201849）

[作者簡介] 李姣芬（1984—），男，湖南湘潭人，理學(xué)博士，碩士研究生導(dǎo)師，桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院教授（通信作者），主要從事數(shù)值代數(shù)研究;李郴良（1969—），男，湖南邵陽人，理學(xué)博士，博士研究生導(dǎo)師，桂林電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與計算科學(xué)學(xué)院科研副院長，教授，主要從事偏微分方程數(shù)值解研究;周學(xué)林（1987—），女，廣西玉林人，碩士，桂林電子科技大學(xué)國際學(xué)院助理研究員，主要從事高校實踐教學(xué)管理模式創(chuàng)新研究。

[中圖分類號] G420? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）40-0286-03? ? [收稿日期] 2020-04-13

一、引言

眾所周知，大部分科學(xué)與工程計算問題的解決最終都要歸結(jié)為一個矩陣計算問題，其中最具挑戰(zhàn)性的問題是如何高效地進(jìn)行大規(guī)模矩陣計算問題。矩陣計算這門課程的主要任務(wù)是如何針對各類科學(xué)與工程問題所歸納出的三大基本問題：線性方程組的求解問題、線性最小二乘問題和矩陣特征值問題，設(shè)計出相應(yīng)的快速、可靠、簡便的算法。該課程最大的特點在于理論與實踐的完美結(jié)合，它既包含嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理論，又具有很強的應(yīng)用背景。在信息科學(xué)和計算機技術(shù)飛速發(fā)展的今天，矩陣計算這門學(xué)科不僅是計算數(shù)學(xué)專業(yè)的一個重要研究分支，而且早已成為現(xiàn)代各科技領(lǐng)域處理大量有限維空間形式與數(shù)量關(guān)系的強有力工具。因此，對于這門課程的深度學(xué)習(xí)和應(yīng)用顯得極其重要。圍繞該課程開展教學(xué)改革，改善傳統(tǒng)的課程教學(xué)模式，將研究生自主學(xué)習(xí)和課堂討論，專業(yè)方向?qū)ｎ}介紹與討論等多種教學(xué)模式引入課堂等，拓展學(xué)生科研視野，培育學(xué)生創(chuàng)新能力，讓學(xué)生盡早進(jìn)入科研角色等也都是十分必要的。

二、課程教學(xué)的體會與思考

就我們學(xué)院而言，矩陣計算課程的講授對象為學(xué)院每年研究生招收計劃中計算數(shù)學(xué)專業(yè)的研究生，每年約10～15名。受招收研究生數(shù)值分析基礎(chǔ)普遍較差的限制，我們采用的主講教材為北京大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)系列叢書《數(shù)值線性代數(shù)》（第二版，北京大學(xué)出版社）[1]，并以中國科學(xué)院研究生教學(xué)叢書矩陣計算（科學(xué)出版社）[2]為輔，講授課時為48課時。下面結(jié)合筆者多年教學(xué)經(jīng)驗，從強化研究生專業(yè)基礎(chǔ)和培養(yǎng)研究生科研創(chuàng)新能力的角度出發(fā)，談幾點課程教學(xué)中的教會體會和思考[3-5]。

（一）經(jīng)典算法講解透徹，先理解算法框架后完善細(xì)節(jié)推導(dǎo)

在教學(xué)過程中我們發(fā)現(xiàn)，對經(jīng)典算法的講解，若只重視教授理論及計算技巧，課時限制使得課堂變得枯燥無味，也會降低學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性?？梢韵葟乃惴蚣苋胧?，先講解透徹算法框架再完善算法具體細(xì)節(jié)推導(dǎo)，這樣既可以節(jié)省講授課時，也讓學(xué)生更容易接受。例如在介紹最速下降法和共軛梯度法時，因為其迭代思想跟古典迭代法完全不同，這時可以從優(yōu)化角度入手，結(jié)合盲人下山的簡單示意圖，講解如何獲得更新迭代步和搜索方向。在理解算法框架后，再詳細(xì)推導(dǎo)算法中各參數(shù)的選取，如步長參數(shù)、搜索方向參數(shù)等。在講解特征值問題的帶位移的QR算法及雙重步位移QR算法時，因該類算法逐個產(chǎn)生近似特征值的加速迭代與之前整體近似迭代思想有所不同，且需要用到的基本知識點和算法工具較多，這時理解位移的加速思想和算法的迭代框架顯得尤為重要。理解其迭代框架后，再逐步推導(dǎo)有效位移的選取。又如在講解共軛梯度法和Krylov子空間方法[6]的聯(lián)系以及后續(xù)進(jìn)一步講解Krylov子空間具體方法時，先講解Krylov子空間方法的分類：正交投影方法，正交化方法，雙正交化方法以及法方程組方法等，以及算法的迭代標(biāo)準(zhǔn)（殘量正交或殘量極?。┖偷鷻C制，不同的迭代機制可以得到不同的Krylov子空間方法。在此框架下再細(xì)節(jié)推導(dǎo)具體迭代格式。這樣可以讓學(xué)生很清晰地看到各類Krylov子空間方法的差異與聯(lián)系。

