基于survival signature和子集模擬的復(fù)雜系統(tǒng)可靠性靈敏度分析

吳建新，李禹雄，楊國(guó)棟，黃賢振

(1.鐵正檢測(cè)科技有限公司，濟(jì)南250014；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)110819；3.中車青島四方車輛研究所有限公司，青島266031)

工業(yè)系統(tǒng)的規(guī)模和復(fù)雜程度隨著科技的進(jìn)步不斷上升，對(duì)系統(tǒng)可靠性的要求也日益提高[1-3]?？煽啃造`敏度定義為系統(tǒng)的可靠度對(duì)分布均值或標(biāo)準(zhǔn)差的偏導(dǎo)數(shù)，能直觀地反映出系統(tǒng)中某元件的相關(guān)參數(shù)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)可靠性的影響程度，有助于認(rèn)清系統(tǒng)或機(jī)構(gòu)的薄弱點(diǎn)[4，5]。由于現(xiàn)實(shí)中的系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)復(fù)雜繁瑣，元件數(shù)量多，傳統(tǒng)的可靠性分析工具存在一定困難。Coolen團(tuán)隊(duì)在signature的基礎(chǔ)上，針對(duì)多種分布元件的復(fù)雜系統(tǒng)提出了survival signature的概念，省略了推導(dǎo)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)雜過(guò)程，大大提高可靠性分析的效率[6，7]。當(dāng)前主流可靠性靈敏度分析主要分為解析法和數(shù)字模擬，較為常用的如一次二階矩法[8]、蒙特卡羅法[9，10]等應(yīng)用在復(fù)雜系統(tǒng)中會(huì)受到一定的局限。一次二階矩法的計(jì)算效果會(huì)受到系統(tǒng)功能函數(shù)形式的限制，對(duì)于非線性程度較高的功能函數(shù)往往精確度不夠理想；傳統(tǒng)的蒙特卡羅法雖然能夠通過(guò)簡(jiǎn)易的編程獲得靈敏度，但卻需要生成大量的樣本才能達(dá)到所需的精度，計(jì)算效率低，在工程實(shí)際應(yīng)用中受限。Au等[11，12]提出的子集模擬法通過(guò)將小概率事件轉(zhuǎn)化為多個(gè)條件概率的連乘，有效地減少采樣次數(shù)，顯著提高蒙特卡羅仿真的效率。本文將結(jié)合survival signature和子集模擬法，提出一種針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的元件可靠性靈敏度分析方法，大大簡(jiǎn)化系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)的分析，顯著減少采樣次數(shù)，提高模擬速度。文中的數(shù)值算例驗(yàn)證了該方法的計(jì)算效率和精度。

1 基于survival signature的系統(tǒng)可靠性分析

已知一個(gè)系統(tǒng)中包含m 個(gè)元件，向量x ＝(x1，x2，…，xm) 表示系統(tǒng)中元件某一時(shí)刻的工作狀態(tài)，其中xi＝1或0分別代表第i個(gè)元件正常工作或失效。定義結(jié)構(gòu)函數(shù)φ x( ) 值為1或0分別代表系統(tǒng)正常或失效?，F(xiàn)假設(shè)某系統(tǒng)由K(K ≥2)種元件組成，mk為第k 種元件的總數(shù)。同種元件服從獨(dú)立同分布，且假設(shè)各個(gè)元件的失效是相互獨(dú)立的。定義向量x ＝(x1，x2，…，xK) 為系統(tǒng)所有元件的工作狀態(tài)，其中，xk＝代表第k 種元件的工作狀態(tài)。當(dāng)?shù)趉 種元件中有l(wèi)k個(gè)正常工作時(shí)(k＝1，2，…，K )，survival signature可寫作[6]

其中，S l k代表已知各類元件正常工作數(shù)為l1，l2，…，l K的所有可能的狀態(tài)向量集合Φ (l1，l2，…，l K)本質(zhì)是條件概率，代表系統(tǒng)中各類元件分別有l(wèi)1，l2，…，l K個(gè)保持正常工作狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)能夠正常工作的概率。因此，根據(jù)全概率公式，系統(tǒng)某一時(shí)刻的可靠度可表示為[6]

