隨機振動響應峰值因子的預計理論研究

張玉杰，黃超廣，段麗慧

（航空工業(yè)一飛院強度所，西安 710089）

在現(xiàn)代飛機結(jié)構設計中，需要合理地預估振動過程中可能的最大響應或應力，以便進行動載荷設計或動強度評估[1-2]。尤其對于具有不確定特性的隨機振動過程（常用功率譜密度GPSD和均方根GRMS表征）[3-4]，準確預計最大振動響應，則顯得更為重要。

對于隨機振動，通常采用GRMS的放大倍數(shù)（峰值因子）來預計響應峰值[5]。傳統(tǒng)方法采用3GRMS準則，即設定峰值因子為3。其數(shù)學內(nèi)涵為高斯隨機變量在（–3GRMS，3GRMS）區(qū)間外取值的概率（超越概率）為0.27%。由于涉及概率問題，3GRMS準則一直飽受爭議。Himelblau、Fackler、Lubrs 等[6-8]推薦使用3RMS 準則。麥道公司[9]采用4GRMS確定最大等效靜載。Scharton[10]設定峰值因子為 5。DiMaggio[11]和Ahlin[12]則提出了不同的峰值因子預計理論。

目前在飛機設計中，可供參考的一類預計隨機振動響應峰值的方法是根據(jù)指定的超越頻次或超越概率指標。例如， 對于連續(xù)突風載荷設計， FAAADS-53[13]推薦的超越頻次為2×10–5次/飛行小時。F-22 抖振強度設計[14]中給出的超越指標為全壽命周期內(nèi)超越概率為10–4。

下面簡要研究目前幾種實用的峰值因子預計理論，以便指導隨機振動下結(jié)構的動強度設計。

1 理論分析

1.1 超越概率理論

假設隨機振動過程滿足某種分布，常用分布包括高斯分布、瑞利分布和威布爾分布，根據(jù)分布的超越概率預計峰值因子。標準瑞利分布下幅值A大于λGRMS的超越概率表達式為：

因此，峰值因子λ與超越概率P之間的函數(shù)關系為：

表1 顯示了高斯分布和瑞利分布下，不同峰值因子對應的超越概率?？梢姡礁怕试叫?，峰值因子越大。相同超越概率下，瑞利分布對應的峰值因子大于高斯分布。

表1 峰值因子與超越概率Tab.1 Peak factor and exceeding probability

1.2 超越頻次理論

超越頻次是指單位時間（秒）內(nèi)超越某個幅值的次數(shù)，表達式為：

式中：N為時間段T內(nèi)的超越次數(shù)。

結(jié)合超越概率的含義，可得超越頻次與超越概率的關系：

式中：vp為單位時間內(nèi)幅值出現(xiàn)的平均次數(shù)。由隨機振動理論可知，vp可表示為振動響應GPSD譜矩的形式[15]：

將式（1）所示的瑞利分布超越概率代入式（4），可得：

設定時間段T內(nèi)的振動響應峰值的超越次數(shù)N=1，則式（6）變?yōu)椋?/p>

因此，峰值因子的表達式為：

由式（8）可知，對于同一組振動信號樣本，峰值因子λ隨信號作用時間T的增長而增大。

1.3 損傷等效理論

文獻[16]基于高斯分布和損傷等效原則，給出了峰值因子的表達式：

式中：b為材料疲勞S-N曲線的斜率，通常取4~12。

文獻[17]介紹了一種快速近似計算隨機疲勞壽命的方法，簡稱三段法。該方法同樣基于高斯分布假設：1 倍、2 倍、3 倍均方根振動應力水平（簡寫為1σ、2σ、3σ）在總循環(huán)次數(shù)N中的占比分別為68.3%、27.1%、4.33%。由此給出的峰值因子的表達式為：

比較式（9）和式（10）可知，文獻[16]將3σ的占比由4.33%誤寫為68.3%，顯然是不對的。

表2 顯示了不同b值下由式（10）計算得到的峰值因子?？梢?，λ隨b的增大而逐漸增大，但增幅較小，λ最大值小于3。從物理含義上講，式（10）所示的峰值因子是用來衡量整個振動過程的平均損傷，不適合表征振動響應峰值與RMS之比。

表2 不同b 下的峰值因子Tab.2 The peak factors under different b

1.4 GPSD 時域擬合理論

對振動響應GPSD進行數(shù)值變換模擬可以得到對應的時域樣本。目前常用的GPSD時域擬合方法[18-20]包括：三角級數(shù)法、白噪聲濾波法、二次濾波法、逆傅里葉變換法和蒙特卡洛法。提取時域樣本的絕對最大值Gmax和均方根GRMS，由式（11）計算峰值因子：

