光學系統(tǒng)縱向色差的仿真及驗證

莊錦程，張齊元，王 芳，吳 鵬，王浩宇，王全召，吳泉英，韓 森

（1.蘇州科技大學 數(shù)理學院，江蘇 蘇州 215009；2.蘇州維納儀器有限責任公司，江蘇 蘇州 215123；3.上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 200093）

引言

在高精度成像中，對給定光學系統(tǒng)的焦距進行測量是非常重要的。通常意義上的焦距是指某一特定波長（一般為設計波長）的焦距數(shù)值，目前主流的焦距檢測設備的光源波長無法與被測光學系統(tǒng)完全匹配，縱向色差會對焦距的測量結果產(chǎn)生影響[1-4]。縱向色差是描述光學系統(tǒng)在不同波長下如何沿不同縱向位置聚焦，也稱位置色差或軸向色差。光學系統(tǒng)的性能經(jīng)常受色差限制而非單色像差限制，因此大多數(shù)成像鏡頭設計的目標都是讓所有波長盡可能聚焦在同一平面[5-7]，在設計波段范圍內(nèi)所有波長聚焦位置越接近這個相同平面，在圖像中觀察到的問題就越少?？v向色差可以通過測量光學系統(tǒng)在不同波長下的焦點位移來評估，在一些簡單的縱向色差檢測實驗中，對焦點位置的確定是影響測量結果的一個重要因素[8-9]。為了準確檢測光學系統(tǒng)的縱向色差，Seong 等人提出一種利用馬赫澤德干涉儀測量縱向色差的方法[10]，首先測量單透鏡和雙膠合鏡頭在多個波長下的透射波前，然后利用波前Zernike 系數(shù)確定各波長的焦點位置，再使用Sellmeir 公式計算400 nm～700 nm波段的色差曲線，進而得到被測系統(tǒng)的縱向色差。這種方法在測量前需要對被測系統(tǒng)進行建模，從結果上看該方法對單透鏡的色差曲線影響誤差較小，而對雙膠合鏡頭的色差曲線影響誤差較大。本文針對這一問題，重點分析了不同類別光學系統(tǒng)的縱向色差變化規(guī)律，并嘗試使用Conrady公式和復消色差特性公式表示其函數(shù)關系，同時提出一種基于菲索干涉儀測量光學系統(tǒng)焦點位置進而獲得光學系統(tǒng)縱向色差函數(shù)曲線的方法。

1 原理

傳統(tǒng)透射系統(tǒng)主要分為單色系統(tǒng)、消色差系統(tǒng)和復消色差系統(tǒng)。單色系統(tǒng)通常只工作在單一波長或極窄的波段范圍內(nèi)，大部分情況下使用同一種材料設計。由于折射率是波長的函數(shù)，光學系統(tǒng)的焦距也隨著波長變化，所以單色系統(tǒng)的縱向色差是一條單調(diào)曲線。消色差系統(tǒng)為了消除色差，采用多種玻璃進行設計，由色差校正原理可知，對于大部分消色差系統(tǒng)來說，只能使2個波長聚焦在同一位置，且由于大部分消色差系統(tǒng)（如照相物鏡）都是對“F、d、C”光進行校正，所以它們的色焦移曲線具有類似的形狀。復消色差系統(tǒng)可以使3個波長同時聚焦在同一位置，其他波長情況下聚焦到這一平面的距離（即離焦量）相比消色差系統(tǒng)小很多，所以復消色差系統(tǒng)的像質遠好于消色差系統(tǒng)，利用離焦量大小可以分析光學系統(tǒng)是否有效校正了色差，也可判斷它們屬于消色差系統(tǒng)還是復消色差系統(tǒng)。