其中，P{C k(t)＝l k} 為t時(shí)刻下，第k種元件中有l(wèi) k個(gè)元件正常工作這一事件的概率。若在t時(shí)刻第k種元件的可靠度為R k(t)，得

2 子集模擬法

子集模擬法通過(guò)引入中間事件，將目標(biāo)小概率事件轉(zhuǎn)化為多概率乘積

子集模擬的原理如圖1所示，通過(guò)引入一系列臨界值確定每一層中間失效域F，通過(guò)對(duì)中間失效域的模擬最終確定目標(biāo)事件的失效概率。由于每一層的條件事件概率都遠(yuǎn)大于目標(biāo)事件概率，因此模擬每一層的條件概率時(shí)所需的樣本點(diǎn)數(shù)大大降低，從而顯著提高模擬效率。生成中間條件樣本時(shí)采用了Metropolis-Hastings算法[13]:選取特定的建議分布生成樣本的備選狀態(tài)并按照一定的概率接受或拒絕該狀態(tài)，之后按照是否落入失效域用備選狀態(tài)取代原狀態(tài)，生成服從平穩(wěn)的目標(biāo)分布的馬爾可夫鏈，得到所需樣本。

中間概率事件的個(gè)數(shù)和大小影響著子集模擬法的效率。中間概率較大、中間事件較多時(shí)，模擬總層數(shù)會(huì)隨之增加；反之，總模擬層數(shù)減少，但每層需要更多的樣本點(diǎn)進(jìn)行模擬[12]。實(shí)際操作中，通常將中間條件概率設(shè)定為0.1～0.3的固定值，根據(jù)中間概率值選擇合適的每層失效域的闕值和總模擬層數(shù)。

3 基于子集模擬和survival signature的可靠性靈敏度模擬

3.1 基于子集模擬求解各元件可靠度

為了分析系統(tǒng)的可靠度和各元件的可靠性靈敏度，首先需要得到各元件的可靠度。元件在投入使用的初期，其失效概率較小，因此采用子集模擬法對(duì)各元件失效率進(jìn)行分析來(lái)提高計(jì)算效率。通過(guò)子集模擬法模擬t時(shí)刻某一元件的可靠度流程如下:

(1)確定中間條件概率p0、最大模擬層數(shù)、功能函數(shù)g (T )＝T－t和失效事件F ＝{T:g (T ) ＜0} ；

(2)在第一層模擬中，生成N 個(gè)服從元件壽命分布的隨機(jī)樣本，按功能函數(shù)值升序排列。取前Np0個(gè)樣本落入失效域，并根據(jù)第Np0－1個(gè)樣本點(diǎn)確定第一層失效事件F1＝{T:g (T ) ＜b1} 的闕值b1；

(3)對(duì)第i層進(jìn)行模擬(i≥2)，以落入上一個(gè)失效域的Np0個(gè)樣本點(diǎn)為種子，根據(jù)M-H 算法，生成服從本層條件概率分布的樣本，使樣本總數(shù)再次達(dá)到N ；按功能函數(shù)值升序排列，取前Np0個(gè)樣本作為落入失效域的樣本，并根據(jù)第Np0－1個(gè)樣本點(diǎn)確定第i層失效事件Fi＝{T:g (T ) ＜bi} 的闕值bi；

(4)重復(fù)步驟(3)，直到第m 層時(shí)的闕值bm＜0，此時(shí)令bm＝0。 統(tǒng)計(jì)落入失效域的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)Nm，此時(shí)目標(biāo)事件的失效概率即為:

