基于粒子群算法的斜拉橋恒載索力優(yōu)化

趙凱，樊建房

1.山東高速工程檢測(cè)有限公司，山東 濟(jì)南 250000；2.山東魯東路橋有限責(zé)任公司，山東 東營(yíng) 257000

0 引言

斜拉橋是通過斜拉索提供的初始張力和剛度，實(shí)現(xiàn)跨越能力提升的一種復(fù)雜的高階超靜定結(jié)構(gòu)。拉索的成橋索力在斜拉橋的設(shè)計(jì)中尤為重要，決定著結(jié)構(gòu)的安全與否［1］。目前，針對(duì)斜拉橋的索力計(jì)算提出很多方法。文獻(xiàn)［2-4］采用優(yōu)化零位移法確定斜拉橋拉索的索力；文獻(xiàn)［5-7］采用優(yōu)化剛性支撐連續(xù)梁法獲得斜拉橋的合理恒載索力；文獻(xiàn)［8-10］采用應(yīng)力平衡法優(yōu)化斜拉橋的恒載索力；文獻(xiàn)［11-13］采用彎曲能量最小法確定斜拉橋的恒載索力；文獻(xiàn)［14-16］分別采用線性規(guī)劃算法、最小二乘法、罰函數(shù)法等數(shù)學(xué)方法優(yōu)化斜拉橋的恒載索力；文獻(xiàn)［17］以某主跨318m的鋼箱梁斜拉橋主梁和橋塔的彎曲能量為目標(biāo)函數(shù)，采用乘子-Newton優(yōu)化算法確定鋼箱梁斜拉橋的合理成橋狀態(tài)；文獻(xiàn)［18］以結(jié)構(gòu)最小加權(quán)彎曲應(yīng)變能為目標(biāo)函數(shù)，以索力、位移、彎矩為約束條件建立斜拉橋成橋索力優(yōu)化模型，并采用多種群遺傳算法優(yōu)化大跨斜拉橋的成橋索力；文獻(xiàn)［19］依據(jù)影響矩陣調(diào)值原理，提出以結(jié)構(gòu)整體彎矩最小為目標(biāo)，關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的位移為約束條件的斜拉橋索力優(yōu)化方法。隨著優(yōu)化理論與方法的發(fā)展，出現(xiàn)了遺傳算法、粒子群算法等諸多智能算法［20-21］，其中粒子群算法具有理論易懂、參數(shù)少、收斂快速等特點(diǎn)。本文采用粒子群優(yōu)化算法對(duì)斜拉橋恒載索力進(jìn)行優(yōu)化，以主梁與主塔的彎曲能量為目標(biāo)函數(shù)，并限定約束條件，通過罰函數(shù)將目標(biāo)函數(shù)與約束條件轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束優(yōu)化問題，利用粒子群算法計(jì)算斜拉橋在恒載作用下的最優(yōu)索力，并結(jié)合實(shí)際應(yīng)用工程，通過與其他算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，分析粒子群優(yōu)化算法的可靠性與優(yōu)越性。

1 斜拉橋恒載索力優(yōu)化模型

1.1 目標(biāo)函數(shù)

以主梁與主塔的彎曲能量為目標(biāo)函數(shù)，通過優(yōu)化該目標(biāo)函數(shù)，可全面反映主梁和主塔結(jié)構(gòu)的位移和內(nèi)力狀態(tài)［22］。該目標(biāo)函數(shù)為：

式中：M為截面彎矩，E為材料彈性模量，I為截面慣性矩。

采用有限元方法將結(jié)構(gòu)離散為桿系單元時(shí)，假設(shè)各單元的材料彈性模量Ei和截面慣性矩Ii在單元長(zhǎng)度內(nèi)不變，則

