干涉測(cè)量圓柱外表面的誤差分析

許 帥，韓 森，吳泉英，張凌華，王全召，陳秋白，王 艷

（1.蘇州科技大學(xué)，江蘇 蘇州 215009；2.上海理工大學(xué)，上海 200093；3.蘇州慧利儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123；4.蘇州維納儀器有限責(zé)任公司，江蘇 蘇州 215123）

引言

圓柱形表面高精度元件具有特殊的光學(xué)成像特性，廣泛應(yīng)用在航空航天、工業(yè)加工以及測(cè)量檢測(cè)等高精密性領(lǐng)域中[1-3]。隨著精密軸類(lèi)零件技術(shù)的發(fā)展，對(duì)軸類(lèi)元件表面的光潔度、穩(wěn)定性等指標(biāo)提出了更高的要求。現(xiàn)在對(duì)柱面粗糙度測(cè)量方法的種類(lèi)有很多[4-6]，主要可以分為干涉測(cè)量法和非干涉測(cè)量法兩大類(lèi)。

非干涉測(cè)量方法主要有以下幾種：1） 接觸式測(cè)量法。通常是使用觸針與被測(cè)表面相接觸，并在驅(qū)動(dòng)器的帶動(dòng)下在被測(cè)區(qū)域內(nèi)按一定軌跡移動(dòng)。借助傳感器獲取到接觸位置的粗糙度信息，最后整合所有測(cè)量的信息，得到整個(gè)被測(cè)面的粗糙度。但是這種測(cè)量方法在測(cè)量過(guò)程中，探針與待測(cè)表面相接觸，因而會(huì)對(duì)待測(cè)面的面形造成一定程度的損傷?，F(xiàn)在主要的接觸式測(cè)量?jī)x器有掃描探針輪廓儀和三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)兩種。2）條紋投影法[7-9]。將一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條紋投影到待測(cè)面的表面，條紋受到面形的調(diào)制作用產(chǎn)生了相位變化，對(duì)形變相位光柵的相位進(jìn)行處理分析，就可以得到待檢測(cè)面的粗糙度信息。3） 樣板比對(duì)法。樣板對(duì)比法需要事先準(zhǔn)備好一個(gè)與待測(cè)半徑相同的球面或者平面樣板，通過(guò)直接接觸零件來(lái)進(jìn)行比較。這種方法對(duì)樣板的加工有較高的要求并且適應(yīng)的檢測(cè)范圍很小，具有一定的局限性，一般只適應(yīng)于圓柱內(nèi)表面并且測(cè)量精度低，會(huì)對(duì)待檢測(cè)樣品面形造成一定的損傷。

干涉測(cè)量方法主要有：1） 計(jì)算機(jī)全息法（CGH）[10-14]。將透射過(guò)計(jì)算全息CGH 而產(chǎn)生的柱面波與待測(cè)的柱面進(jìn)行零位干涉，通過(guò)相移算法分析干涉條紋，最終得到待測(cè)柱表面的粗糙度信息。計(jì)算全息法具有高精度、高靈敏度、可以多次測(cè)量等優(yōu)點(diǎn)，但是需要定制一個(gè)特殊的計(jì)算全息CGH，制作成本高，并且其自身的誤差很難剔除。2） 掠入射零位干涉測(cè)量[15-16]。此種方法需要借助使用兩個(gè)衍射光學(xué)元件（DOE）進(jìn)行測(cè)量，兩個(gè)DOE分別承擔(dān)著不同的作用。其中一個(gè)DOE 用來(lái)分離和整形光束，另外一個(gè)DOE可以將經(jīng)反射后變形的波前轉(zhuǎn)換成近似于平面的波前，與理想?yún)⒖计矫婀馐嗷ジ缮妗５窃谥w軸線的方向上，有效波長(zhǎng)增加了λ/cosθ，導(dǎo)致在圓柱軸線方向上采樣密度的大幅下降，降低了對(duì)被測(cè)表面粗糙度的敏感性，其中θ為入射角。