不論是單色系統(tǒng)、消色差系統(tǒng)還是復消色差系統(tǒng)，它們的縱向色差都能用Zemax 中的色焦移曲線（chromatic focal shift）表示，色焦移曲線可用于確定光學系統(tǒng)縱向色差的函數(shù)關系。為了驗證得到的函數(shù)關系是否符合實際，使用菲索干涉儀測量光學系統(tǒng)不同波長的焦點位置進行驗證，將采集的離散數(shù)據(jù)代入縱向色差的函數(shù)表達式求解，評估函數(shù)曲線與實際測量焦點位置數(shù)據(jù)的一致性[11-15]。

對于實際光學系統(tǒng)而言，衍射和像差的存在會對準確確定焦點位置造成一定困擾[16]。在光學檢測中，Zernike 多項式Z3的物理意義是離焦，若測量的透射波前Z3為零，則表示該位置為光學系統(tǒng)的焦點位置。在零離焦位置，一些微小的機械調(diào)整誤差會對Z3的數(shù)值產(chǎn)生明顯的影響，導致無法準確記錄焦點位置。在離焦量較大的位置微小調(diào)整X和Y傾斜對Z3的影響則可以忽略不計。鑒于Zernike 系數(shù)Z3與位置呈線性關系已通過仿真和分析得到驗證[17-19]，本文通過測量離焦位置波前Zernike 系數(shù)Z3計算被測系統(tǒng)的焦點位置，原理如圖1所示。通過旋轉測微旋鈕推動導軌上五維支架使反射球面鏡沿Z軸方向移動，測量被測光學系統(tǒng)在焦點附近若干個離焦位置的透射波前，并記錄對應位置的Z3值，將Z3與位置數(shù)據(jù)按線性方程進行擬合，再使用擬合曲線計算出Z3為零時的位置。使用相同的步驟測量并計算被測系統(tǒng)在其他多個波長下的焦點位置，就可以得到縱向色差。

圖1 測量離焦位置的透射波前確定焦點位置原理Fig.1 Focus determination by measuring transmitted wavefront of defocus position

2 模擬仿真

2.1 單色系統(tǒng)

以一個單一材質的單色系統(tǒng)為例進行分析。具體參數(shù)為F數(shù)1.5，入瞳直徑20 mm，焦距30 mm，波長范圍400 nm～1 000 nm，為方便數(shù)據(jù)采集分析選擇400 nm 作為主波長。鏡頭結構圖和色焦移曲線如圖2所示。

圖2 單色系統(tǒng)結構圖與色焦移曲線Fig.2 Monochromatic system structure and chromatic focal shift curve

單色系統(tǒng)焦距隨波長的變化主要由材料折射率引起，單調(diào)的Zernike 系數(shù)-波長曲線可以使用Conrady公式[10]表示，與之相近單調(diào)的焦距-波長曲線也可使用Conrady公式表示成：

式中：Af、Bf、Cf分別為常數(shù)項系數(shù)和波長項系數(shù)。選取530 nm、560 nm和720 nm的焦距-波長數(shù)據(jù)代入（1）式求解系數(shù)：

計算后得到單色系統(tǒng)的焦距-波長曲線的函數(shù)表達式為

圖3（a）為單色系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與求解的Conrady公式曲線對比結果，圖3（b）為曲線對比殘差圖。根據(jù)圖3（b）顯示，在400 nm～1 000 nm波段內(nèi)仿真和求解曲線焦距的最大絕對誤差為23.11 μm（λ=400 nm），相對誤差0.08%，求解曲線基本符合仿真曲線。由于單色系統(tǒng)的焦距-波長曲線均為類似的形狀，因此Conrady公式可用于表示單色系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關系。

圖3 單色系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線對比Fig.3 Comparison of focal length wavelength simulation curve for monochromatic system with Conrady formula solution curve

2.2 消色差系統(tǒng)

以雙高斯系統(tǒng)作為研究對象分析消色差系統(tǒng)的縱向色差。具體參數(shù)為F數(shù)2.5，焦距35 mm，波長范圍400 nm～1 000 nm，主波長400 nm，鏡頭結構圖和色焦移曲線如圖4所示。

