等截面消聲管道傳遞損失計算的簡化方法?

楊 亮 孫紅靈 楊 軍

(1 中國科學院噪聲與振動重點實驗室(聲學研究所) 北京 100190)

(2 中國科學院大學 北京 100049)

0 引言

管道消聲系統(tǒng)在噪聲控制工程中廣泛使用，其聲學性能的準確快速仿真預測具有重要意義。管道聲學問題的求解主要包括解析方法和數(shù)值方法。解析方法[1]一般計算速度快且計算精度高，包括以傳遞矩陣法為代表的一維解析方法以及以模態(tài)匹配法為代表的三維解析方法，通常情況下，解析方法只適用于簡單規(guī)則結(jié)構(gòu)的聲學計算，很多情況下并不滿足實際工程的計算需求。三維數(shù)值方法(主要包括有限元方法[2?3]和邊界元方法[4])理論上可以計算任意復雜形式管道的聲學性能，但消聲管道一般長度較長、截面尺寸較大，且通常考慮計算的頻率范圍較寬，如果進行三維數(shù)值仿真將花費較多的計算時間，并不適用于消聲管道的前期設計優(yōu)化。近年來，以快速多極邊界元[5]為代表的快速算法得到了較快的發(fā)展并在聲學計算領域日趨成熟，一些商業(yè)軟件也集成了這一算法，但是目前商業(yè)軟件中的快速多極邊界元還不能考慮管道中包含吸聲材料的情況，無法應用于消聲管道的聲學計算。另外，以有限體積法為代表的時域方法[6]由于可以考慮復雜流動對聲場的影響而得到了廣泛的關注，但是時域法的計算對計算環(huán)境的要求過高，目前還很難應用于實際管道聲學問題的求解。

綜上所述，針對消聲管道的聲學性能計算，現(xiàn)有的方法存在一些不足，適用于大尺寸消聲管道優(yōu)化設計的聲學計算方法需要進一步研究。消聲管道的聲學性能計算雖然本質(zhì)上是三維聲學問題，但是在很多應用情況下，消聲管道沿氣流方向的截面是均勻一致的，此時可以將三維聲學計算問題簡化為二維聲學問題。這時，消聲管道的傳遞損失可以表示為與軸向波數(shù)有關的表達式，而軸向波數(shù)可以通過計算截面的特征值得到。

本文對消聲管道的聲學性能計算進行簡化處理并使用兩種簡化方法：(1) 對簡單規(guī)則截面結(jié)構(gòu)形式使用基于傳遞矩陣的方法計算特征值。需要指出的是，傳統(tǒng)的傳遞矩陣法[7]應用于沿介質(zhì)氣流方向(軸向)各個子結(jié)構(gòu)的傳遞矩陣計算，本文在消聲管道截面使用傳遞矩陣法，在一定的邊界條件下得到特征方程用于計算特征值(也就得到了軸向波數(shù))。(2) 對于復雜形式的截面特征值使用二維有限元方法進行計算，進而計算消聲管道的傳遞損失。值得注意的是，二維有限元方法在文獻[8–9]中被應用于消聲器的聲學性能預測：文獻[8]將二維有限元方法與模態(tài)匹配法結(jié)合形成數(shù)值模態(tài)匹配法，結(jié)合管道截面變化處的邊界條件形成一系列方程用于求解模態(tài)幅值系數(shù)；文獻[9]將二維有限元方法與配點法結(jié)合，將管道內(nèi)的聲學量表示為半解析的形式，在選取的配置點處利用聲壓和質(zhì)點振速的連續(xù)條件得到進出口的模態(tài)幅值系數(shù)。與上述文獻不同，本文直接使用二維有限元法得到截面特征值用于傳遞損失的計算，將三維問題簡化為二維問題以提高計算效率。通過與文獻中的實驗值及數(shù)值結(jié)果的比較驗證了簡化方法的有效性，并對考慮均勻流情況下的消聲管道傳遞損失進行了預測。簡化方法可以在保證計算精度的同時極大程度地提高計算效率，簡化計算方法可用于管道消聲系統(tǒng)的優(yōu)化設計。