1.5 三角級數(shù)理論

文中基于三角級數(shù)提出一種預計峰值因子的方法。理論上任意振動信號均能寫成三角級數(shù)的形式：

式中：A為幅值；ω為圓頻率；φ為相位；n為總級數(shù)。

若認為信號頻率較為離散，耦合效應微弱，滿足工程常用的稀疏模態(tài)假設，則y(t)的最大值為各個正弦信號幅值之和：

y(t)的均方值為各個正弦信號均方值之和。因此，y(t)的均方根為：

保守起見，可取式（17）上限 2n預計峰值因子?？梢姡逯狄蜃应酥慌c信號中包含的峰值頻率個數(shù)n有關。特別地，對應單頻簡諧信號（n=1）， 2λ= ，即幅值與均方根之比為 2 ，符合實際。

2 案例分析

圖1 顯示了某型飛機在試飛過程中測得的加速度時間樣本，時間長度為16 s，采樣頻率為6144 Hz。圖2 顯示了不同樣本長度對應的GPSD，具體采用MATLAB 中的Pwelch 函數(shù)進行計算?？梢?，不同樣本長度下的GPSD曲線基本吻合，表明樣本屬于平穩(wěn)隨機過程。

圖1 振動加速度時間樣本Fig.1 Vibration acceleration time sample

圖2 不同樣本長度下的PSDFig.2 The PSD’s Under different sample length

以圖2 所示4 種不同長度樣本對應的GPSD作為輸入，研究超越頻次理論和PSD 擬合理論預計的峰值因子。這里采用逆傅里葉變換法對GPSD進行時域擬合。圖3 顯示了樣本長度8 s 對應的原始GPSD和時域擬合，可見，兩者吻合度較高。表3 對比了峰值因子的真實值（基于測試時域樣本）以及兩種理論的預計值?？梢姡贕PSD時域擬合理論預計的峰值因子似乎更接近真實值。需要注意的是，由于GPSD時域擬合計算中假設相位隨機，因此，每次擬合得到的時域信號不盡相同，導致峰值因子也存在差異。

圖3 原始PSD 與時域擬合后PSD 的對比Fig.3 Comparison between original PSD and fitted PSD

表3 峰值因子對比Tab.3 Comparison of peak factors

針對圖3 中8 s 樣本的GPSD，分別進行10、100、1000、10 000 次逆傅里葉變換，記錄每次的峰值因子，得到4 組峰值因子樣本。分析表明，每次擬合得到的時間歷程，其均方根值恒定，最大值不同。因此，峰值因子的差異主要由最大值引起。將每組的峰值因子λ按從小到大的順序排列，定義歸一化次數(shù)k為排序號i與總數(shù)n的比值（i≤n，n=10、100、1000、10 000），此時k在統(tǒng)計學上稱為累積概率，與前文中超越概率P之間的滿足關系：k=1–P。

λ隨k的變化曲線如圖4 所示，可見，λ隨著k的增加而增加，增幅逐漸增大。當k>0.9 之后，增幅急劇變大，λ最小值約為2.9，最大值約為5.3。4 組曲線基本重合，并且從變化特征上滿足某種指數(shù)分布。圖5 顯示了采用高斯分布對數(shù)據(jù)進行擬合的結(jié)果，可見，k隨λ的變化曲線滿足高斯分布。因此，采用GPSD時域擬合理論預計峰值因子本質(zhì)上仍屬于概率問題。

下面采用三角級數(shù)理論預計峰值因子。由圖2 可以看出，GPSD曲線中包含9 個較為明顯的離散峰。因此，根據(jù)式（17）計算得到λ=4.243，與4 組樣本峰值因子真實值的平均值4.092 的相對誤差為3.69%，從而驗證了所提方法的有效性。該方法的不足在于，缺乏離散峰個數(shù)的合理判據(jù)。后續(xù)將針對該問題展開進一步的研究。

圖4 峰值因子隨歸一化次數(shù)的變化曲線Fig.4 Variation curve of peak factor with normalization times

3 結(jié)論

簡要介紹了4 種峰值因子預計理論，并基于三角級數(shù)理論提出一種新的預計方法。結(jié)合試飛振動數(shù)據(jù)進行了類比分析，所得結(jié)論如下所述。

1）超越概率理論、超越頻次理論、損傷等效理論和PSD 時域擬合理論本質(zhì)上屬于統(tǒng)計學理論，峰值因子與概率分布密切相關。

2）基于GPSD時域擬合理論預計的峰值因子波動較大，根源在于擬合得到的時域最大值不同，峰值因子與歸一化次數(shù)（累積概率）滿足高斯分布。

3）所提三角級數(shù)理論能夠較好地預計峰值因子，但離散峰個數(shù)缺乏合理判據(jù)，需要開展后續(xù)研究。