變色的蜥蜴

談祥柏

走南闖北，我發(fā)現(xiàn)中國(guó)的風(fēng)景名勝區(qū)以“龍”命名的還真不少：大龍湫瀑布是浙江雁蕩山的看家景點(diǎn)，杭州有黃龍洞，昆明有黑龍?zhí)丁粍倜杜e.

龍常和皇權(quán)聯(lián)系在一起. 有本筆記小說(shuō)里提到宋朝（公元960年至1279年，共歷時(shí)319年，是唐、宋、元、明、清5個(gè)朝代中統(tǒng)治年代最長(zhǎng)的）始建都東京（今河南開(kāi)封），當(dāng)時(shí)繁華的程度，簡(jiǎn)直是世界第一，“國(guó)寶”級(jí)文物《清明上河圖》就是描寫(xiě)其市井實(shí)景的. 據(jù)說(shuō)，金兵南下，東京失守的前幾年，朝廷里一位大臣曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)預(yù)兆性的惡夢(mèng)，夢(mèng)見(jiàn)玉皇大帝的靈霄寶殿外大樹(shù)底下，有三個(gè)峨冠博帶、氣宇軒昂的人在下棋. 先由穿紅衣者和穿黑衣者對(duì)局，前者大敗，垂頭喪氣，后者洋洋得意. 接著，黑衣人又同黃衣人對(duì)弈，不一會(huì)兒就被屠掉一條大龍，輸?shù)脩K不忍睹，推枰而起，連呼“慚愧”.后來(lái)有人解釋道，穿紅衣的王者是宋太祖趙匡胤，穿黑衣的梟雄乃是金太祖完顏阿骨打，而最后那位身穿黃衣的豪強(qiáng)卻是起自大漠的元太祖鐵木真（成吉思汗），他建立了一個(gè)橫跨歐亞大陸、曠古未有的龐大帝國(guó).

鑒于梁龍、雷龍、霸王龍等早已在地球上絕跡，現(xiàn)在不妨改用同屬于爬行動(dòng)物的蜥蜴代替它們，做一個(gè)數(shù)學(xué)推理.假設(shè)現(xiàn)有2 006條蜥蜴，其中紅的7條，黃的410條，藍(lán)的1 589條.每種顏色的蜥蜴與另一種顏色的蜥蜴狹路相逢時(shí)，就會(huì)展開(kāi)一場(chǎng)你死我活的惡斗，結(jié)果兩敗俱傷，都變成了第三種顏色的蜥蜴.真像成語(yǔ)里頭所說(shuō)的“鷸蚌相爭(zhēng)，漁翁得利”.

現(xiàn)在，讓我們提一個(gè)有趣的問(wèn)題：在無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間里，它們最終會(huì)不會(huì)變成清一色的某種蜥蜴？

也許，前面所講的下棋噩夢(mèng)會(huì)向你作出暗示：游戲的結(jié)局正是如此.但你能通過(guò)數(shù)學(xué)手段來(lái)說(shuō)明嗎？

我們可以通過(guò)一個(gè)三維數(shù)組（它是坐標(biāo)記號(hào)的一種推廣）來(lái)表示開(kāi)始時(shí)三種蜥蜴的數(shù)量：（7，410，1 589）.第一步先把黃的統(tǒng)統(tǒng)變掉，即410條黃蜥蜴同410條藍(lán)蜥蜴大軍相遇，惡斗了一場(chǎng)之后變成了820條紅蜥蜴，我們把這一過(guò)程記為：

（7，410，1 589）→（827，0，1 179）.

接著，可由393條紅色蜥蜴同393條藍(lán)蜥蜴交鋒，把它們變成786條黃蜥蜴，這一變換過(guò)程的結(jié)果是（434，786，786），于是，不難看出下一步結(jié)果必然是（2 006，0，0），所有的蜥蜴全部變成紅色的了.

本游戲的奧妙之處在于：最終結(jié)果不受操作順序的影響.例如我們可以另辟蹊徑，干脆反其道而行之，先把紅色的蜥蜴完全變掉，然后再使它“死灰復(fù)燃”.請(qǐng)看下列過(guò)程以省筆墨.

（7，410，1 589）→（0，403，1 603）→（806，0，1 200）→（406，800，800）→（2 006，0，0）.

還有其他形形色色的變化方法，簡(jiǎn)直太多了，同學(xué)們自己去試驗(yàn)吧！

最后，讓我來(lái)指出問(wèn)題的要害：無(wú)論哪一步，黃、藍(lán)兩種蜥蜴的數(shù)量被3去除時(shí)，余數(shù)是相同的；而紅色蜥蜴的數(shù)量在被3除時(shí)卻是另一個(gè)余數(shù).

同余變換與不變量是數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要的概念，你們將來(lái)一步步學(xué)上去，必然會(huì)頻繁地同它們打交道的.