（二）引入學(xué)科前沿，拓寬學(xué)生視野

在教學(xué)中，我們可以適當(dāng)介紹計算數(shù)學(xué)學(xué)科的前沿知識和發(fā)展趨勢，同時引入國內(nèi)外的最新研究成果和學(xué)術(shù)報告，這樣不但可以讓學(xué)生學(xué)到的知識具有學(xué)術(shù)前瞻性，而且還可以幫助他們開闊思維和拓寬視野。比如，在講授線性代數(shù)方程組的三角分解算法中的Doolittle算法和Crout算法時，可涉及大規(guī)模稀疏帶狀方程組的求解;而在講授Cholesky算法時，可涉及有限元方法、邊界元方法和無網(wǎng)格方法等當(dāng)前偏微分方程的主流數(shù)值解法;在講授線性方程組的迭代解法時，可以引入求解稀疏線性方程組最流行和最有效的方法——Krylov子空間方法的最新研究進(jìn)展。另外，筆者多年從事線性和非線性矩陣方程求解理論及算法實現(xiàn)等研究，在講授線性方程組求解時，可以引入矩陣方程相關(guān)問題的最新研究熱點和最新算法;張量計算是目前計算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點，在講授最小二乘問題理論及算法時，可以引入張量計算處理最佳逼近和最小二乘問題時的經(jīng)典算法等。

（三）結(jié)合教師科研項目，將單向的理論講授與課堂討論相結(jié)合

在講授概念、定理及經(jīng)典算法的教學(xué)中，適當(dāng)?shù)匾虢處煹目蒲许椖浚呀虒W(xué)內(nèi)容與鮮活的實際科研問題相結(jié)合，設(shè)計出符合學(xué)生特點，且易于被學(xué)生接受的案例，從而激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí)。例如教材中最速下降法和共軛梯度法章節(jié)內(nèi)容是從極小化無約束二次泛函的角度出發(fā)，進(jìn)而從優(yōu)化算法的角度推導(dǎo)出具體迭代格式。結(jié)合筆者近年主持的基金項目，可以在課堂上討論如何極小化含簡單約束條件的二次泛函，如何使得更新迭代步滿足可行約束條件，進(jìn)而如何將最速下降法和共軛梯度法應(yīng)用于求解帶約束條件的二次泛函極小化問題，并推廣到其他含約束條件的矩陣跡函數(shù)極小化問題;在講解線性最小二乘問題時，可以推廣到矩陣最小二乘問題及最佳逼近問題，以及張量計算中的最佳逼近問題等。

（四）在教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\用多媒體課件

多媒體教學(xué)已經(jīng)成為各種數(shù)學(xué)課程的重要教學(xué)手段。同樣在矩陣計算的教學(xué)過程中，合理地使用現(xiàn)代教學(xué)手段和工具，對每個算法的具體實現(xiàn)以及近似求解過程可以進(jìn)行現(xiàn)場演示，圖文并茂，直觀地看到數(shù)值結(jié)果，從而可以更好地發(fā)現(xiàn)算法的優(yōu)缺點，使得教學(xué)內(nèi)容更加豐富、生動鮮明。例如在講授最速下降法時，通過多媒體演示可以讓學(xué)生明確地看到什么是最速下降方向，當(dāng)增大條件數(shù)時，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)最速下降法的缺點：迭代解呈鋸齒狀逼近精確解，此時收斂速度極慢。在講授古典迭代法和對稱正定線性方程組的共軛梯度法時，算法的具體實現(xiàn)可以采用Matlab軟件進(jìn)行編程，數(shù)值列表顯示每步近似解的解分量，多媒體演示剩余范數(shù)或解相對誤差隨迭代步的變化曲線圖。對于較大規(guī)模的線性方程組，數(shù)值比較或驗證預(yù)處理數(shù)值效果時，可以演示不同算法的收斂曲線圖，很直觀地展示數(shù)值比較結(jié)果和不同預(yù)處理因子的加速效果。在講解帶位移的QR算法時，利用Matlab軟件作出幾種算法的收斂曲線進(jìn)行對比分析，驗證帶Rayleigh商位移的QR算法與帶Wilkison位移的QR算法同原算法相比，收斂速度是否有所改善。