1 理論基礎

通常情況下，消聲管道在進出口處存在截面變化，因此三維數(shù)值方法常被用于管道內(nèi)部聲場的計算，雖然三維方法計算精度高，但計算效率較低，給實際的工程應用帶來很大困難。本文在計算中忽略了進出口截面變化的影響，將三維聲傳播問題簡化為二維問題，并通過實例說明這種簡化假設在實際應用中是可行的。

對于如圖1 所示的包覆式消聲管道，可以使用基于傳遞矩陣的方法計算傳遞損失；如果結(jié)構(gòu)截面形式較為復雜，即對于更一般的情況無法直接應用傳遞矩陣法時，可以使用二維數(shù)值方法(如有限元方法)進行計算。

1.1 等截面消聲管道傳遞損失計算公式

對于一定長度的等截面消聲管道，傳遞損失可以根據(jù)式(1)計算得到[10]：

其中，p(0)和p(z)分別為相對位置為0 和z處的聲壓值，kzi為軸向波數(shù)的虛部，z為管道長度，e 為自然對數(shù)的底?？梢园l(fā)現(xiàn)，在等截面情況下，管道的傳遞損失可以通過計算軸向波數(shù)得到，值得注意的是，公式(1)是在無限長管道假設條件下得到的，因此對于長管道有更好的適用性。

1.2 管道消聲性能計算的傳遞矩陣法

傳遞矩陣描述了管道進出口聲壓和質(zhì)點振速的關系，可以表示為

其中，T為傳遞矩陣，pI和pO分別為進出口的聲壓，uI和uO分別為進出口的質(zhì)點振速。

對于如圖1 所示的包覆式消聲管道，如果忽略矩形管道截面邊角的影響，可以分別考慮x和y兩個方向的傳遞矩陣關系，在y方向，吸聲材料及空氣中的傳遞矩陣分別表示為

其中，ky和分別為空氣和吸聲材料中y方向的波數(shù)，ρ0和分別為空氣和吸聲材料的密度，ty為吸聲材料y方向厚度，h為空氣域厚度，i 為虛數(shù)單位，ω為圓頻率。穿孔板內(nèi)外兩側(cè)的傳遞矩陣可以表示為

即為

圖1 方形包覆式消聲管道Fig.1 Square silencing duct with packed housing

根據(jù)位置1 和位置4 處的剛性壁邊界條件，得到t21=0，即為y方向的特征方程。

同理，使用同樣的方法可以得到x方向的特征方程。求解由兩個特征方程構(gòu)成的方程組即可求得兩個方向的波數(shù)kx和ky，軸向波數(shù)可以通過式(9)計算得到：

將軸向波數(shù)代入式(1)即可得到傳遞損失。

對于圓形截面包覆管道，如圖2 所示，ri和ro分別為穿孔管內(nèi)側(cè)空氣域半徑以及管道半徑，空氣中的聲壓和質(zhì)點振速可以分別表示為

其中，A為模態(tài)系數(shù)，ρ0為空氣密度，kr為橫向波數(shù)，J0和J1分別為0 階和1 階第一類貝塞爾函數(shù)，0r

其中，B和C為模態(tài)系數(shù)，為吸聲材料的密度，為吸聲材料中的橫向波數(shù)，Y1為第二類1 階貝塞爾函數(shù)，rir

圖2 圓形包覆式消聲管道Fig.2 Round silencing duct with packed housing

穿孔管處以及管道外壁的邊界可以分別表示為

將聲壓以及質(zhì)點振速表達式代入邊界條件得到如式(15)的方程組，求解方程組并利用波數(shù)關系式(16)得到軸向波數(shù)進而計算傳遞損失。

求解行列式等于0 的特征方程可以得到kr，軸向波數(shù)kz可以通過下式得到

需要指出的是，傳遞矩陣法中只考慮了管道中平面波傳播的情況，沒有考慮高階模態(tài)的影響。

1.3 管道消聲性能計算的二維有限元方法

傳遞矩陣法的計算效率較高，但是對于更一般的情況，如果截面形式較為復雜，無法使用傳遞矩陣法，這時可以考慮使用二維數(shù)值方法計算軸向波數(shù)，本文使用的是二維有限元方法。