式中：m為主梁和橋塔單元的數(shù)量，Li為第i個(gè)單元的桿件長(zhǎng)度，Mli、Mri分別為第i個(gè)單元左右端的彎矩。

1.2 設(shè)計(jì)變量

把成橋狀態(tài)斜拉索的索力視為未知量，設(shè)斜拉橋全橋共有完全獨(dú)立的n對(duì)拉索，則n對(duì)拉索的索力

式中T1、T2、…、Tn分別為各對(duì)斜拉索的索力。

1.3 約束條件

1.3.1 索力

為了保障斜拉索建模的準(zhǔn)確性，拉索使用過程中最小索力都應(yīng)大于0，最小索力可通過拉索的使用效率確定。所以，拉索索力的約束條件為：

式中Tu、Tl分別為索力的上下限值。

1.3.2 索力的均勻性

若僅以式（3）作為約束條件，優(yōu)化過程容易收斂到一個(gè)波動(dòng)較大的索力分布結(jié)果，顯然這種索力分布是不合理的，因此加入對(duì)索力均勻性的約束。引入相鄰斜拉索的不均勻索力矩陣來約束相鄰索力間的均勻性要求。設(shè)相鄰連續(xù)3根斜拉索的索力分別為Ti-1、Ti、Ti+1，則定義不均勻索力

寫成矩陣形式為：

則索力均勻性的約束條件為：

式中：Z1和Zu分別為不均勻索力的上下限值，其合理值可由試算確定。

1.3.3 位移

斜拉橋在恒載作用下的索力優(yōu)化主要考慮主梁與主塔的彎矩及應(yīng)力，主梁與主塔的位移可利用設(shè)置預(yù)拱度的方法調(diào)整，結(jié)構(gòu)變形能直觀反映全橋的設(shè)計(jì)是否合理，因此，有必要設(shè)置位移約束條件［23］。主梁與主塔位移的約束條件為：

式中Su、S1分別為主梁與主塔位移的上下限值。

1.3.4 應(yīng)力

在恒載作用下，斜拉橋的主梁彎矩分布均勻，主梁各構(gòu)件應(yīng)力包絡(luò)規(guī)范，主梁以及主塔的截面應(yīng)力不超限。主梁與主塔的應(yīng)力的約束條件為：

式中σu、σl分別為主梁與主塔截面應(yīng)力的上下限值。

1.4 優(yōu)化模型的建立

綜上所述，索力優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型為：

式中：f（t）為索力優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，gj（t）為約束函數(shù)，k為約束條件的數(shù)目。

2 粒子群算法索力優(yōu)化

2.1 粒子群算法的基本原理

粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization algorithm，PSO）是一種基于群智能的尋優(yōu)計(jì)算方法。粒子群算法的原理是把每個(gè)個(gè)體視為在N維搜索空間中以一定速度飛行的粒子，每個(gè)粒子都有自己的位置、速度以及適應(yīng)度（適應(yīng)度可通過目標(biāo)函數(shù)確定），同時(shí)每個(gè)粒子都會(huì)在移動(dòng)過程中不斷記下自己所到達(dá)過的最好位置以及目前所在的位置。除此之外，該群中的每個(gè)粒子都會(huì)將自身信息分享，即每個(gè)粒子都會(huì)獲得至今為止整個(gè)粒子群體中所經(jīng)歷過的最好位置。粒子就是不斷利用自己的經(jīng)驗(yàn)和與群體成員的經(jīng)驗(yàn)分享來決定自身運(yùn)動(dòng)，從而到達(dá)整個(gè)N維空間里的最佳位置［24-25］。

2.2 索力優(yōu)化求解步驟

采用粒子群算法對(duì)斜拉橋恒載索力進(jìn)行優(yōu)化，算法流程如圖1所示。

1）根據(jù)預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋的結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)，建立斜拉橋有限元模型，劃分單元，提取Li、Ii及 Ei的矩陣；

2）對(duì)斜拉橋賦予單位初拉力，進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，確定索力、位移、彎矩等的影響矩陣，計(jì)算結(jié)構(gòu)在恒載作用下的索力、位移、彎矩等，建立索力優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)；

3）明確索力優(yōu)化的約束條件，利用罰函數(shù)法將約束條件及目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o約束的最優(yōu)化問題；

