基于Mathematica 的光的干涉實(shí)驗(yàn)的仿真模擬

陳學(xué)文，張家偉，姚 雪，時(shí) 澄，吳思韻

（重慶科技學(xué)院 數(shù)理與大數(shù)據(jù)學(xué)院，重慶 401331）

光學(xué)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)普通物理實(shí)驗(yàn)課程中的一個(gè)重要板塊，理解光學(xué)中的科學(xué)奧秘對(duì)當(dāng)代大學(xué)生認(rèn)識(shí)世界具有重要引導(dǎo)作用。光學(xué)實(shí)驗(yàn)中涉及到光的干涉的典型實(shí)驗(yàn)有“邁克爾遜干涉儀的調(diào)整與使用”“牛頓環(huán)”和“用雙棱鏡測鈉黃光的波長”等。此類實(shí)驗(yàn)理論知識(shí)抽象、調(diào)試難度大、操作時(shí)間長、測量精度要求高，學(xué)生很難在有限的學(xué)時(shí)內(nèi)通過改變參數(shù)全面觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，容易造成學(xué)生的片面認(rèn)識(shí)和錯(cuò)誤判斷，不利于對(duì)知識(shí)的掌握[1]。

將計(jì)算機(jī)仿真模擬應(yīng)用到大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程，對(duì)教學(xué)效果的提高具有積極作用。仿真模擬演示可以利用圖像、動(dòng)畫等方式，與知識(shí)講授同步進(jìn)行，有利于學(xué)生建立起清晰直觀的物理概念，更好地理解、鞏固所學(xué)知識(shí)[1-2]。計(jì)算機(jī)仿真模擬可以不受儀器、場地限制，而使實(shí)驗(yàn)效果形象、直觀，同時(shí)還可方便地改變實(shí)驗(yàn)參數(shù)，計(jì)算分析觀察對(duì)象的相應(yīng)變化，從而得到不同實(shí)驗(yàn)條件下的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，用來分析不同因素對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響，并驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)設(shè)想。這種教學(xué)方式有助于解決教師講解困難、學(xué)生理解吃力問題，有助于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索能力、實(shí)驗(yàn)操作能力和科學(xué)研究興趣[3]。

在計(jì)算機(jī)仿真模擬中，Mathematica 和Matlab 是兩個(gè)常見的軟件，在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中也常用 Maple、LabVIEW 等軟件進(jìn)行仿真模擬[4-7]。Matlab 主要應(yīng)用于工程計(jì)算、控制設(shè)計(jì)、信號(hào)處理與通信、圖像處理、信號(hào)檢測、金融建模設(shè)計(jì)等方面。Mathematica 擁有強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算和圖像處理功能，具有較好的圖形界面，可以用各種圖形、動(dòng)畫方式輸出計(jì)算結(jié)果，實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)的可視化。此外，Mathematica 對(duì)公式的輸入十分方便、直觀，對(duì)文本格式要求低，且仿真模擬結(jié)果以 cdf 格式文件輸出，可在各種安卓、iOS系統(tǒng)移動(dòng)設(shè)備上運(yùn)行，大大增加了便利性。

本文首先從理論上簡要推導(dǎo)干涉條紋的光強(qiáng)分布公式，進(jìn)而基于Mathematica 軟件動(dòng)態(tài)模擬干涉條紋，最后針對(duì)實(shí)驗(yàn)中兩反射鏡不嚴(yán)格垂直的實(shí)際情況，討論此情況下的光強(qiáng)分布，并進(jìn)行相應(yīng)的Mathematica 模擬。

1 邁克爾遜干涉儀光強(qiáng)分布理論推導(dǎo)