（五）圍繞教師科研項目布置作業(yè)、引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究，并考核學(xué)生的科研能力

圍繞指導(dǎo)老師的科研項目對學(xué)生的學(xué)術(shù)研究能力進(jìn)行培養(yǎng)和考核，可使學(xué)生通過選題、制定研究計劃、進(jìn)行試驗、撰寫試驗報告和研究報告、進(jìn)行課堂研討與成果展示等環(huán)節(jié)，在主講教師的引導(dǎo)下，完整地經(jīng)歷一次針對某一問題的研究過程。這一過程不僅可以深化專業(yè)知識，更重要的是有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，使學(xué)生能夠主動思考，形成對問題的洞察力和判斷力，啟發(fā)原創(chuàng)性思維，為學(xué)生今后創(chuàng)造和創(chuàng)新提供良好的基礎(chǔ)。

（六）與后續(xù)選修課程—新型算法專題—充分銜接，拓展知識面，強化基礎(chǔ)

目前我院矩陣計算的后續(xù)課程為研究生二年級第一學(xué)期開設(shè)的專業(yè)選修課——“新型算法專題”，該選修課主要介紹計算數(shù)學(xué)各方向的最新算法，以及學(xué)科前言、研究熱點等。經(jīng)過矩陣計算課程儲備，學(xué)生已掌握數(shù)值計算中的若干經(jīng)典算法。但顯然教材中的經(jīng)典算法并不能滿足日后科研的需求，這時可以通過選修課程引入學(xué)科前言中的最新算法來拓展知識面，進(jìn)一步強化基礎(chǔ)。根據(jù)研究生確定的科研課題，計算數(shù)學(xué)團(tuán)隊各導(dǎo)師準(zhǔn)備2～3個科研報告介紹自己領(lǐng)域最新的算法專題。例如，介紹經(jīng)典算法的拓展、變形、加速或在實際問題中的具體應(yīng)用，如結(jié)合優(yōu)化技術(shù)，以最速下降法和共軛梯度法為基礎(chǔ)，介紹非單調(diào)線搜索的梯度投影算法、譜投影梯度法以及PRP共軛梯度法等，或應(yīng)用于流形計算中的黎曼曲線搜索法、黎曼共軛梯度法等;又如為更深化地更系統(tǒng)地學(xué)習(xí)求解稀疏線性方程組的Krylov子空間方法，結(jié)合多媒體，以專題PPT形式詳細(xì)介紹若干具體krylov子空間方法，如FOM，GMRES，BiCG，CGS[6]等，包括方法背景，原理以及方法的計算過程等;也可以專題形式介紹數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域當(dāng)前研究熱點，如張量方程組求解以及張量計算中的若干經(jīng)典算法等。

（七）強化課程思政

在課堂中，簡單介紹與知識點相關(guān)的數(shù)學(xué)史，不僅可以激發(fā)學(xué)生強烈的愛國情感和民族自豪感，而且也能激勵學(xué)生學(xué)習(xí)的進(jìn)取精神。矩陣計算的經(jīng)典算法中含有大量的理論推導(dǎo)，可以培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。矩陣計算內(nèi)容中蘊藏的有限與無限、特殊與一般、對立與統(tǒng)一等矛盾，可以培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想。

三、結(jié)語

目前針對數(shù)學(xué)專業(yè)的課程教學(xué)改革多集中于本科課程，對研究生專業(yè)基礎(chǔ)課程的改革關(guān)注較少。而研究生課程教學(xué)的改革意在培養(yǎng)研究能力和創(chuàng)新思維，拓寬學(xué)生的研究視野，為未來從事科研工作奠定堅實的基礎(chǔ)。因此，提高研究生課程教學(xué)的質(zhì)量將對我國培養(yǎng)高素質(zhì)的創(chuàng)新型研究人才起著至關(guān)重要的作用。研究生課程教學(xué)改革是一個長期的、系統(tǒng)的過程，要求任課主講教師努力探索，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合碩士生導(dǎo)師的科研方向自主學(xué)習(xí)，真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生科研創(chuàng)新能力的目的。

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