3.2 系統(tǒng)可靠度

模擬仿真過(guò)程中，服從同種壽命分布的一類元件在t 時(shí)刻的可靠度模擬值也不會(huì)完全相同，因此，不能直接使用式(3)求解P {Ckt( )＝lk}。 由于上文已通過(guò)子集模擬法求得元件在t 時(shí)刻的失效率Fi，從而可知元件可靠度Ri＝1－Fi，可采用排列組合的方法就可求得某一類元件中有若干元件正常工作的概率。舉例來(lái)說(shuō)，假設(shè)第k 種元件共5 個(gè)，k 種元件中有3 個(gè)正常剛工作的概率可以表示為:P {Ckt( )＝3}＝R1R2R3(1－R4) (1 －R5)＋…＋(1 －R1) (1－R2)R3R4R5，將結(jié)果帶入式(2)中即可得到系統(tǒng)在t時(shí)刻的可靠度。

3.3 元件可靠性靈敏度

元件的可靠性靈敏度定義為系統(tǒng)的可靠度對(duì)隨機(jī)參數(shù)均值或標(biāo)準(zhǔn)差的偏導(dǎo)數(shù)

其中，RS(t)和Ri(t) 分別代表在t時(shí)刻系統(tǒng)和第i個(gè)元件的可靠度；θi代表第i個(gè)元件的壽命分布參數(shù)，即分布均值μ 或標(biāo)準(zhǔn)差σ。 偏導(dǎo)數(shù)?RS(t)/?Ri(t) 表示第i個(gè)元件的Birnbaum 重要度(Birnbaum importance)[14]。根據(jù)全概率公式，系統(tǒng)在t時(shí)刻的可靠度可以寫作

其中，h (1i，R (t)) 和h (0i，R (t)) 分別為第i個(gè)元件正常工作和第i個(gè)元件完全失效條件下原系統(tǒng)的可靠度。對(duì)等式兩邊求偏導(dǎo)可得到重要度的計(jì)算公式

根據(jù)式(7)求解每一個(gè)元件的重要度時(shí)都需要計(jì)算一次h (1i，R (t)) 和h (0i，R (t)) ，較為繁瑣，為簡(jiǎn)化計(jì)算，可以將式(6)帶入式(7)中，得到元件重要度的另外一種表達(dá)方式

其中，RS(t)和Ri(t) 已經(jīng)求得，只需額外求出h (0i，R (t)) 就能得到第i 個(gè)元件的重要度。找到原系統(tǒng)第i個(gè)元件失效條件下的等效系統(tǒng)，求解該系統(tǒng)的可靠度即為h (0i，R (t)) 。 例如在圖2中，在包含5個(gè)元件的橋式系統(tǒng)中求解h (03，R (t)) ，只需將元件3視為斷路，將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為4元件的串并聯(lián)系統(tǒng)并求解該系統(tǒng)的可靠度即可。求解等效系統(tǒng)可靠度同樣可采用survival signature。根據(jù)前文可知，若系統(tǒng)由K 種元件組成(K ≥2)，mk為第k 種元件的總數(shù)，且假設(shè)所分析的元件i屬于第h 種元件，則

其中，Φ＇l(1，l2，…，lK) 代表元件i失效時(shí)的等價(jià)系統(tǒng)的survival signature。將上式帶入式(8)中即可得到元件重要度。偏導(dǎo)數(shù)表示第i個(gè)元件可靠度對(duì)分布均值或標(biāo)準(zhǔn)差的偏導(dǎo)。根據(jù)元件分布?jí)勖磉_(dá)式，可以將偏導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為通過(guò)可靠度R i(t)表達(dá)的形式。以Weibull分布為例來(lái)說(shuō)明轉(zhuǎn)化過(guò)程。服從Weibull分布的元件在t時(shí)刻的可靠度為:，其中a為比例參數(shù)，b為形狀參數(shù)。分別對(duì)兩個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)，得

將上式進(jìn)行一定變化，得

由于已知Weibull分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差為

其中，Γ(x) 為伽馬函數(shù)，即歐拉第二積分，是階乘函數(shù)在實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)上擴(kuò)展的一類函數(shù)，得

可求出均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ分別對(duì)于比例參數(shù)a和形狀數(shù)b的偏導(dǎo)并整合為矩陣。根據(jù)Jacobian矩陣的性質(zhì)，對(duì)該矩陣求逆即可得到a、b分別對(duì)μ和σ的偏導(dǎo)[15]

