亞聲速條件下五孔探針非線性插值計算方法研究*

史遠鵬 王佳璐 陸華偉 孔曉治 王 宇

（1.大連海事大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院；2.大連海事大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院）

0 引言

風(fēng)洞測試離不開流場測控，目前測量流場的方法主要有多孔氣動探針[1]、激光多普勒測速儀[2]、熱線風(fēng)速儀等[3]。多普勒測速儀可以測得流場的速度大小以及速度方向，但是設(shè)備較昂貴，應(yīng)用場景范圍小，在工程應(yīng)用上受到限制[4]，主要應(yīng)用于實驗室中；熱線風(fēng)速儀的探頭容易被空氣中的塵埃顆粒損壞，且測量的并非是一個點上的流場數(shù)據(jù)，而是一個小平面內(nèi)的平均值。

多孔氣動探針測量法作為測量流場最經(jīng)典的方法，不僅可以方便測得流場數(shù)據(jù)，而且具有測量精度高、成本較低、使用方便和測量原理簡單等優(yōu)點，所以多孔氣動探針在實驗室和工程上受到了廣泛的應(yīng)用。氣動壓力探針的相關(guān)理論及應(yīng)用已經(jīng)十分成熟，早在1971年Bryer和Pankhurst已經(jīng)對氣動壓力探針進行了研究[5]，其中錐形五孔探針在Ma=0.1～1.2范圍內(nèi)有較好的測量效果[6]，本文研究的對象就是應(yīng)用較為廣泛的五孔探針。根據(jù)Treaster和Yocum[7]的研究，將五孔探針測量三維流場分為三種方法：對向測量法、半對向測量法、非對向測量法。

1）對向測量法：比較直觀，但是需要較多時間尋找1,3孔，4,5孔的壓力平衡，實際測量較為復(fù)雜；2）半對向測量法：操作簡單，只需要尋找一對壓力孔的壓力平衡，所需數(shù)據(jù)處理量較少，適合均勻流場測量；3）非對向測量法通過采集五個孔的壓力值，對照該探針的校準數(shù)據(jù)，可以插值計算出測量點的俯仰角、偏航角、總壓、靜壓，這種方法的使用最為普遍，數(shù)據(jù)處理量較大，需要較為準確的插值方法，實際測試系統(tǒng)借助計算機軟件編程處理數(shù)據(jù)，有較快的測試速度。

在探針的制造過程中，每支探針的頭部五孔并不嚴格對稱，這就導(dǎo)致了每支探針的氣動特性都不相同，工程中往往要求五孔探針在多個馬赫數(shù)下使用，需要對各個馬赫數(shù)分別進行標定，且標定結(jié)果只能在一定的馬赫數(shù)變化范圍內(nèi)使用。

國內(nèi)陳浮[8]等人提出了五孔探針的線性插值方法，該方法對凸四邊形有良好的插值效果，并實現(xiàn)了對原始校準數(shù)據(jù)奇異點的修正。在實際測量過程中，當(dāng)來流速度與標定速度不一致時，傳統(tǒng)的線性插值法選擇就近標定馬赫數(shù)所對應(yīng)的特性曲線作為校準數(shù)據(jù)，利用測得的五孔壓力值計算出Kα，Kβ，尋找出點（Kα，Kβ）在校準曲線中的位置后計算點（Kα，Kβ）距所在四邊形各邊的距離，用線性插值的方法得到探針感受到的氣流角度α，β，再根據(jù)α，β數(shù)值在總壓、靜壓校準系數(shù)曲線中得到測點處的CPt，CPs，最后由相應(yīng)公式求出總壓、靜壓及空間3個方向的速度分量，并以此作為最終所測量點的流場參數(shù)，此過程流程圖如圖1。

圖1 線性插值計算流程Fig.1 Linear interpolation calculation flow

此外，岳國強[9]等人對原有的線性插值法進行了改進。尤其是對于特性較差的探針，該方法能夠在不改變探針特性曲線的基礎(chǔ)上保證插值精度，提高了線性插值法的實用性。在實際的流場測量中，線性插值方法對于變化的流場沒有很好的適應(yīng)性，當(dāng)來流馬赫數(shù)超出標定速度一定范圍時，計算結(jié)果存在較大誤差。為進一步提高測量精度，本文對線性插值法進行了理論研究，并在此基礎(chǔ)上提出了可以減小誤差的三維非線性插值法。

