潮汐能量耗散與地月系統(tǒng)演化?

高布錫

(中國科學院精密測量科學與技術創(chuàng)新研究院武漢430077)

1 緒論

地月之間距離的長期變化, 主要是由于月球引起的潮汐耗散引起的. 月球?qū)Ｑ笊铣毕∑鸬奈⑿∫κ窃嫉囊绷? 它正比于潮汐的高度, 而海潮高度反比于地月之間距離的立方[1]. 因此利用開普勒第3定律, 可以導出月球的引潮力位正比于月球平均運動的平方. 根據(jù)月球的平均運動以及它的加速度, 月潮的能量耗散可以被計算出來. 如果采用現(xiàn)代的月球平均運動加速度值?25.90′′·cy?2, 地月距離的演化就能被反推出來[2].但是計算結果顯示, 在28億年前地月距離迅速減小, 甚至趨向于零. 某些學者推算地月系的演化過程也得到了同樣的結果[3–7]. 這個事件被稱為格斯科恩事件, 顯然這是不可能的. 因此采用現(xiàn)在的月球平均運動加速度值來反推地月系統(tǒng)的演化, 顯然是不合適的.現(xiàn)在月球平均運動加速度值為?25.90′′·cy?2, 它大于用古生物鐘給出的結果. 如果采用月球平均運動加速度值為?20.72′′·cy?2, 它等于現(xiàn)在月球平均運動加速度值的0.8倍, 則推算結果表明, 在35億年前地月距離是0.18百萬公里. 因此直到35億年前格斯科恩事件都可以避免.

地球自轉(zhuǎn)速率變化的長期項主要受3個因素影響. 最主要的貢獻是月球潮, 第2個因素是太陽潮. 由于地球位相的變化, 月球潮和太陽潮總是互相加強或者抵消, Gao[8–9]曾估計太陽潮貢獻的能量耗散僅僅是月球潮的1/6. 第3個因素是地球極角動量矩的變化.太陽潮和地球極角動量矩變化對月球自轉(zhuǎn)長期變化的貢獻可以認為是固定的. 因此可以推導出過去35億年以來的回歸年日數(shù)變化. 例如在33億年前, 日長約為9.6 h, 一個回歸年中有913.2 d.

在大碰撞之后[10], 吸積過程曾使得月球達到融化的溫度[11]. 但是根據(jù)熱模型顯示,月殼在50–100百萬年間迅速冷卻[12]. 隨后從40到38億年前發(fā)生了后期大轟炸事件[13].月球自轉(zhuǎn)形成與軌道同步應該是在后期大轟炸事件之前. 由于早期月球離地球很近以及地球的強大引力場, 絕大多數(shù)隕石落在了月球的背面, 它們形成了厚厚的覆蓋層, 并且導致了月球的形狀中心對月球質(zhì)心有1117 m的偏離(根據(jù)嫦娥月球模型CE-1). 雖然現(xiàn)在的月球沒有磁場, 但是月球巖石顯示在39–36億年前曾有剩余磁場[14]. 所以可以估計除月核外月球的凝固時間大約在35億年前.

假定月球在自轉(zhuǎn)離心力和地球的引潮力作用下形成三軸橢球體, 月球表面形成等位面. 再假定月球冷卻后一直保持它的化石形狀至今, 那么根據(jù)月球的三軸橢球體形狀可以算出在35億年前, 地月距離應該等于1.7455×108m, 月球的自轉(zhuǎn)周期等于3.652 d[15–16]. 根據(jù)開普勒第3定律, 恒星月的長度應該等于8.34 d. 但是后期大轟炸可能部分地破壞了月球的平衡面形狀, 因此上述關于地月距離以及月球自轉(zhuǎn)周期的數(shù)值可能并不精確.

2 地月距離的演化

月球引起的潮汐摩擦耗散使得地月距離逐漸變大, 并使得地球自轉(zhuǎn)逐漸變慢. 海洋上的潮汐隆起總是略微超前于月球軌道, 并且產(chǎn)生一個小的引力拖住月球, 這個力等于總的潮汐摩擦力. 潮汐與地球表面的摩擦力使得地球自轉(zhuǎn)變慢. 月球?qū)Τ毕∑鸬囊φ扔诔毕∑鸬馁|(zhì)量, 而潮汐隆起的質(zhì)量正比于潮汐的高度. 所以可以簡單地假定潮汐摩擦力正比于潮汐的高度(見圖1). 潮汐的高度反比于r3, 在這r是地月之間的距離[1]. 應用開普勒第3定律n2r3=f(M+m), 可以導出月潮引起的潮汐摩擦耗散正比于月球的平均運動n的平方, 其中,f是萬有引力常數(shù),M、m分別是地球質(zhì)量. 因此t為時間. 在這C和ω分別是地球的極慣量矩和自轉(zhuǎn)角速度. 根據(jù)地月系統(tǒng)的角動量守恒定律, 可以給出[8–9]：

i是月球軌道的傾角,K是常數(shù). 不考慮太陽潮的影響, 假設地球的極慣量矩C是常數(shù), 利用(1)式, 月球平均運動n的演化可以用(2)式計算：

A是一個常數(shù), 它可以從求得.n0是現(xiàn)在的月球平均運動,0是現(xiàn)在月球平均運動的長期加速度. 將(2)式積分, 可以得到：

其中,t0為起始時間.