4）運(yùn)用MATLAB編寫粒子群算法程序，初始化粒子的位置和速度，調(diào)用無約束目標(biāo)函數(shù)計(jì)算其適應(yīng)度，同時(shí)找尋單體及群體極值，利用速度和位置的更新方程重新確定粒子的速度和位置；

5）判斷上一步計(jì)算結(jié)果是否滿足終止條件，若達(dá)到終止條件，則停止迭代，所得結(jié)果即為所求斜拉索拉力；如果不滿足，則重新計(jì)算適應(yīng)度值，并不斷迭代直到滿足條件為止。

圖1 粒子群優(yōu)化算法流程

3 工程實(shí)例

3.1 工程概況

某預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋?yàn)殡p塔斜拉橋，跨徑為660（50+120+320+120+50）m。斜拉索布置在中跨及邊跨，索面為豎琴式，雙索面布置。索塔為柱式結(jié)構(gòu)，其非錨固區(qū)段采用普通鋼筋混凝土，牛腿采用預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)。該雙塔斜拉橋立面布置如圖2所示（圖2中單位為cm），主要材料參數(shù)如表1所示。

圖2 某雙塔預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋總體布置

表1 預(yù)應(yīng)力混凝土雙塔斜拉橋主要材料參數(shù)

3.2 有限元模型

采用MIDASCIVIL 2013建立該橋有限元模型，考慮全橋在縱橋向?qū)ΨQ布置，故僅取左半橋?yàn)檠芯繉?duì)象。主梁建模采用“魚骨形”模擬，通過桁架單元模擬斜拉索，通過彈性連接模擬主梁及拉索的聯(lián)系，主塔及主梁的邊界條件按照實(shí)際狀況添加。通過有限元軟件建模計(jì)算時(shí)，忽略施工階段的影響因素，采用一次落架方式計(jì)算。左半橋有限元模型如圖3所示。

3.3 優(yōu)化模型

利用式（4）（5），通過主梁結(jié)構(gòu)最小彎曲應(yīng)變能優(yōu)化恒載斜拉橋的索力，同時(shí)考慮斜拉索的疲勞效應(yīng)，并限定成橋約束條件。

1）索力約束條件。2000 kN≤Ti≤0.4fpkiAi，其中fpki為第i號(hào)斜拉索的標(biāo)準(zhǔn)抗拉強(qiáng)度，Ai為第i號(hào)斜拉索的截面面積。索力均勻性約束條件上、下限分別為800 kN、-800 kN。

2）位移約束條件。 主梁：-20 mm≤δi≤100 mm，主塔：-20 mm≤δi≤30 mm；

3）應(yīng)力約束條件。 主梁與主塔：-15 MPa≤σi≤0.5 MPa。

將上述約束條件通過罰因子添加到式（7）中，根據(jù)文獻(xiàn)［26］將有約束目標(biāo)函數(shù)擴(kuò)展為無約束目標(biāo)函數(shù)

式中：μ為約束控制參數(shù)；αj為罰因子，j=1，2，…，z，z為約束條件數(shù)；gi（t）為約束條件。

3.4 優(yōu)化分析結(jié)果

為保障粒子群算法的準(zhǔn)確性，把優(yōu)化計(jì)算的數(shù)據(jù)與剛性支承連續(xù)梁法和無約束最小彎曲能量法的計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。在恒載作用下，以式（8）為目標(biāo)函數(shù)計(jì)算得到斜拉索索力分布如圖4所示。剛性支承連續(xù)梁法及無約束最小彎曲能量法的優(yōu)化索力分布如圖5所示。

圖3 左半橋有限元模型

圖4 粒子群優(yōu)化算法斜拉索索力分布

圖5 剛性支承連續(xù)梁法與無約束最小彎曲能量法斜拉索索力

由圖4可知：拉索索力為6 114.53～8 919.71 kN，最大索力在邊跨側(cè)斜拉索B10處，最小索力在邊跨側(cè)斜拉索B22處，拉索索力分布較為均勻。由圖5可知：用剛性支承連續(xù)梁法優(yōu)化的索力分布不均勻，且出現(xiàn)負(fù)索力，與實(shí)際情況相悖，這是由于該方法只考慮主梁位移及受力情況所致；無約束最小彎曲能量法優(yōu)化后的索力也出現(xiàn)負(fù)值，原因可能是缺少約束條件。

