基于應(yīng)變的變形副反射面位姿形貌快速重構(gòu)方法?

許 謙 王從思 易樂天

(1 中國科學(xué)院新疆天文臺烏魯木齊830011)(2 中國科學(xué)院射電天文重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室烏魯木齊830011)(3 西安電子科技大學(xué)電子裝備結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室西安710071)

1 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步, 反射面天線日益廣泛地應(yīng)用在天文觀測、雷達(dá)與衛(wèi)星通信等方面. 其中, 大型雙反射面天線因其增益高且結(jié)構(gòu)簡單的特點(diǎn)成為最常用的地面衛(wèi)星通信站天線.

近年來衛(wèi)星通信發(fā)展迅猛, 大型雙反射面天線的口徑、頻段也在不斷地增加, 對天線的指向精度、增益損失等技術(shù)指標(biāo)的要求也越來越嚴(yán)格, 這給天線的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)帶來了很多挑戰(zhàn). 然而, 為實(shí)現(xiàn)大口徑、高頻段雙反射面天線的高靈敏度和高分辨率, 其方位座架需要能夠?qū)Ψ瓷潴w部分進(jìn)行方位俯仰的實(shí)時性調(diào)整, 這要求反射體部分的剛度不能過強(qiáng), 否則將導(dǎo)致天線結(jié)構(gòu)過于笨重. 與此同時, 在實(shí)際工作時天線需要長期暴露在自然環(huán)境中, 其反射體容易受到自重以及風(fēng)荷、雨雪、太陽照射等環(huán)境因素的影響而產(chǎn)生變形, 其中副反射面的位姿和形貌很容易發(fā)生變化, 這會導(dǎo)致主副反射面位置匹配失調(diào), 使天線的電性能逐步惡化, 如增益下降、指向偏離和副瓣電平升高. 因此, 如何快速、實(shí)時且更加精準(zhǔn)地重構(gòu)副反射面位姿、形貌, 對于提升大型雙反射面天線工作性能有很重要的意義[1–7].

為了獲取更精準(zhǔn)的副面, 常用的方法是基于反射面天線機(jī)電耦合的思想, 通過遠(yuǎn)場方向圖與口徑場的相位誤差來反推副面形貌. 文獻(xiàn)[8]采用高效的射線追蹤和新的插值方法來達(dá)到對副反射面更高精度的擬合, 文獻(xiàn)[9]用Jacobi-Fourier全局展開式來表示成形的反射器表面. 區(qū)別于上述方法, 本文基于應(yīng)變傳感器和模態(tài)疊加原理, 分別通過采集天線發(fā)生變形后副反射面支撐腿、副反射面自身的應(yīng)變值來重構(gòu)副反射面的位姿、形貌[10–11].

2 副反射面位姿形貌重構(gòu)

假設(shè)在副反射面支撐腿上按照一定的規(guī)律布置n個應(yīng)變傳感器, 應(yīng)變傳感器的測量值為εn×1= [ε1,ε2,···,εn]T, 且設(shè)副反射面支撐腿與副反射面連接處的節(jié)點(diǎn)個數(shù)為m,其中εn表示第n個應(yīng)變傳感器的測量值.

利用ANSYS軟件對大型雙反射面天線的結(jié)構(gòu)有限元模型進(jìn)行模態(tài)分析, 可以獲得前N階位移模態(tài)振型和前N階應(yīng)變模態(tài)振型, 且為了避免廣義模態(tài)坐標(biāo)矩陣奇異, 傳感器數(shù)量應(yīng)不小于截取模態(tài)數(shù), 即nN. 并可以從中提取副反射面支撐腿與副反射面連接點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的位移模態(tài)振型矩陣βm×N以及副反射面支撐腿上應(yīng)變傳感器處節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的應(yīng)變模態(tài)振型矩陣γn×N, 分別為:

其中,p1,p2,···,pm表示副反射面支撐腿與副反射面連接點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn),q1,q2,···,qn表示副反射面支撐腿上應(yīng)變傳感器處的節(jié)點(diǎn),表示副反射面支撐腿與副反射面的第pm個連接點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)的第N階位移模態(tài)振型,γqn N表示副反射面支撐腿上第qn個應(yīng)變傳感器處節(jié)點(diǎn)的第N階應(yīng)變模態(tài)振型.