邁克爾遜干涉儀廣泛應(yīng)用于長度精密計(jì)量、光學(xué)平面檢驗(yàn)及高分辨率光譜分析等?！斑~克爾遜干涉儀的調(diào)整與使用”是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中十分重要的實(shí)驗(yàn)，既可以使學(xué)生直觀認(rèn)識(shí)光的干涉現(xiàn)象，又能對(duì)氦氖激光的波長進(jìn)行精確測量。但是由于其理論的復(fù)雜性和知識(shí)的抽象性，學(xué)生往往在做完該實(shí)驗(yàn)后，只是初步學(xué)會(huì)了邁克爾遜干涉儀的調(diào)整及利用邁克爾遜干涉儀測量激光波長和圓心處（最高干涉級(jí)）條紋明暗條件的方法，而對(duì)其他條紋的明暗條件不甚了解，甚至不能很好地理解條紋偏離同心圓環(huán)的原因。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生較難調(diào)出滿足實(shí)驗(yàn)測量要求的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，調(diào)出的往往是橢圓形干涉條紋或彎曲的線型條紋等。如果能通過仿真模擬將抽象的光學(xué)理論形象生動(dòng)地展示出來，將對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解大有裨益。

針對(duì)“邁克爾遜干涉儀的調(diào)整與使用”實(shí)驗(yàn)，文獻(xiàn)[8—9]基于Matlab 對(duì)該實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了仿真。如前所述，本文將首先從理論上推導(dǎo)干涉條紋的光強(qiáng)分布公式，再基于 Mathematica 軟件仿真模擬干涉條紋，并研究實(shí)驗(yàn)中兩反射鏡不嚴(yán)格垂直實(shí)際情況下的光強(qiáng)分布，并做Mathematica 仿真模擬。

邁克爾遜干涉儀示意圖如圖1 所示，加上擴(kuò)束鏡后，等效光路圖如圖2 所示。需要說明的是，在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中擴(kuò)散光源的張角很小，因此圖2 中的夾角i很小。圖2 所示屬于等傾干涉，干涉條紋定域于無窮遠(yuǎn)。當(dāng)實(shí)驗(yàn)者觀察等傾干涉條紋時(shí)，眼睛相當(dāng)于一個(gè)凸透鏡，并在視網(wǎng)膜成像。

圖1 邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)示意圖

圖2 等傾干涉光路示意圖

入射光經(jīng)固定反射鏡M1和移動(dòng)反射鏡M2反射后到達(dá)光屏的光強(qiáng)為λ為波長，相應(yīng)的相位差為：

（3）式表明，兩相鄰的明條紋間距Δr是級(jí)次k的單調(diào)遞增函數(shù)，可以看出級(jí)次k越大，間距Δr越大，級(jí)次k越小，間距Δr越小，由于里環(huán)干涉條紋級(jí)次k大，外環(huán)干涉條紋級(jí)次k小，因此，整體干涉條紋為里環(huán)稀疏，外環(huán)密集的明暗相間的同心圓環(huán)。

在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，受各種因素的影響，兩反射鏡M1、M2不會(huì)嚴(yán)格垂直，從而導(dǎo)致M2的虛像M2′ 與M1不嚴(yán)格平行，存在一個(gè)很小的夾角θ，如圖3 所示。在實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，由于夾角θ很小，因而可認(rèn)為兩條反射相干光線是平行的。

圖3 M2 的虛像 M′2 與M1 不平行時(shí)的光路示意圖

圖3 中M2′ 向哪個(gè)方向傾斜是隨機(jī)的，本文將針對(duì)沿x方向（圖中水平向右）的傾斜進(jìn)行討論，沿其他方向傾斜的結(jié)果類似。在此情況下，兩光束的光程差為：