在恒載作用下，3種算法得到的主梁應(yīng)力分布如圖6、7所示（圖中主梁縱向位置指主梁至主塔的縱向距離）。由圖6可知：主梁上緣未出現(xiàn)拉應(yīng)力情況，符合全預(yù)應(yīng)力混凝土設(shè)計(jì)要求；粒子群算法優(yōu)化得到主梁上緣最大壓應(yīng)力為12.6 MPa，與剛性支承連續(xù)梁的優(yōu)化結(jié)果相比小30.1%，與無約束最小彎曲能量法的優(yōu)化結(jié)果相比大11.9%，但遠(yuǎn)小于混凝土主梁設(shè)計(jì)抗壓強(qiáng)度。由圖7可知：恒載作用下粒子群優(yōu)化算法所得主梁下緣未出現(xiàn)拉應(yīng)力，主梁下緣最大壓應(yīng)力為12.9 MPa，比剛性支承連續(xù)梁的優(yōu)化結(jié)果小37.8%，比無約束最小彎曲能量法的優(yōu)化結(jié)果大15.5%。由于本文粒子群優(yōu)化算法是在給定的約束條件下優(yōu)化尋找最優(yōu)索力，優(yōu)化后的主梁應(yīng)力比無約束最小彎曲能量法優(yōu)化所得結(jié)果略大，這在情理之中。

圖6 恒載狀態(tài)主梁上緣應(yīng)力分布

圖7 恒載狀態(tài)主梁下緣應(yīng)力分布

恒載作用下3種算法得到主塔的應(yīng)力分布如圖8、9所示（圖中主塔縱向位置指主塔距上下塔柱分界面的縱向距離）。圖8、9左側(cè)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)粒子群算法與無約束最小彎曲能量法優(yōu)化后主塔截面的應(yīng)力，右側(cè)縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)剛性支承連續(xù)梁優(yōu)化后主塔截面的應(yīng)力。由圖8、9可知：粒子群優(yōu)化算法所得主塔截面邊跨側(cè)及中跨側(cè)均未出現(xiàn)拉應(yīng)力情況，主塔截面最大壓應(yīng)力邊跨側(cè)為12.5 MPa、中跨側(cè)為9.06 MPa；無約束優(yōu)化最小彎曲能量法優(yōu)化所得主塔截面最大壓應(yīng)力邊跨側(cè)為10.2 MPa、中跨側(cè)為9.54 MPa。2種方法優(yōu)化結(jié)果差別不大。剛性支承連續(xù)梁優(yōu)化所得主塔的最大壓應(yīng)力與拉應(yīng)力分別為88.4、71.9 MPa，大大超出了主塔混凝土的極限強(qiáng)度。

圖8 恒載狀態(tài)下主塔邊跨側(cè)應(yīng)力分布

圖9 恒載狀態(tài)下主塔中跨側(cè)應(yīng)力分布

4 結(jié)論

1）剛性支承連續(xù)梁法由于僅考慮了主梁的位移和彎矩，導(dǎo)致索力分布不均勻且出現(xiàn)負(fù)索力現(xiàn)象；無約束最小彎曲能量法未限定約束條件，結(jié)果亦不能滿足實(shí)際要求，兩者均需要大量的人為調(diào)索工作。

2）粒子群優(yōu)化算法能在給定約束條件下尋找最優(yōu)狀態(tài)，使斜拉橋在給定狀態(tài)下索力分布均勻，主梁、主塔應(yīng)力合理，且結(jié)構(gòu)位移能控制在約束條件內(nèi)；該方法建模簡(jiǎn)單、計(jì)算方便、結(jié)果精確，降低了利用無約束最小彎曲能量法及剛性支承連續(xù)梁法優(yōu)化索力時(shí)人工調(diào)索的影響，從而更易獲得接近真實(shí)成橋狀態(tài)的索力。