圖1 月潮引起的能量耗散正比于海洋潮汐的高度Fig.1 Energy dissipated by lunar tide is proportional to oceanic tidal height

為了計算現(xiàn)在的月球平均運動長期加速度值0, 1995年Yoder[2]根據(jù)多種不同測量方法得到了數(shù)值相互符合的結果. 不妨取

由此可算出現(xiàn)在地月平均距離每年增加3.83 cm. 現(xiàn)在月球n0= 13.17636?·d?1, 根據(jù)n0和0的數(shù)值, 利用(3)式可以得到計算n的公式：

利用開普勒第3定律, 可用下式計算地月距離,

現(xiàn)在的月球平均運動加速度絕對值是比較大的, 它比自奧陶紀(the Ordovician age)以來用古生物鐘獲得的平均數(shù)值大1.4倍[17]. 1982年Webb[7]采用半球海洋模型發(fā)現(xiàn),假如地球自轉(zhuǎn)速率比現(xiàn)在的數(shù)值增大1倍, 那么在海洋中的潮汐能量耗散將減少約1/3.大陸漂移大約發(fā)生在兩億年前, 它改變了海洋的形狀, 分裂的大陸可能更強烈地阻止潮汐的流動, 增加了潮汐能量耗散. 因此現(xiàn)在的潮汐能量耗散可能是有史以來最大的. 但兩億年相對于35億年的地球演化歷史是個很短的時間, 因此在以下的計算中將忽略由于大陸漂移造成的影響.

利用(6)式并采用絕對值較小的月球加速度值?20.72′′·cy?2, 就可以算出35億年以來地月距離的演化. 在圖2中用實線表示了這個變化.

圖2 過去35億年來地月距離的變化Fig.2 The change of distance between Earth-Moon during past 3.5 billion years

3 地球自轉(zhuǎn)速率的演化

有3種因素影響地球自轉(zhuǎn)速率的長期變化, 它們是月球和太陽引起的潮汐耗散以及地球的極慣量矩的變化. 設是地球自轉(zhuǎn)角速度的變化率, 有

其中,mt為月潮引起的地球自轉(zhuǎn)速率變化,st為太陽潮引起的地球自轉(zhuǎn)速率變化,nt為非潮汐因素引起的地球自轉(zhuǎn)速率變化.

潮汐能量耗散主要是由于月潮引起的. 暫不考慮日潮的影響以及地球極慣量矩的變化, 利用(1)式, 可給出月潮引起的地球的自轉(zhuǎn)速率變化公式,

將(8)式積分, 就可以導出計算ωmt的公式,

利用(5)、(9)和(10)式, 可以求得上溯到35億年前ω的數(shù)值. 考慮到日月潮汐摩擦以及地球慣量矩的變化, 可以算出, 現(xiàn)在=?5.405×10?22s?2, 相對于日長的長期變化為2.01 ms/cy.

用N表示回歸年日數(shù), 可以用下式求得[8–9],

在圖3中描述了35億年來回歸年日數(shù)N的變化, 可以看出在34億年前回歸年日數(shù)等于1000 d左右.

圖3 過去35億年來回歸年日數(shù)的變化Fig.3 The days in a tropical year during past 3.5 billion years

4 古生物鐘數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)的比較

最重要的古生物鐘是珊瑚、貝類以及藍藻形成的疊層石化石. 某些軟體動物的殼保存了一些連續(xù)的層, 它們反映了天文現(xiàn)象的周期變化. 周日結構的生長與太陽的照射以及潮汐高度的變化有關. 古生物鐘化石累積的沉積層密度的變化反映了季節(jié)變化, 從而給出了回歸年日數(shù)的數(shù)據(jù). 沉積層密度的變化也反映了潮汐的逐日變化, 從而給出了朔望月日數(shù)的數(shù)據(jù). 因此測量古生物鐘的層狀結構可以知道古地質(zhì)時期時的回歸年日數(shù)和朔望月日數(shù).

在圖3中, 用不同符號標識了采用不同的古生物鐘化石求得的回歸年日數(shù)變化. 但是珊瑚和軟體動物的結果只能給到5億年前. 疊層石是最古老的古生物鐘, 至今為止,只有疊層石的資料可以提供在寒武紀時反映地球自轉(zhuǎn)歷史的資料. Pannella[19]曾研究最古老的疊層石(28億年前)顯示了由于潮汐變化而產(chǎn)生的周期為10、20和40 d的變化.從Biwabik得到的疊層石化石顯示在20億年前一年有800–900 d[20]. 然而更古老的疊層石的數(shù)據(jù)并沒有能夠提供季節(jié)變化的數(shù)據(jù). 其原因是這些疊層石化石的層狀圖像, 特別是季節(jié)的圖像十分不清楚.