圖4 雙高斯系統(tǒng)結構圖與色焦移曲線圖Fig.4 Double Gauss system structure and chromatic focal shift curve

消色差系統(tǒng)的色焦移曲線通常帶有一個拐點，選取530 nm，560 nm和630 nm的焦距-波長數(shù)據(jù)代入Conrady公式求解系數(shù)，得到雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線的函數(shù)表達式：

圖5（a）為雙高斯系統(tǒng)焦距-波長仿真曲線與Conrady公式求解曲線的對比結果。當波長范圍較大時，Conrady公式求解曲線會出現(xiàn)較大偏差，圖5（b）是仿真曲線與Conrady公式求解曲線的殘差圖。從圖5可以看出，在波長1 000 nm處仿真曲線和Conrady公式求解曲線的最大絕對誤差為47.47 μm，相對誤差為0.1349%。

為了使求解曲線與理想曲線更吻合，嘗試使用復消色差特性公式求解計算。復消色差特性公式是在Conrady公式基礎上拓展一個波長項后得到的。復消色差特性公式[12]為

式中：Af、Bf、Cf分別為常數(shù)項系數(shù)和波長項系數(shù)，X1、X2、X3為冪級數(shù)系數(shù)。

通過調(diào)整冪級數(shù)系數(shù)可以將求解曲線逼近仿真曲線。冪級數(shù)系數(shù)共有3個，它們之間相互影響著曲線的特性，因此冪級數(shù)系數(shù)的選取并非是唯一的，它們存在著很多組合。本文主要在光學系統(tǒng)最常用的近紫外、可見光和近紅外波段范圍分析復消色差特性公式的冪級數(shù)系數(shù)的取值范圍。最初分析復消色差特性公式時通過手動調(diào)節(jié)求解曲線的各項冪級數(shù)系數(shù)，然后與仿真曲線進行對比，這種方法效率很低，同時很難窮舉確定3個冪級數(shù)系數(shù)。因此使用Matlab 編寫程序使得求解曲線在一定的冪級數(shù)系數(shù)范圍內(nèi)做循環(huán)運算，然后計算其與仿真曲線的誤差大小。當求解曲線與仿真曲線偏離較大時舍棄結果，當求解曲線與仿真曲線偏離較小時則保留結果，冪級數(shù)系數(shù)范圍確定的流程如圖6所示。

圖5 雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線與Conrady公式求解曲線對比Fig.5 Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with Conrady formula solution curve

圖6 確定復消色差特性公式冪級數(shù)系數(shù)范圍流程圖Fig.6 Flow chart of determination of power series range for apochromatic characteristic formula

為了能夠獲得合適的冪級數(shù)系數(shù)范圍，根據(jù)前期手動調(diào)節(jié)冪級數(shù)系數(shù)的經(jīng)驗，將（5）式中冪級數(shù)系數(shù)X1范圍設定為0.1～5，X2范圍設定為5.1～10，X3范圍設定為0.1～5，循環(huán)時每個系數(shù)的數(shù)據(jù)間隔為0.1，共進行125 000次循環(huán)測試。在循環(huán)之前，設定合理的誤差對于保留曲線的冪級數(shù)系數(shù)結果來說十分重要，在400 nm～1 000 nm波段求解的復消色差特性曲線與仿真曲線的差異，可以采用絕對誤差和相對誤差兩種方式進行評價。相對誤差在求解曲線的較短波段起到限制作用，絕對誤差在求解曲線較長波段起到限制作用，在這里針對雙高斯系統(tǒng)將絕對誤差設定在50 μm以內(nèi)，相對誤差設定在0.05%以內(nèi)。

滿足要求的待求解雙高斯系統(tǒng)復消色差特性公式為

將530 nm、630 nm、670 nm、720 nm處的焦距-波長數(shù)據(jù)代入（6）式求解，得到雙高斯系統(tǒng)焦距-波長曲線的復消色差特性公式：