1 五孔探針結(jié)構(gòu)與標定方法

目前實際應(yīng)用的五孔探針形式眾多，例如有：圓錐形、球形、棱形和蛇形等[10]。其中圓錐形五孔探針在測量高速流場時效果較好，圓錐形五孔探針的頭部角度多為60°，常見的設(shè)計為“L”型，即直角彎曲圓錐形五孔探針，探針頭部與后面的探針桿夾角90°。五孔探針的直徑盡量小能減少探針對流場的擾動，但制造難度也相應(yīng)增加、孔徑太小空氣中的灰塵等雜質(zhì)容易堵塞測量孔。國內(nèi)的探針多將頭部設(shè)計成外徑2～5mm,孔徑1mm[11]，余世策等人利用三維雕刻機實現(xiàn)了小尺寸多孔探針的快速加工[12]。

本文以L型圓錐形頭束狀五孔探針為研究對象，該型五孔探針孔序及各角度定義如圖2和圖3,定義P1～P5為1～5孔的壓力值，Pt為總壓，Ps為靜壓。

圖2 五孔探針的孔序定義Fig.2 The definition of pore sequence of five-hole probe

圖3 五孔探針的角度定義Fig.3 The definition of angles of five-hole probe

非對向測量法，標定時已知來流角度、總壓、靜壓，利用這五個壓力值，通過公式(1)～(5)[7]獲得對應(yīng)來流角度下的Kα，Kβ，CPt，CPs。其中Pˉ為1，3，4，5孔平均壓力；Kα為α方向校準系數(shù)；Kβ為β方向校準系數(shù)；CPt為總壓校準系數(shù)；CPs為靜壓校準系數(shù)[13]。

標定的任務(wù)就是找出α，β，Kα，Kβ，CPt，CPs之間的關(guān)系，繪出探針特性曲線，使用時根據(jù)五孔探針所采集到的各孔壓力值計算各個標定系數(shù)，在特性曲線中進行插值得出流場參數(shù)。

在實際的流場測量中，探針前的來流速度往往與標定馬赫數(shù)存在一定差值，偏離標定馬赫數(shù)時，傳統(tǒng)方法是選擇就近標定馬赫數(shù)對應(yīng)的特性曲線近似代替，這會導(dǎo)致插值結(jié)果偏離真實值，結(jié)果的誤差隨來流速度偏離標定馬赫數(shù)的變大而變大，因此在測量來流較復(fù)雜的流場時，就需要增加大量的探針標定馬赫數(shù)，費用高，耗時長，為解決這個問題本文提出來三維非線性插值法。

2 三維非線性插值法

2.1 校準系數(shù)擬合階數(shù)的選擇原則

擬合函數(shù)表達式的階數(shù)選擇對擬合效果影響較大，因此擬合階數(shù)的選擇是進行三維非線性插值之前需要探究的一個重要問題。為反映不同標定馬赫數(shù)下，特性曲線間的變化規(guī)律，找到最佳的擬合階數(shù)，使得插值得到的特性曲線更準確，本文利用最小二乘法對特性曲線進行了擬合，得出相應(yīng)的函數(shù)表達式[14]，總結(jié)出了進行三維非線性擬合時的具體方法。

函數(shù)原型如上式，其中a0，a1，a2，a3，…，ak為一元的多項式系數(shù)；k為擬合階數(shù)；n為標定馬赫數(shù)；Y為Kα，Kβ，CPt，CPs校準系數(shù)。

以一組五孔探針標定的Kα校準系數(shù)實驗值為例，馬赫數(shù)范圍從0.2～0.8馬赫，共7個值，由最小二乘法的性質(zhì)可知，七個實驗值最高可擬合出六階多項式。下面對數(shù)據(jù)分別進行一階、二階、三階、四階、五階、六階擬合，將插值結(jié)果與標定實驗值對比，討論各階的擬合效果。

根據(jù)多項式本質(zhì)，多項式是無邊界的振蕩函數(shù)，因此，它們不太適合外插有界數(shù)據(jù)或單調(diào)數(shù)據(jù)（遞增或遞減）的數(shù)據(jù)，從圖4中同樣可以得到印證，當(dāng)超出實驗值的范圍，擬合函數(shù)快速偏離實際值，高階六階、五階尤其明顯；高階多項式在數(shù)據(jù)點之間可能是振蕩的，導(dǎo)致對數(shù)據(jù)的擬合較差，即并不是階次越高，擬合效果越好，在圖4中可以看到，0.2～0.3馬赫段的高階六階、五階函數(shù)產(chǎn)生了較大幅度的振蕩。