空氣域和吸聲材料域如圖3 所示，兩個區(qū)域通過穿孔邊界連接，在空氣域考慮存在均勻流，空氣和吸聲材料中的二維聲波控制方程為

空氣和吸聲材料中等效的橫向波數(shù)kxy1和kxy2分別滿足以下方程：

其中，M為馬赫數(shù)。

圖3 非規(guī)則消聲管道截面示意圖Fig.3 Cross-section of non-regular silencing duct

消聲管道的邊界條件為剛性壁面邊界條件和穿孔阻抗邊界條件，應用伽遼金加權(quán)余量法以及格林公式可以得到橫截面C1和C2上的橫向本征方程為[11]

其中，

分別為橫截面上的廣義剛度矩陣、質(zhì)量矩陣和穿孔阻抗矩陣。N為形函數(shù)的列向量，p1和p2分別為橫截面C1和C2上節(jié)點聲壓組成的列向量，角標“e”代表單元，Se為空氣域或吸聲材料域面單元，Le為穿孔邊界線單元。

聯(lián)立方程(21)和(22)可以得到考慮均勻流影響的消聲管道的橫向本征方程為

其中，

求解方程(23)即可以得到軸向波數(shù)，進而計算傳遞損失。

2 算例驗證

本節(jié)將通過若干算例驗證基于傳遞矩陣法和二維有限元法的兩種簡化方法的合理性，說明簡化計算方法在實際工程問題中的應用價值。

2.1 無流情況包覆式消聲管道

首先對一個如圖1所示的方形包覆式消聲管道進行消聲量的計算，管道外尺寸為0.6 m×0.6 m，吸聲材料厚度0.1 m，管道長度2 m，吸聲材料為巖棉，其流阻率為31500 Rayl/m，穿孔板厚度為0.7 mm，穿孔直徑為3 mm，穿孔板穿孔率為33%，穿孔阻抗公式來源于文獻[9]?；趥鬟f矩陣的簡化方法與文獻[11]中有限元方法的比較如圖4 所示，二者趨勢吻合較好，說明對于包覆式方形管道，邊角對其聲學性能的影響較小，本文1.2 節(jié)中的簡化處理較為合理。傳遞矩陣法的計算效率高，具有一定的應用價值。

圖4 方形包覆消聲管道消聲量Fig.4 TL of a square packed silencer

2.2 無流情況Bar消聲器

考慮一個方形Bar 消聲器(此處命名為消聲器a)，結(jié)構(gòu)截面如圖5 所示，消聲器外殼尺寸為0.6 m×0.6 m，Bar 尺寸0.4 m×0.4 m，管道長度2 m，吸聲材料參數(shù)及穿孔率與上例包覆消聲管道算例相同。使用二維有限元簡化方法計算傳遞損失，仿真結(jié)果與實驗結(jié)果[12]比較如圖6 所示，二者在寬頻范圍內(nèi)吻合較好，說明了基于二維有限元的簡化方法的正確性。

圖5 方形Bar 消聲器截面形式Fig.5 Cross-section of the square Bar silencer

考慮文獻[11]中的另一個Bar 消聲器(此處命名為消聲器b)，與消聲器a 不同的是外殼尺寸為0.6 m×0.8 m，Bar的尺寸以及其它參數(shù)與消聲器a相同。使用二維有限元方法計算傳遞損失的仿真結(jié)果與實驗值[11]對比如圖7 所示，仿真結(jié)果同樣較好地預測了消聲管道的聲學性能。