針對(duì)回轉(zhuǎn)圓柱外表面粗糙度的測(cè)量，本文提出了一種干涉測(cè)量的方法，在不進(jìn)行拼接測(cè)量[17]的情況下，一次性獲取圓柱外表面一整周的形貌信息。此種測(cè)量方法需要使用一個(gè)特殊的圓臺(tái)面反射鏡，簡(jiǎn)化了測(cè)量步驟，提高了對(duì)圓柱外表面的檢測(cè)效率。

1 測(cè)量原理

為了可以一次性獲取圓柱外表面的形貌信息，設(shè)計(jì)使用一個(gè)內(nèi)側(cè)傾角為45°的圓臺(tái)面反射鏡，將圓柱坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系。當(dāng)準(zhǔn)直光束沿著光軸（z軸）方向入射圓臺(tái)面反射鏡時(shí)，圓臺(tái)面反射鏡將會(huì)改變光束的傳播方向使其垂直入射到圓柱外表面。由于光路可逆，光束將會(huì)返回到干涉系統(tǒng)中并與參考光干涉，得到干涉圖。圓柱面上的一個(gè)母線，對(duì)應(yīng)著圓環(huán)狀形貌圖的一個(gè)半徑。這樣圓柱面就會(huì)轉(zhuǎn)變成為一個(gè)平面，圓柱外表面的形貌特征可以直接由此平面來(lái)體現(xiàn)。該測(cè)量方法的核心思想就是將被測(cè)柱面分解并在平面內(nèi)重新構(gòu)造，通過(guò)平面檢測(cè)的方法，實(shí)現(xiàn)了圓柱外表面粗糙度的一次性測(cè)量[7]。

圖1中PBS為偏振分光鏡，PZT為相移驅(qū)動(dòng)器，TF為標(biāo)準(zhǔn)參考鏡。當(dāng)準(zhǔn)直光束沿著光軸（Z軸）方向入射，且各光學(xué)元件光軸與幾何軸心與Z軸重合時(shí)，透射標(biāo)準(zhǔn)參考鏡的光會(huì)按照示意圖所示，經(jīng)傾角為45°的圓臺(tái)面反射后，垂直入射到待檢測(cè)圓柱體的外表面。在不存在誤差的情況下，入射到圓柱外表面的光將原路返回，經(jīng)過(guò)干涉系統(tǒng)計(jì)算后，得到圓柱外表面的形貌信息。測(cè)量圓柱的半徑為r,高為h。圓臺(tái)面反射鏡底部空心圓盤(pán)的外半徑為R，內(nèi)半徑為rm，高為rm。光線經(jīng)過(guò)反射鏡折轉(zhuǎn)存在一定的壓縮，干涉圖也會(huì)有所變形，對(duì)橫向分辨率造成一定影響。在實(shí)際的測(cè)量過(guò)程中，實(shí)驗(yàn)搭建以及機(jī)械加工很難做到如原理圖般毫無(wú)偏差，在實(shí)際檢測(cè)裝置搭建中，必定會(huì)存在著一些失調(diào)誤差，這些誤差會(huì)對(duì)實(shí)際測(cè)量結(jié)果的精度造成一定的影響，為了獲得被測(cè)圓柱外表面的真實(shí)形貌，必須要將這些誤差剔除。

2 建立誤差數(shù)學(xué)模型

由于圓柱體具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性，所以沿著z軸偏移或者繞著Z軸旋轉(zhuǎn)不會(huì)產(chǎn)生失調(diào)誤差，不會(huì)影響實(shí)際測(cè)量結(jié)果的精確性。但若在垂直于Z軸的方向上有一定的偏移，偏移大小為δ，就會(huì)給測(cè)量結(jié)果引入偏移誤差；若在搭建檢測(cè)裝置過(guò)程中反射鏡的軸線沒(méi)有與Z軸重合，而是有一定夾角α，這就會(huì)給測(cè)量結(jié)果引入旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差，影響測(cè)量的精度。以上兩種失調(diào)誤差分析在圓柱內(nèi)表面的測(cè)量模擬中有討論過(guò)，由于設(shè)計(jì)的圓臺(tái)面反射鏡有特定的角度需求，且反射的相干光對(duì)角度敏感，在加工的過(guò)程中不可避免會(huì)存在著一定程度的角度誤差，所以在誤差分析中引入了第3種失調(diào)誤差即加工角度誤差。若加工的圓臺(tái)面反射鏡內(nèi)側(cè)傾斜角度并不是嚴(yán)格的45°，而是與設(shè)計(jì)值存在著角度為φ的誤差，這樣就會(huì)給測(cè)量結(jié)果引入加工角度誤差。為了便于計(jì)算，以圓柱底部圓心O為坐標(biāo)圓心，建立圓柱坐標(biāo)系，圓臺(tái)面反射鏡到參考鏡間的距離為S,分別計(jì)算表示出這3種失調(diào)誤差。