光強(qiáng)I可表示為：

當(dāng)θ=0 時(shí)，上式又回到理想情況下的式（3）。

2 干涉條紋的Mathematica 仿真模擬

在Mathematica 中有一個(gè)簡單的命令Manipulate，使用這個(gè)命令就可以創(chuàng)造出各種豐富的交互式應(yīng)用。計(jì)算Manipulate 之后輸出的是一個(gè)人機(jī)互動(dòng)的對(duì)象，這個(gè)輸出不是一個(gè)靜止結(jié)果，而是一個(gè)能交互的運(yùn)行程序，它包含一個(gè)或多個(gè)控件（滑塊等），使用這些控件能改變一個(gè)或多個(gè)參數(shù)的數(shù)值。它基本的輸入命令是Manipulate[expr,{{u,uint},umin,umax}]，將命令輸入后，便會(huì)產(chǎn)生一個(gè)帶有控件的expr 的版本，該控件允許u值交互式操作。再利用軟件中DensityPlot 函數(shù)便可以方便地畫出干涉條紋，其中ColorFunction 函數(shù)中的Hue 顏色函數(shù)還可以使光波長和顏色相匹配，使仿真模擬過程更加生動(dòng)形象。

利用 Mathematica 的交互功能，便可仿真模擬邁克爾遜干涉儀所產(chǎn)生的干涉條紋。結(jié)合光強(qiáng)分布式（6），在Mathematica 中輸入如下語句：

便得到如圖 4 所示的仿真動(dòng)態(tài)演示圖形。語句中的DensityPlot[f, {x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}, …]命令用來繪制關(guān)于x和y的函數(shù)f的密度圖形，畫出干涉條紋，括號(hào)里除公式外，其他命令 PlotPoints、PlotRange、ColorFunction 等的順序可隨意調(diào)換，對(duì)格式要求低。通過控件（滑塊）可以調(diào)節(jié)空氣膜厚度d、波長λ、焦距f、夾角θ等參數(shù)以觀察不同情況下的圖形，相應(yīng)的交互式動(dòng)態(tài)圖形會(huì)同步顯示出來。

圖4 邁克爾遜干涉儀的Mathematica 仿真模擬

在本文的模擬中，波長取氦-氖激光波長λ=632.8 nm，顯示出紅色干涉條紋；若取λ=589.3 nm（納黃光），則顯示出黃色干涉條紋。用Mathematica 軟件仿真模擬出來的圖形與實(shí)驗(yàn)中實(shí)際觀察到的圖形（見圖5）很類似。

圖5 邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)觀測條紋

偏離同心圓的干涉條紋是實(shí)際操作過程中常會(huì)遇到的情況，原因是反射鏡 M1、M2不嚴(yán)格垂直，從而導(dǎo)致反射鏡M2的像M2′ 與M1存在一個(gè)小的夾角。從圖4 和圖5 可以看出，Mathematica 模擬仿真動(dòng)態(tài)圖形與實(shí)驗(yàn)觀測到的條紋符合很好。利用 Mathematica 軟件，可以把光學(xué)實(shí)驗(yàn)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象通過光學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)M仿真更直觀地展現(xiàn)出來。

3 牛頓環(huán)干涉條紋的Mathematica 仿真模擬

牛頓環(huán)屬于等厚干涉，是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中必修的一個(gè)光學(xué)實(shí)驗(yàn)。牛頓環(huán)在科研和生產(chǎn)實(shí)踐中具有重要作用，如測量平凸透鏡中曲面的曲率半徑，檢查光學(xué)球面的加工質(zhì)量等。文獻(xiàn)[6—7]、[11—12]分別基于LabVIEW 和Matlab 進(jìn)行了仿真模擬。在實(shí)際裝置中，由于平凸透鏡與平板玻璃接觸時(shí)，接觸處由于壓力產(chǎn)生形變，致使接觸的不可能是一個(gè)點(diǎn)，再加上玻璃上可能有灰塵存在，必然引起附加的光程差?？紤]附加光程差后，牛頓環(huán)光強(qiáng)分布為[12]：