根據(jù)模態(tài)疊加原理, 載荷作用下副反射面支撐腿結(jié)構(gòu)的應(yīng)變可表示為各階應(yīng)變模態(tài)的線性組合, 從而可以利用最小二乘法反推出最優(yōu)的廣義模態(tài)坐標(biāo)rN×1= [r1,r2,···,rN]T, 即求在歐幾里得空間以2-范數(shù)作為距離, 使得模態(tài)矩陣γn×NrN×1與εn×1之間距離

最小的模態(tài)坐標(biāo)rN×1, 如下式所示:

將(3)式平方后對廣義模態(tài)坐標(biāo)求導(dǎo):

于是可以得到最優(yōu)的廣義模態(tài)坐標(biāo)rN×1:

根據(jù)最小二乘法原理,數(shù)據(jù)量越大,系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的精度越高.當(dāng)傳感器的數(shù)量nN時,所求得的廣義模態(tài)坐標(biāo)rN×1比較準(zhǔn)確. 重構(gòu)結(jié)果受應(yīng)變傳感器讀數(shù)誤差影響的程度較低, 保證了位移重構(gòu)的準(zhǔn)確度.

同理, 載荷作用下副反射面支撐腿與副反射面連接處節(jié)點(diǎn)的位移也可表示為各階模態(tài)的線性組合, 則該位移向量χm×1=[χ1,χ2,···,χm]T可表示為:

其中,χ1,χ2,···,χm表示副反射面支撐腿與副反射面連接點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)在x、y、z方向的位移.

假設(shè)雙反射面天線的副反射面只發(fā)生剛體位移和剛體轉(zhuǎn)動, 并以副反射面頂點(diǎn)為原點(diǎn)建立局部坐標(biāo)系O-xyz, 且天線變形后副反射面的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(x′i,y′i,z′i)′, 其中i= 1,2,3,···,n表示雙反射天線的n種不同變形, 結(jié)合變形前副反射面支撐腿與副反射面連接處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(xi,yi,zi), 則可獲得變形后連接點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(x′i,y′i,z′i). ?x、?y、?z分別表示副反射面頂點(diǎn)變形前后在x、y、z方向上的平移分量. 根據(jù)變形前后連接處節(jié)點(diǎn)與副反射面頂點(diǎn)之間的相對距離不變, 即:

取3組變形前后連接處的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入(7)式即可求得副反射面頂點(diǎn)變形前后的平移量?x、?y、?z.

假設(shè)在坐標(biāo)系O-xyz中副反射面處于初始指平狀態(tài), 其幾何示意圖如圖1所示, 則變形前后副反射面支撐腿與副反射面連接處節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系是:

式中,

其中,φ、?分別為副反射面繞z軸、x軸右手轉(zhuǎn)動的角度.

圖1 副反射面坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Sketch of subreflector coordinate system

綜上, 變形后副反射面的位姿是由變形前的副反射面經(jīng)過平移量?x、?y、?z與轉(zhuǎn)動量φ、?得到的. 在外載荷作用下, 發(fā)生變形的大型雙反射面天線, 可以利用副反射面補(bǔ)償技術(shù)即通過調(diào)整副反射面位置、姿態(tài)來進(jìn)行主面變形補(bǔ)償時, 上述結(jié)果可以與由主面變形后的最佳吻合拋物面求得的副反射面頂點(diǎn)位置相結(jié)合[12], 有助于獲得更精準(zhǔn)的最佳副反射面位置, 實(shí)現(xiàn)主副反射面之間的最佳匹配調(diào)整.

與上述方法中通過采集副反射面支撐腿上的應(yīng)變值來計(jì)算天線發(fā)生變形后副反射面支撐腿與副反射面連接處位移的工作原理相同, 在副反射面結(jié)構(gòu)上選擇一定數(shù)量的特征點(diǎn)并布置應(yīng)變傳感器, 并基于模態(tài)疊加原理可以獲得副反射面上一系列離散特定目標(biāo)節(jié)點(diǎn)處的位移. 當(dāng)利用副反射面補(bǔ)償技術(shù), 可以通過分片可調(diào)的副反射面來更精確地消除主反射面變形造成的光程差, 優(yōu)化天線口徑場幅度和相位分布[13].

3 模型仿真

以某大型雙反射面天線進(jìn)行實(shí)例分析, ANSYS結(jié)構(gòu)模型如圖2所示.