圖1 圓柱外表面測(cè)量原理圖Fig.1 Schematic of cylindrical outer surface measurement

2.1 偏移失調(diào)誤差

當(dāng)待測(cè)圓柱軸線與Z軸重合，為了方便計(jì)算，假設(shè)圓臺(tái)面反射鏡的軸線與Z軸平行且在X軸方向有大小為δ的偏移時(shí)，圓臺(tái)面反射鏡的其軸線與XOY平面交點(diǎn)由O點(diǎn)位置移動(dòng)到了O′點(diǎn)，偏移誤差光路示意圖如圖2所示。

圖2 偏移誤差示意圖Fig.2 Schematic of offset error

圖3為徑向截面的偏移誤差光路圖，由于反射鏡的軸線與Z軸平行，在準(zhǔn)直光的入射下，任意徑向截面上光的傳播規(guī)律都相同，因此通過(guò)對(duì)單一的徑向截面光路的研究，就可以表示出整個(gè)圓柱外表面的偏移誤差。

圖3 偏移失調(diào)誤差光路Fig.3 Optical path diagram of offset misalignment error

在圖3所示的二維坐標(biāo)系中，設(shè)圓柱外表面任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x0,y0），O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（x0?δ,y0）。由于徑向截面上的任意一點(diǎn)到干涉儀參考鏡的距離都是相等的，所以在計(jì)算光程差時(shí)，只用考慮在徑向截面上的光程差。當(dāng)不存在偏移誤差時(shí)，經(jīng)干涉儀系統(tǒng)發(fā)出的準(zhǔn)直光束在入射到檢測(cè)裝置后將原路返回，因此徑向截面上的光程可以表示為L(zhǎng)1=2AP。當(dāng)存在偏移誤差時(shí)，如圖3所示，入射到圓臺(tái)面B點(diǎn)的光，經(jīng)反射后同樣到達(dá)圓柱外表面P點(diǎn)，經(jīng)圓柱外表面反射到達(dá)圓臺(tái)面的的C點(diǎn)。此時(shí)的總光程可以表示為L(zhǎng)2=BP+PC。圖3中r1為待測(cè)圓柱的徑向截面半徑，r2為圓柱面反射鏡的徑向截面半徑，反射鏡沿X軸方向的偏移距離為δ，圓柱面上任意一點(diǎn)P和坐標(biāo)原點(diǎn)O的連線PO與X軸的夾角為β。根據(jù)圖3所示的幾何關(guān)系可以得到(1)～(6)關(guān)系式：

當(dāng)偏移量δ很小時(shí)，BP≈PC，用泰勒公式近似化簡(jiǎn)（2）式，聯(lián)立方程組可以解得OPDshifting=為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)，將直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系，有x0=r1cosβ，因此得到OPDshifting=2δcosβ，β∈[0,2π]。

2.2 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差

若在檢測(cè)裝調(diào)過(guò)程時(shí)，圓臺(tái)面反射鏡的軸線與Z軸有夾角為α，干涉測(cè)量的結(jié)果會(huì)存在著旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差。旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差示意圖如圖4所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差Fig.4 Schematic of rotation misalignment error