圖4 Kα實驗值的不同階擬合曲線Fig.4 Different order fitting curves ofKαexperimental values

用上述7個實驗值中的6個進行1～5階基于最小二乘法的多項式擬合，插值得到另外一個的計算值并與實驗值比較，討論階數(shù)的選擇造成誤差的不同。例如用0.3～0.8馬赫的6個實驗值分別進行1～5階擬合，插值得到0.2馬赫下的Kα校準系數(shù)計算值。特別說明的是，插值0.2馬赫、0.8馬赫屬于上面所述的外插情況，計算結(jié)果偏離了正常范圍。

觀察圖5數(shù)據(jù)，插值0.2馬赫、0.8馬赫相當(dāng)于外插的情況，誤差遠大于其他馬赫數(shù)下的值，插值時應(yīng)避免這種情況，當(dāng)擬合階數(shù)k為2階、3階或4階時，各個數(shù)據(jù)點誤差值的絕對值變化較小，折線圖波動較小。同時從圖6可以看出，擬合階數(shù)k為2階、3或4階時的誤差均值明顯小于1階和5階時的平均誤差值，即校準系數(shù)擬合階數(shù)k為2階、3階或4階時插值結(jié)果與各馬赫下的實際標定實驗值之間的誤差最小。

圖5 誤差值折線圖Fig.5 Error value line chart

圖6 平均誤差值柱狀圖Fig.6 Bar chart of average error value

通過對多只不同特性的探針的Kα,Kβ,CPt,CPs進行上述擬合插值，均能得到類似的結(jié)果。從而，在選擇擬合階數(shù)時，提出以下四點參考原則：

1）不選高階，高階多項式雖然更貼合數(shù)據(jù)點，但在數(shù)據(jù)點之間存在較大振蕩，數(shù)據(jù)的擬合效果并不好，插值結(jié)果不準確；

2）不選低階，階數(shù)太低，數(shù)據(jù)點離曲線較遠，插值結(jié)果與實際值誤差也較大；

3）在亞聲速范圍內(nèi)進行標定，數(shù)據(jù)點足夠時，擬合階數(shù)盡量選取2階、3階或4階；

4）在數(shù)據(jù)點區(qū)間外，擬合函數(shù)很快偏離實際值，該方法不適合進行外插。

2.2 三維非線性插值法原理

三維非線性插值法的具體方法——先對一個范圍內(nèi)若干個等間距馬赫數(shù)進行標定，通過對所標定各個馬赫數(shù)特性曲線相同α，β位置的特性值（Kα,Kβ,CPt,CPs）與馬赫數(shù)進行擬合，得到馬赫數(shù)與Kα,Kβ,CPt,CPs的關(guān)系，即若干一元多次函數(shù)，通過插值便可得到該馬赫區(qū)間內(nèi)所有馬赫數(shù)下的特性曲線。圖7是0.2馬赫、0.5馬赫、0.8馬赫的特性曲線（黑色）進行三維非線性擬合，插值得到0.6馬赫特性曲線（紅色）的示意圖，圖中作出了四條（Kα，Kβ-Ma）擬合曲線。

圖7 三維非線性插值示意圖Fig.7 3-D nonlinear interpolation graph

2.3 尋找最佳標定馬赫數(shù)個數(shù)

本文對一五孔探針在0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8馬赫下進行了標定，實驗過程中通過改變風(fēng)洞鼓風(fēng)機頻率大小調(diào)節(jié)標定風(fēng)洞出口馬赫數(shù)，自動測試系統(tǒng)對步進電機發(fā)送指令，實現(xiàn)對坐標架的精確控制。在各個馬赫數(shù)下，探針掃過的角度范圍為±30°，角度間隔為5°，采集點為169個，即采取的角度分別為α=±30°，±25°，±20°，±15°，±10°，±5°，0°，β=±30°，±25°，±20°，±15°，±10°，±5°，0°。先將β角轉(zhuǎn)至-30°，α角由-30°至30°，以5°為間隔逐一掃過，之后β角增大5°，α角重復(fù)上述步驟，直至13×13個點的數(shù)據(jù)全部采集完畢。

根據(jù)所采集到的數(shù)據(jù)，計算若干來流角度下的四個校準系數(shù)。理論上標定馬赫數(shù)間隔越小，插值結(jié)果越準確，但由于時間、設(shè)備、人員等成本的限制，本次標定在0.2～0.8上等間距選擇了七個馬赫數(shù)。如圖8在0.2～0.8馬赫范圍內(nèi)，逐漸增加參與擬合的特性曲線個數(shù)，同時作出各種情況下插值得到的0.6馬赫特性曲線，以0.6馬赫下實際標定的特性曲線為對照，計算并繪制出平均絕對誤差云圖，尋找該區(qū)間最佳的標定個數(shù)。在選擇標定馬赫數(shù)時盡可能的均勻，同時依照前面所述的擬合階數(shù)選擇原則，使各個對比實驗均達到了較好的擬合效果。