圖7（a）是復消色差特性公式求解曲線與仿真曲線的對比結果，在400 nm～1 000 nm波段，兩者的最大絕對誤差為6.1 μm（λ=400 nm），相對誤差為0.02%，殘差圖如圖7（b）所示。由圖7可看出，相比Conrady公式，復消色差特性公式求解曲線幾乎與仿真曲線重合，因此復消色差特性公式能用于表示消色差系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關系。

2.3 復消色差系統(tǒng)

為了進一步校正色差，復消色差光學系統(tǒng)通常需要使用特殊色散玻璃，因此復消色差系統(tǒng)的色焦移曲線比消色差系統(tǒng)更加復雜，圖8為復消色差望遠系統(tǒng)的結構圖和色焦移曲線圖。

復消色差系統(tǒng)的色焦移曲線具有2個拐點，而Conrady公式最多只能產(chǎn)生帶1個拐點的曲線，因此只能使用復消色差特性公式（5）描述其焦距-波長曲線。圖9（a）是求解復消色差特性公式曲線與仿真曲線的對比圖，圖9（b）是曲線殘差圖。根據(jù)圖9（b）可知，在400 nm～1 000 nm波段內(nèi)焦距的最大絕對誤差為1.1 μm（λ=400 nm），相對誤差小于0.01%。求解曲線與仿真曲線高度重合，此時選用的復消色差特性公式為

圖7 雙高斯系統(tǒng)的焦距-波長曲線與復消色差特性公式求解曲線對比Fig.7 Comparison of focal length-wavelength curve for double Gauss system with apochromatic characteristic formula solution curve

圖8 望遠系統(tǒng)結構圖和色焦移曲線Fig.8 Telescopic system structure and chromatic focal shift curve

由于復消色差特性公式能描述帶2個拐點的曲線，因此可用于表示復消色差系統(tǒng)的縱向色差。

圖9 望遠系統(tǒng)焦距-波長曲線與求解復消色差特性公式曲線對比Fig.9 Comparison of focal length-wavelength curve for telescopic system with apochromatic characteristic formula solution curve

3 實驗驗證

利用波前Zernike 系數(shù)與位置呈線性關系的特點，使用菲索干涉儀測量單透鏡和雙膠合鏡頭在5個波長下的若干個離焦位置波前，然后確定各波長的焦點位置，再使用實驗數(shù)據(jù)求解得到被測系統(tǒng)在400 nm～1 000 nm波段的縱向色差曲線并進行評估。

3.1 實驗測量

根據(jù)實驗原理，選用5種波長的激光光源（532 nm、561 nm、632.8 nm、671 nm、721 nm）用于測量光學系統(tǒng)的透射波前Z3信息和焦點的位置變化，其中透射波前信息通過干涉儀測量后直接讀取，焦點的位置變化通過測微旋鈕的刻度讀取，精度為0.005 mm，實驗裝置如圖10所示。首先校準干涉儀的光軸與導軌，然后將球面反射鏡放置在五維支架托盤上，通過旋轉固定在導軌托盤上的測微旋鈕推動五維支架前后移動達到獲取焦點位置的目的，這樣球面反射鏡在前后移動測量的過程中能夠與光軸盡可能保持一致，同時為減少回程誤差，測量每一組透射波前時球面鏡的移動方向應相同。在完成一組波長的透射波前和焦點位置記錄后需要在保證光學系統(tǒng)不變的前提下更換激光光源。圖10（b）是一個自制的光源調(diào)整臺，激光器安裝在該裝置上能夠調(diào)整X軸、Y軸位移以及傾斜，以便保證光軸不變。更換激光光源后，將剪切干涉儀放置在干涉儀的透射平面鏡和被測系統(tǒng)之間，如圖11(a)～11(e)所示，通過調(diào)整激光干涉儀的準直透鏡位置保證各個波長的測試光束準直。