基于光強(qiáng)分布式（7），在Mathematica 中輸入如下語句：

便得到如圖6 所示的動(dòng)態(tài)演示圖形。

圖6 牛頓環(huán)干涉條紋的Mathmatica 仿真模擬圖像

圖7 牛頓環(huán)實(shí)驗(yàn)觀測條紋

圖6 中曲率半徑R、波長λ和附加光程差e三個(gè)參數(shù)均可通過控件中的按鈕調(diào)節(jié)，從而觀察不同條件下的牛頓環(huán)干涉條紋。圖7 是學(xué)生實(shí)驗(yàn)測量過程中觀測到的條紋。從圖6 和圖7 可以看出，Mathematica 模擬仿真動(dòng)態(tài)圖形與實(shí)驗(yàn)觀測到的條紋符合很好。

4 雙棱鏡測鈉黃光波長實(shí)驗(yàn)干涉條紋的Mathematica 仿真模擬

“雙棱鏡測鈉黃光波長實(shí)驗(yàn)”屬于雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)原理簡單，但對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的要求非常高。在實(shí)際操作過程中，學(xué)生很難在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成實(shí)驗(yàn)，難以達(dá)到預(yù)期實(shí)驗(yàn)效果。目前已有很多學(xué)者從不同角度針對(duì)該實(shí)驗(yàn)做了大量理論研究，文獻(xiàn)[13—15]探討了用計(jì)算機(jī)仿真模擬雙縫干涉實(shí)驗(yàn)問題。

在Mathematica 中同樣可以通過Manipulate 命令輸入相應(yīng)的語句，得到如圖8 所示的仿真動(dòng)態(tài)演示圖形。該實(shí)驗(yàn)原理是雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，在實(shí)際中雙縫間距約為1～2 mm，而在實(shí)際調(diào)節(jié)過程中，狹縫寬度約為0.2 mm，由于存在單縫衍射效應(yīng)[16]，雙縫干涉的光強(qiáng)分布為：

在 Mathmatica 中，由于考慮了此單縫衍射效應(yīng)，因此出現(xiàn)圖8 所示的光強(qiáng)減弱過程，但在實(shí)際觀察中此現(xiàn)象不是很明顯。

圖8 中的各參數(shù)，如狹縫距離X，狹縫寬度b，狹縫到光屏的距離d等，均可手動(dòng)調(diào)節(jié)，或者通過點(diǎn)擊圖中的?按鈕使其自動(dòng)變化，從而顯示相應(yīng)的動(dòng)態(tài)圖像。

圖8 “雙棱鏡測納黃光波長實(shí)驗(yàn)”干涉條紋的Mathmatica 模擬圖像

5 結(jié)語

針對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中三個(gè)典型的光的干涉實(shí)驗(yàn)，本文首先從理論上給出了光強(qiáng)分布公式，進(jìn)而通過Mathematica 軟件仿真模擬，直觀地把實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象隨實(shí)驗(yàn)參數(shù)變化的動(dòng)態(tài)過程展現(xiàn)出來。仿真模擬程序的輸出可以是cdf 格式，可直接在安裝Wolfram Player 等APP的移動(dòng)設(shè)備上進(jìn)行操作和觀察。Mathematica 軟件的優(yōu)勢在于可以不受實(shí)驗(yàn)儀器和實(shí)驗(yàn)條件的限制，而且可以利用生成的模擬平臺(tái)直接得到直觀生動(dòng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，避免調(diào)節(jié)設(shè)備、無法看到實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象、繁瑣的實(shí)際操作步驟等問題的困擾。通過 Mathematica 軟件仿真模擬，能夠使學(xué)生由動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象入手，理解該實(shí)驗(yàn)所涉及的物理原理，從而更快地學(xué)會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)的調(diào)節(jié)和對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的判斷。此外，Mathematica 軟件還可以仿真模擬牛頓環(huán)、光柵衍射、用雙棱鏡測量納黃光波長等光學(xué)實(shí)驗(yàn)，以及其他力學(xué)和電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)等。因此，筆者認(rèn)為 Mathematica 軟件應(yīng)該走進(jìn)大學(xué)物理課堂的更多實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生從物理課本的平面知識(shí)中走出來，去感知更加立體的仿真模擬，從而使學(xué)生加深對(duì)物理原理的理解，提高科學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。