圖8 三維非線性插值結(jié)果和誤差云圖Fig.8 3-D Nonlinear Interpolation Results and Error nephogram

由以上結(jié)果，得知兩個馬赫數(shù)一階擬合得到特性曲線誤差較大，小角度下誤差在1.5%左右，在大角度下的誤差達到4%以上，擬合精度較差；三個馬赫數(shù)二階擬合得到的特性曲線僅在大角度時存在較大誤差，最大誤差為3.5%，在80%角度范圍內(nèi)誤差在2%以下，小角度時誤差在1%以下，與兩個馬赫數(shù)擬合結(jié)果相比，擬合精度大幅增加；四個馬赫數(shù)三階擬合得到的特性曲線雖然誤差整體誤差均在2.5%以下，但有50%的角度區(qū)域誤差大于等于2%，有80%的區(qū)域誤差在1%以上，較三個馬赫數(shù)擬合精度相比有所下降；五個馬赫數(shù)三階擬合得到的特性曲線整體擬合精度較高，最大擬合誤差不到2%，有50%的角度區(qū)域誤差在1%以下，與三個馬赫數(shù)擬合相比，擬合精度有所提高；六個馬赫數(shù)四階擬合，最大誤差小于2%，誤差小于1%的區(qū)域可達70%，小角度區(qū)域誤差均小于0.5%，擬合精度是所有平行實驗中最高的。

表1 平行實驗的誤差比較Tab.1 Deviation comparison of parallel experiments

通過上述對比實驗，我們討論了不同數(shù)量的特性曲線對于非線性插值精度的影響。對大多數(shù)工程我們將特性曲線的平均相對誤差控制在1%以內(nèi)，即三個馬赫數(shù)擬合、五個馬赫數(shù)擬合、六個馬赫數(shù)擬合均可滿足工程要求。通常對五孔探針在一個馬赫數(shù)下進行標定需要20～40分鐘，權(quán)衡考慮節(jié)約時間與保證精度時，在亞聲速流場測量區(qū)間，對三個馬赫數(shù)下的特性曲線進行三維非線性擬合便可完成整個區(qū)間的標定，即只需標定測量來流范圍的邊界與該范圍內(nèi)中間或者較中間的馬赫數(shù)所對應(yīng)的特性曲線，通過擬合插值便可得到此范圍內(nèi)所有馬赫數(shù)的特性曲線。

2.4 三維非線性插值法與傳統(tǒng)線性插值法校準風(fēng)洞下的誤差分析

由于上述葉柵出口截面測試實驗，葉柵后流場參數(shù)不能準確得知，無法計算三維非線性插值法與線性插值法的具體誤差，作者在大連海事大學(xué)凌海校區(qū)的跨聲速校準風(fēng)洞進行了實驗。測試時風(fēng)洞出口馬赫數(shù)為0.6，將該校準風(fēng)洞已知的流場參數(shù)作為參考值，三維非線性插值法使用0.2馬赫，0.5馬赫，0.8馬赫校準數(shù)據(jù)擬合得到的Kα，Kβ，CPt，CPs三維校準曲線為校準數(shù)據(jù)；線性插值法以0.5馬赫校準曲線為校準文件。兩種方法對各參數(shù)計算結(jié)果與參考值比較，得到三維非線性插值法具體的誤差如表2所示，表3所示為線性插值法的各參數(shù)誤差。

表2 三維非線性插值法的誤差Tab.2 Error of 3D Nonlinear Interpolation

表3 線性插值法的誤差Tab.3 Error of Linear Interpolation

上述誤差云圖，顏色從藍到紅表示誤差由小到大，三維非線性插值法總壓誤差有80%左右區(qū)域在0.2%以下，而線性插值法40%左右的區(qū)域總壓誤差在0.2%以下；同樣三維非線性插值法其它各參數(shù)誤差計算結(jié)果均顯著優(yōu)于線性插值法。

另外，實驗時由于靜壓值較小，壓力傳感器讀值時的跳動相對較大，所以靜壓誤差整體相對較大；在測量0.6Ma真值與驗證實驗過程中，兩次測量時五孔探針位置不能保證絕對相同，也可能引入α角與β角的絕對誤差。