圖10 實驗裝置Fig.10 Experimental device

圖11 使用剪切干涉儀對出射光束準直Fig.11 Collimate optical path by using shear interferometer

3.2 實驗結果及數(shù)據(jù)分析

因為單色系統(tǒng)的色焦移曲線形狀基本一致，根據(jù)實際條件選擇最簡單的單透鏡代表單色系統(tǒng)進行實驗。由于被測系統(tǒng)在不同波長測量時的焦點位置和焦深均不同，因此測量每一個波長透射波前的離焦位置及范圍略有不同。將5種波長的Z3系數(shù)和位置數(shù)據(jù)進行線性擬合，結果如圖12所示。

根據(jù)各離焦位置的Z3系數(shù)與位置的線性擬合計算出零離焦位置，這比直接通過干涉儀軟件測量零離焦時的位置更加精確，計算結果如表1所示。使用計算的后截距數(shù)據(jù)求解Conrady公式，獲得后截距-波長曲線，結果如圖13（a）所示。圖13（b）為實驗數(shù)據(jù)和求解曲線數(shù)據(jù)的殘差圖，實測532 nm和721 nm處后截距與求解曲線吻合，且求解曲線與仿真曲線基本一致，說明單色系統(tǒng)的縱向色差可以使用Conrady公式表示。

圖12 單色系統(tǒng)的Z3系數(shù)與位置曲線圖Fig.12 Curve of Z3coefficient for monochrome system and position

表1 計算得到各波長焦點位置數(shù)據(jù)Table1 Focal position data of each wavelength

圖13 Conrady公式求解的單透鏡后截距-波長曲線和數(shù)據(jù)殘差圖Fig.13 Conrady formula solution curve of single lens and residual curve

按照相同的方法測量雙膠合鏡頭的焦距位置，各波長近焦的Z3系數(shù)和離焦位置的擬合曲線如圖14所示。

通過擬合曲線計算得到零離焦時的焦點位置，結果如表2所示。分別使用采集數(shù)據(jù)求解Conrady公式和復消色差特性公式縱向色差曲線，結果如圖15所示。圖15（a）和15（c）中求解Conrady公式曲線與實測的671 nm數(shù)據(jù)點吻合，而與721 nm處的后截距數(shù)據(jù)有較明顯的偏離；圖15（b）和15（d）中求解復消色差特性公式曲線能與實測的721 nm后截距數(shù)據(jù)吻合，這與仿真時的結果一致。實驗及計算結果表明，消色差系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)關系在400 nm～1000 nm波段需要使用復消色差特性公式表示。

圖14 消色差系統(tǒng)Z3系數(shù)與位置的曲線圖Fig.14 Curve of Z3coefficient for achromatic system and position

表2 計算得到的各波長焦點位置Table2 Focal position of each wavelength

圖15 雙膠合透鏡的求解曲線Fig.15 Solution curve of double cemented lens

4 結論

焦距檢測常會因為波長不匹配而引入色差，本文分析了光學系統(tǒng)縱向色差的變化規(guī)律，通過軟件模擬和實驗驗證發(fā)現(xiàn)在400 nm～1 000 nm波段，單色系統(tǒng)的縱向色差曲線可使用大家熟知的Conrady公式有效表示，而運用范圍更廣的消色差系統(tǒng)和復消色差系統(tǒng)的縱向色差曲線則需要使用復消色差特性公式表示，同時給出了復消色差特性公式冪級數(shù)系數(shù)范圍的選定方法。本文還提出了一種基于菲索干涉儀測量光學系統(tǒng)縱向色差曲線的方法，通過測量離焦位置的透射波前Z3系數(shù)確定各波長的焦點位置，利用離散數(shù)據(jù)求解模型公式后獲得400 nm～1 000 nm波段內(nèi)光學系統(tǒng)的縱向色差函數(shù)曲線。本文的研究工作表明，Conrady公式和復消色差特性公式除了適用于光學系統(tǒng)Zernike 系數(shù)的變化規(guī)律外，還同樣適用于光學系統(tǒng)的縱向色差，這對于焦距的精確測量具有指導意義。