圖5是在有失調(diào)誤差的情況下，光在實(shí)際檢測(cè)中的傳播軌跡。當(dāng)圓臺(tái)面反射鏡軸心與Z軸重合即不存在失調(diào)誤差時(shí)，透射過(guò)參考鏡TF的光入射到圓臺(tái)面反射鏡內(nèi)表面Q點(diǎn)，經(jīng)反射后，垂直入射到待測(cè)圓柱外表面的P點(diǎn)，此后光將按照原光路返回。

如圖5中的幾何光路所示，光程L1=2HQ+2QP。當(dāng)圓臺(tái)面反射鏡的軸心傾斜且與Z軸的夾角為α?xí)r，透射過(guò)參考鏡的光入射到圓臺(tái)面反射鏡內(nèi)表面的點(diǎn)B，經(jīng)圓臺(tái)面反射鏡反射后斜入射到圓柱外表面的P點(diǎn)。由于旋轉(zhuǎn)誤差改變了光的理想傳播軌跡，所以光并不是垂直入射到圓柱外表面，光束便不能按照原光路返回。此時(shí)P點(diǎn)的光經(jīng)圓柱面反射后到達(dá)反射鏡內(nèi)表面的C點(diǎn)，最后入射到參考鏡上的D點(diǎn)。因而在存在著旋轉(zhuǎn)誤差的情況下，經(jīng)過(guò)圓柱外表面上任意一點(diǎn)P的光程為L(zhǎng)2=AB+BP+PC+CD。以圓柱底部圓心O為坐標(biāo)圓心，建立圓柱坐標(biāo)系。圖5中，M、N、T、P4個(gè)點(diǎn)的柱面坐標(biāo)分別為(0,0,zb)，(0,0,zp)，(0,0,zc)，(r,β,zp)。參考鏡到圓柱面反射鏡的距離為S,反射鏡的底部半徑為R,高為rm，待檢測(cè)圓柱高為h且rm≥h。圖5中α′隨著P點(diǎn)極角的變化而變化，α′=α·cosβ。經(jīng)分析可以得到(7)～(15)幾何關(guān)系式：

圖5 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差光路圖Fig.5 Optical path diagram of rotation misalignment error

光程差OPDrotation=L2?L1，由于旋轉(zhuǎn)角度α非常小，因此聯(lián)立上述方程并使用泰勒公式近似求解，得到圓柱外表面任意一點(diǎn)P的旋轉(zhuǎn)光程差：

2.3 加工角度誤差

檢測(cè)所用到的圓臺(tái)面反射鏡內(nèi)側(cè)斜面具有特定的傾斜角度45°，如若實(shí)際加工角度與設(shè)計(jì)角度有大小為φ的誤差，那么在測(cè)量結(jié)果中就會(huì)引入加工角度誤差，影響測(cè)量的精準(zhǔn)性。引入加工角度誤差的光路圖如圖6所示。

圖6 加工角度誤差光路圖Fig.6 Optical path diagram of processing angle error

當(dāng)不存在加工角度誤差時(shí)，透射過(guò)測(cè)量系統(tǒng)參考鏡的光，經(jīng)過(guò)圓柱面反射鏡的反射后垂直入射到圓柱外表面的P點(diǎn)，由于滿(mǎn)足可逆光路條件，準(zhǔn)直光束將原光路返回。具體光路如圖6所示，光程L1=2HQ+2QP。當(dāng)存在加工角度誤差且誤差角度為φ時(shí)，入射到圓柱外表面同一點(diǎn)P的光程為L(zhǎng)2=AB+BP+PC+CD。以圓柱底部圓心O為坐標(biāo)圓心，建立圓柱坐標(biāo)系。參考鏡到圓柱面反射鏡的距離為S，反射鏡的底部半徑為R，高為rm，待檢測(cè)圓柱高為h且rm≥h。圖中φ′隨著P點(diǎn)極角的變化而變化，φ′=φ·cosβ。根據(jù)上圖的幾何關(guān)系可以得到(17)～(25)等式：