在副反射面支撐腿結(jié)構(gòu)中共布置了16個應(yīng)變傳感器, 其分布位置如圖3所示, 圖中應(yīng)變傳感器的位置為對應(yīng)的單元中點(diǎn). 如果考慮到大空間跨度溫度梯度以及傳感器的測量誤差等因素時, 傳感器應(yīng)布置于距離副面較近的地方.

并且, 副反射面結(jié)構(gòu)上應(yīng)變傳感器和目標(biāo)點(diǎn)的位置分布分別如圖4、5所示.

圖2 ANSYS結(jié)構(gòu)模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of ANSYS structural model

圖3 支撐腿應(yīng)變傳感器分布示意圖Fig.3 Schematic diagram of strain sensor distribution on supporting legs

圖4 副反射面應(yīng)變傳感器分布示意圖Fig.4 Schematic diagram of strain sensor distribution on subreflector

圖5 副反射面目標(biāo)點(diǎn)分布示意圖Fig.5 Distribution of target points on subreflector

4 結(jié)果分析

通過ANSYS軟件對理想情況下的天線模型施加重力載荷, 并進(jìn)行網(wǎng)格劃分和模態(tài)分析. 通過(3)式、(4)式, 計(jì)算出天線支撐腿與副反射面連接點(diǎn)處的節(jié)點(diǎn)位移, 將應(yīng)變傳感器測量的應(yīng)變數(shù)據(jù)計(jì)算得到的位移與提取出來的ANSYS有限元法計(jì)算位移進(jìn)行比較,兩種測量的對比結(jié)果如表1所示.

同理, 可以通過在副面布置應(yīng)變傳感器來計(jì)算副面目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移, 由于所選目標(biāo)節(jié)點(diǎn)數(shù)目多, 為便于分析, 本文只對副反射面z軸方向目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移數(shù)據(jù)進(jìn)行對比, 如表2所示,x、y軸方向的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移如表3所示.

根據(jù)模態(tài)疊加原理計(jì)算的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移, 除個別點(diǎn)位移誤差較大之外, 其他均在10%以內(nèi), 在可接受的誤差范圍內(nèi), 滿足精度要求, 說明雙反射面天線在外載荷下, 使用應(yīng)變傳感器和模態(tài)疊加原理計(jì)算得到的目標(biāo)點(diǎn)位移滿足精度的要求. 副反射面平動、轉(zhuǎn)動參數(shù)分別如表4、表5所示.

表1 兩種方法測量天線支撐腿與副面連接點(diǎn)處節(jié)點(diǎn)位移Table 1 The node displacement at connection points between antenna supporting legs and subreflector calculated by two methods

表2 兩種方法測量副面z軸方向目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移表Table 2 The displacement of target node in z axis of subreflector calculated by two methods

表3 副面x、y軸方向目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移Table 3 The displacement of target nodes in the x, y axes of the subreflector

表4 副反射面平動參數(shù)Table 4 The translational parameters of the subreflector

表5 副反射面轉(zhuǎn)動參數(shù)Table 5 The rotation parameters of the subreflector

5 結(jié)束語

本文研究了基于應(yīng)變的變形副反射面位姿形貌快速重構(gòu)方法, 該方法的先進(jìn)性在于即使大型雙反射面天線的結(jié)構(gòu)載荷信息未知, 也可以通過這種方法, 利用少量應(yīng)變傳感器測量的應(yīng)變值, 快速、準(zhǔn)確地重構(gòu)出變形后副反射面的位姿、形貌, 該方法步驟簡單,容易實(shí)現(xiàn), 結(jié)果精確. 特別是針對副反射面受到重力作用發(fā)生下垂變形的情況, 因?yàn)橹亓κ窃斐筛狈瓷涿孀藨B(tài)變化的主要因素. 通過結(jié)合案例建模仿真, 將使用該方法算出來的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位移與ANSYS有限元法計(jì)算出來的位移相對比, 兩者之間的誤差滿足精度要求, 證實(shí)了該方法的有效性. 實(shí)際工程中, 只需應(yīng)用此坐標(biāo)系與實(shí)際工程中指定坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即可獲得實(shí)際工程所需的平移和轉(zhuǎn)動關(guān)系, 并且可以預(yù)先計(jì)算天線在不同工況下的副反射面相關(guān)調(diào)整數(shù)據(jù)并存入數(shù)據(jù)庫以實(shí)現(xiàn)對副反射面的實(shí)時修正, 從而保證天線在不同工況下都能獲得最佳的觀測效率.