2.5 實際流場測試實驗對比

本文采用五孔探針對某一矩形葉柵出口截面進行了實際測量，風(fēng)洞出口流場主流區(qū)馬赫數(shù)為0.7，分別利用三維非線性插值法和傳統(tǒng)處理方法計算流場參數(shù)。對比組采用傳統(tǒng)處理方法，即根據(jù)0.7馬赫的標定數(shù)據(jù)線性插值法計算，三維非線性插值法使用0.2馬赫，0.5馬赫，0.8馬赫校準數(shù)據(jù)擬合得到的Kα，Kβ，CPt，CPs三維校準曲線為校準數(shù)據(jù)。

實驗時，根據(jù)五孔探針各個孔的壓力值由公式（1）、（2）、（3）計算出Kα,Kβ，以馬赫（0）=0.7（可任意）的特性曲線作為初次計算的校準文件，利用線性插值法由公式（4）、（5）可以得到來流各方向角、CPt與CPs，根據(jù)CPt，CPs得到的總壓、靜壓計算出馬赫（1），判斷馬赫（1）與馬赫（0）的差值，若差值大于萬分之一，則以馬赫（1）所對應(yīng)的特性曲線再一次進行線性插值計算，經(jīng)過上述相同步驟即可計算出馬赫（2），再比較馬赫（2）與馬赫（1）差值，以此類推，直到馬赫（n）與馬赫（n-1）差值小于萬分之一，輸出最終計算出的來流各方向角、總壓、靜壓以及馬赫數(shù)等流場參數(shù)，即通過不斷振蕩來逼近真實的來流馬赫數(shù)，用計算機實現(xiàn)自動采集和校準[15]，上述過程能在極短時間內(nèi)完成，計算流程如圖10所示。

圖9 誤差云圖Fig.9 Error Nephogram

圖10 三維非線性插值方法的計算流程Fig.10 Calculation flow of three-dimensional nonlinear interpolation method

上圖中，a1,a2為出口截面馬赫數(shù)云圖，其中a1為三維非線性插值法的處理結(jié)果，a2為傳統(tǒng)方法的處理結(jié)果。b1,b2為β角云圖，其中b1為三維非線性插值法的處理結(jié)果，b2為傳統(tǒng)方法的處理結(jié)果。c1,c2為總壓云圖，其中c1為三維非線性插值法的處理結(jié)果，c2為傳統(tǒng)方法的處理結(jié)果。

通過圖11的對比，從整體定性上來看兩種方法處理的結(jié)果規(guī)律幾乎完全一致，尤其是葉柵流道區(qū)域兩種方法處理的結(jié)果幾乎相同。但在高損失區(qū)域由于三維非線性插值法對變馬赫數(shù)流場的較強適應(yīng)性得到的結(jié)果較傳統(tǒng)處理方法更為全面。在高損失區(qū)域定量分析可得兩種方法處理的馬赫數(shù)、總壓最大相差分別是0.369%和39.02%。因此在實際流場測量過程中，尤其是在測量不穩(wěn)定來流時，三維非線性插值法能適應(yīng)流場變化，減小來流速度與標定速度不一致所造成的測量誤差，得到更綜合、細膩的測量結(jié)果。

圖11 出口截面馬赫數(shù)、β角、總壓云圖Fig.11 Nephogram of mach number，βangle and total pressure at exit section

3 結(jié)論

本文通過理論分析與實驗驗證的方法，對圓錐形五孔探針三維非線性插值法，參與擬合的最佳的馬赫數(shù)個數(shù)、擬合階數(shù)、插值精度進行了研究，并在實際測量實驗中與傳統(tǒng)處理方法進行了比較，得到以下結(jié)論：

1）在亞聲速范圍內(nèi)，標定時權(quán)衡經(jīng)濟性與精度，利用等距的3～5個馬赫數(shù)的標定結(jié)果進行擬合，得到的函數(shù)在標定區(qū)間內(nèi)代表性更好，測量馬赫數(shù)的誤差一般能控制在0.37%左右；

2）在測量不穩(wěn)定來流時，三維非線性插值法與傳統(tǒng)處理方法相比有更強適應(yīng)性，計算精度可提升0.5%以上；

3）三維非線性插值法使五孔探針標定后不再只有有限個馬赫數(shù)下的特性曲線，而是擁有一個范圍內(nèi)所有馬赫數(shù)下的特性曲線，對于不斷變化的流場，三維非線性插值法無需對探針進行大量的標定，大大節(jié)省了成本。