當(dāng)加工角度誤差φ非常小時(shí)，使用泰勒公式近似求解可得：

3 誤差仿真模擬

3.1 偏移失調(diào)誤差干涉條紋模擬

當(dāng)只存在偏移失調(diào)誤差時(shí)，根據(jù)偏移量δ的大小，干涉條紋的變化如圖7所示。圖7為偏移誤差量δ分別為0.1 mm、0.3 mm、0.6 mm、0.9 mm時(shí)的干涉條紋圖，從中可以看出干涉條紋為直條紋且偏移誤差量每增加一倍，干涉條紋的數(shù)目也增加一倍，偏移量對(duì)干涉有著較大的影響。

圖7 不同偏移誤差的干涉條紋圖Fig.7 Interference fringe patterns with different offset errors

3.2 旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差干涉條紋模擬

當(dāng)只存在旋轉(zhuǎn)失調(diào)誤差時(shí)，隨著圓臺(tái)面反射鏡軸線與Z軸夾角α的改變，干涉條紋如圖8所示。圖8是旋轉(zhuǎn)誤差角度α分別為0.001°、0.003°、0.006°和0.009°時(shí)的干涉條紋圖。從中可以看到，隨著旋轉(zhuǎn)誤差角度的增大，干涉條紋的彎曲程度與數(shù)目有明顯的增大，對(duì)實(shí)際測(cè)量的精度有較大程度的影響。

圖8 不同旋轉(zhuǎn)誤差的干涉條紋圖Fig.8 Interference fringe patterns with different rotation errors

3.3 加工角度誤差干涉條紋模擬

當(dāng)只存在反射鏡內(nèi)側(cè)面加工角度誤差，且與理想設(shè)計(jì)角度45°的差值為φ時(shí)，隨著加工角度誤差φ的變化，干涉條紋如圖9所示。

圖9 不同加工角度誤差的干涉條紋圖Fig.9 Interference fringe patterns with different processing angle errors

圖9是加工角度誤差φ分別為0.001°、0.003°、0.006°和0.009°時(shí)的干涉條紋圖，很明顯可以看出干涉條紋的數(shù)量與φ存在著正比的關(guān)系。在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，為了保證測(cè)量的精度，必須要將這些誤差剔除。

4 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

圓柱外表面粗糙度測(cè)量實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示，實(shí)驗(yàn)裝置使用6″口徑菲索型干涉儀、兩個(gè)五維支架（分別固定被測(cè)圓柱和圓臺(tái)面反射鏡），干涉儀使用的光源波長(zhǎng)為632.8 nm。

圖10 實(shí)驗(yàn)實(shí)測(cè)裝置圖Fig.10 Experimental device diagram

被測(cè)圓柱樣品的直徑為20 mm，高為50 mm。圓臺(tái)面反射鏡的高為30 mm，底部空心圓環(huán)的直徑為40 mm。圖11是將3種失調(diào)誤差按一定量組合后的干涉條紋圖。

圖11 三種誤差組合后干涉條紋圖Fig.11 Interference fringe pattern after combination of three kinds of errors

實(shí)際測(cè)量得到的干涉條紋與圓柱外表面的形貌信息如圖12所示。

圖12 實(shí)驗(yàn)測(cè)量圖Fig.12 Experimental measurement diagram

5 結(jié)論

設(shè)計(jì)了一種可以一次性測(cè)量圓柱外表面粗糙度的方法，分析3種失調(diào)誤差對(duì)測(cè)量精度的影響，找到光的實(shí)際傳播規(guī)律，在圓柱坐標(biāo)系下建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)公式將失調(diào)誤差對(duì)干涉條紋的影響表示出來(lái)。根據(jù)推導(dǎo)出的幾種失調(diào)誤差公式，使用Matlab 軟件模擬出對(duì)應(yīng)誤差下的干涉條紋圖。將3種失調(diào)誤差適當(dāng)?shù)亟M合在一起，對(duì)比實(shí)驗(yàn)測(cè)量的干涉條紋圖，調(diào)整實(shí)驗(yàn)裝置，減少誤差量引入。使用模擬結(jié)果指導(dǎo)實(shí)際測(cè)量，提高測(cè)量的精確度，準(zhǔn)確得到圓柱外表面的形貌信息。