在太古紀(28億年前)早期太陽的光度是微弱的[21], 但是早期的地球大氣富含CO2、CH4和N2. 由于溫室效應地球氣候是溫暖的[22], 使得藍藻大量增加, 藍藻的光合作用使得大氣中的二氧化碳含量急劇減少, 氧氣成分增加. 由于藍藻的沉積和粘合形成了疊層石. 太古紀的鋯石表明在44億年前地球表面有水[13], 為了解釋疊層石的形成同樣也需要假設在38億年前地球表面有液態(tài)水的海洋. 疊層石的沉積層提供了朔望月日數(shù), 但是由于有周日潮和半日潮, 在1 d中可形成雙沉積線. 因此預先知道合理的天文韻律, 對于做出正確判斷是很重要的[11]. 另外一種地球古自轉(zhuǎn)的證據(jù)是細砂粒沉積形成的韻律.在7.5–6.5億年前, 在澳大利亞Neoproterozoic沙礫的沉淀層, 被解釋為是記錄了古潮汐周期的韻律[23–24], 其結果顯示在6.5億年前每年有13個月和450 d.

假定回歸年的長度是固定的, 那么根據(jù)地月距離數(shù)值, 就可以推算出恒星月的長度.在本文中已經(jīng)求出了回歸年日數(shù), 因此朔望月的日數(shù)(N2)也能夠計算出來, 計算結果見圖4. 可以看出直到28億年前在N2的變化是很小的, 其最大值是在約18億年前, 一個朔望月約有32.4 d. 根據(jù)古生物鐘資料得到的朔望月日數(shù)與圖4中的曲線符合很好[19,25].在28億年前N2的數(shù)值很快減少到20 d. Pannella[19]、Cao[26]和Zhu等[27]曾經(jīng)在古老的疊層石化石中發(fā)現(xiàn)了40–45 d的潮汐生長線, 作者認為它們很可能是朔望月周期的加倍.

圖4 過去35億年來朔望月日數(shù)的變化Fig.4 The days in a synodic month during past 3.5 billion years

利用不同的古生物鐘和沙粒沉淀形成的韻律所求得的回歸年日數(shù)被采用不同的符號標志在圖3上. 可以看出直到8億年前, 古生物鐘的結果與理論結果都是符合得很好的.但是8億年前疊層石的數(shù)據(jù)大于理論值. 在20億年前回歸年日數(shù)等于800–900 d太大了,是不可能的. 1972年Pannella[19]曾經(jīng)指出在疊層石的9–10個沉淀線之后緊隨著4–5個沉淀線是經(jīng)常發(fā)生的. 由于1 d內(nèi)有兩個潮峰, 并且在太古紀疊層石化石的季節(jié)韻律是十分不清楚的, 所以這些疊層石給出的回歸年日數(shù)的變化結果是值得商榷的, 但是給出的朔望月日數(shù)的變化, 即潮汐周期的變化是很有意義的, 它較好地反映了地球的古自轉(zhuǎn)歷史.

5 總結

30億年以來潮汐能量耗散成為影響地月系統(tǒng)演化的重要因素. 地月距離變得越來越遠, 地球的自轉(zhuǎn)速率也變得越來越慢. 在本文中給出了地月距離和回歸年日數(shù)的演化曲線. 理論數(shù)據(jù)與古生物鐘的結果直到8億年前都基本上符合.

忽略太陽潮引起的能量耗散, 地月系統(tǒng)的角動量守恒是正確的. 但是地月系統(tǒng)的能量守恒是不正確的. 由于月球潮汐引起的摩擦使得地球自轉(zhuǎn)角速度變慢, 現(xiàn)在數(shù)值為=?6.145×10?22s?2. 因此地球自轉(zhuǎn)的能量耗散率為?3.6×1019erg/s. 同樣根據(jù)月球平均運動的加速度0=?25.90′′·cy?2可以算出月球軌道運動的能量增加值為1.22×1018erg/s. 因此只有約3%的地球自轉(zhuǎn)能轉(zhuǎn)化為月球的軌道運動能. 絕大部分能量(約97%)耗散在地球表面上.

地月系統(tǒng)的演化過程是十分復雜的. 大氣、海洋以及大陸的變化都能夠影響地球自轉(zhuǎn)速率的演化, 例如, 在1991年Young[28]曾經(jīng)指出至少在大陸上有11個主要的冰期被確認, 冰期存在的時間大約占地球歷史的5%–10%. 在冰期時許多海洋都凍結了, 所以潮汐能量耗散將變得較小, 因此地月系統(tǒng)的動力學演化過程將變慢. 在本文中, 只是給出了地月系統(tǒng)的大致演化過程. 還有許多其他的自然因素也會影響地月系統(tǒng)的動力學演化,它們都需要更多的古地質(zhì)資料才能估計.致謝 感謝鐘敏教授和張子占博士的幫助.