第三個算例為如圖8 所示的圓形Bar 消聲器，包覆吸聲材料的圓形管道內(nèi)部包含一個圓形的Bar，尺寸為r= 0.1 m，R= 0.291 m，t= 0.147 m，管道長度L= 0.9 m，穿孔板穿孔率為27%，穿孔孔徑3 mm，穿孔板厚度1.6 mm，穿孔阻抗公式及吸聲材料特征參數(shù)與文獻[9]中相同。特征值使用有限元方法計算得到，管道傳遞損失計算結(jié)果如圖9所示，除了極高頻附近頻段，仿真預測結(jié)果與實驗值[9]在寬頻范圍內(nèi)吻合較好。

圖7 Bar 消聲器b 傳遞損失對比Fig.7 TL comparison of bar silencer “b”

圖8 圓形Bar 消聲管道截面Fig.8 Cross-section of round Bar silencing duct

圖9 圓形消聲管道傳遞損失與實驗值對比Fig.9 TL comparison of round Bar silencing duct

2.3 均勻流情況消聲管道的聲學性能

消聲管道作為介質(zhì)傳輸?shù)穆窂?，介質(zhì)存在流動速度，流速對管道的聲學性能具有一定的影響，本節(jié)考慮兩個均勻流情況下的消聲管道傳遞損失計算，說明方法在這種情況下的適用性。

第一個算例為一個片式消聲器，結(jié)構(gòu)截面如圖10 所示，結(jié)構(gòu)尺寸為a= 0.1 m，b= 0.1 m，管道長度為1.8 m，穿孔率27%，穿孔孔徑3 mm，吸聲材料流阻率為1881 Rayl/m，穿孔阻抗以及吸聲材料特征參數(shù)公式與文獻[9]一致。管道內(nèi)流速馬赫數(shù)為0.022。仿真結(jié)果與實驗值[13]對比如圖11 所示，在極高頻處預測結(jié)果存在一些偏差，但總體來說二者的趨勢整體吻合較好，說明了本文仿真方法的正確性。

圖10 片式消聲管道截面形式Fig.10 Cross-section of a splitter silencer

圖11 有流情況下方形片式消聲管道傳遞損失與實驗值對比Fig.11 TL comparison of square splitter silencer with uniform flow

第二個算例為一個Bar 消聲器，Bar 尺寸為0.4 m×0.4 m，外殼尺寸為0.6 m×0.6 m，氣流速度40 m/s，管道長度為2 m，吸聲材料流阻率為31500 Rayl/m，穿孔率33%，穿孔孔徑5 mm。仿真結(jié)果與文獻[11]中實驗值對比如圖12所示，仿真結(jié)果較好地描述了消聲管道的聲學性能，進一步說明了計算方法的正確性。由于簡化方法將三維數(shù)值計算轉(zhuǎn)化為二維數(shù)值計算，將極大程度地提高計算效率。

圖12 均勻流(40 m/s)情況下方形Bar 消聲器傳遞損失Fig.12 TL comparison of Bar silencer with uniform flow 40 m/s

3 結(jié)論

聲學性能的快速準確計算對于消聲管道的設計具有重要意義。傳統(tǒng)三維數(shù)值方法計算量較大，計算效率低。由于消聲管道一般具有沿軸向(氣流)方向截面均勻一致的特點，此時管道的聲學性能可以通過軸向波數(shù)進行簡化計算，軸向波數(shù)可以通過對管道截面進行特征值分析獲得。針對不同的消聲管道結(jié)構(gòu)形式，本文使用兩種簡化方法：基于傳遞矩陣的簡化方法和基于二維有限元的簡化方法，通過與文獻中的數(shù)值結(jié)果和實驗結(jié)果的比較說明了簡化方法可以在較寬的頻率范圍較好地描述管道的消聲性能，說明了簡化方法的有效性。另外，簡化方法也可以考慮管道內(nèi)介質(zhì)存在均勻流速的情況。簡化方法將三維聲學計算問題轉(zhuǎn)化為二維聲學問題，極大程度地提高了計算效率，可用于消聲管道的快速優(yōu)化設計。