接著通過(guò)下式即可得到基于元件可靠度對(duì)均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ的偏導(dǎo)

至此，元件的可靠性靈敏度已完全轉(zhuǎn)化為元件可靠度的表達(dá)式。

4 算例分析

某系統(tǒng)共兩類元件，其中第1類元件(元件1、元件2、元件5)服從a＝3、b＝4二參數(shù)Weibull分布；第2類元件(元件3、元件4、元件6)服從a＝4、b＝2的二參數(shù)Weibull分布。通過(guò)式(2)計(jì)算該系統(tǒng)的survival signature，結(jié)果如表1。系統(tǒng)連接結(jié)構(gòu)如圖3所示。

表1 算例系統(tǒng)的survival signature

首先通過(guò)子集模擬法得到各元件的可靠度，通過(guò)3.2所述方法得到系統(tǒng)基于時(shí)間的可靠度曲線如圖4所示，且圖像顯示可靠度的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際解析值基本擬合。分別計(jì)算出各元件失效時(shí)等效系統(tǒng)的survival signature如表2～表7所示。

表2 元件1失效時(shí)的等效系統(tǒng)

表3 元件2失效時(shí)的等效系統(tǒng)

表4 元件3失效時(shí)的等效系統(tǒng)

表5 元件4失效時(shí)的等效系統(tǒng)

表6 元件5失效時(shí)的等效系統(tǒng)

表7 元件6失效時(shí)的等效系統(tǒng)

將各等效系統(tǒng)的survival signature和各元件的可靠度帶入式(9)，可以得到各元件的重要度(Birnbaum importance)曲線如圖5 所示。元件1的重要度要高于其他元件，說(shuō)明其在系統(tǒng)中具有關(guān)鍵作用。但需注意重要度只能反映元件所處位置對(duì)系統(tǒng)可靠度的影響，并沒有考慮元件自身壽命分布帶來(lái)的影響，因此須進(jìn)一步求解靈敏度數(shù)值。由于已知元件可靠度服從Weibull分布，因此將式(10)帶入式(5)，即可得到各元件的可靠性靈敏度曲線如圖6和7所示。

由圖6和7中的曲線可知，相比其他元件，元件3和6的壽命分布均值和方差的靈敏度絕對(duì)值更大，因此其對(duì)于系統(tǒng)可靠性的影響程度是最大的，在進(jìn)行可靠性優(yōu)化等工作時(shí)應(yīng)對(duì)其進(jìn)行著重考慮。選取t＝0.5時(shí)各個(gè)元件的失效率模擬效果來(lái)說(shuō)明此方法的效率。具體數(shù)據(jù)見表8。

表8 子集模擬法的精度和采樣效率

由表8可知，子集模擬法的采樣效率要遠(yuǎn)高于直接蒙特卡羅，其模擬精確度仍然較為理想，即使適當(dāng)提高樣本點(diǎn)數(shù)量或進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，其采樣總數(shù)仍然少于直接蒙特卡羅。直接蒙特卡羅所需的樣本點(diǎn)會(huì)隨著目標(biāo)概率的縮小而呈指數(shù)增長(zhǎng)，因此子集模擬法在處理小量級(jí)的事件概率時(shí)，計(jì)算效率的優(yōu)勢(shì)會(huì)更加明顯。

5 結(jié)論

本文結(jié)合了survival signature和子集模擬法，針對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)提出了一種新的系統(tǒng)可靠性和元件靈敏度模擬方法。survival signature簡(jiǎn)化了系統(tǒng)的可靠性分析，避免了傳統(tǒng)方法中求解系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)雜運(yùn)算，對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜元件種類繁多的系統(tǒng)尤為有效；而子集模擬法則大大減少了所需的隨機(jī)樣本點(diǎn)數(shù)量，在保障足夠精度的前提下提高了模擬的效率。通過(guò)包含多元件的復(fù)雜系統(tǒng)算例計(jì)算，驗(yàn)證了該方法的精度和效率，體現(xiàn)了良好的適用性。