主動(dòng)電磁軸承系統(tǒng)變參數(shù)非線性PID控制研究*

劉 路 王躍方,2

（1.大連理工大學(xué)工程力學(xué)系；2.遼寧重大裝備制造協(xié)同創(chuàng)新中心）

0 引言

高速透平機(jī)械的發(fā)展方向是降低能耗、減少機(jī)組功率損失及振動(dòng)、噪聲。主動(dòng)電磁軸承（AMB）不需要任何潤滑劑，利用軸承線圈產(chǎn)生的電磁力實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子懸浮，并在轉(zhuǎn)子偏心運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)提供反饋以抑制振動(dòng)，通過精確調(diào)節(jié)系統(tǒng)的剛度和阻尼[1]，保證機(jī)械的安全運(yùn)行。在過去30年里，AMB的相關(guān)設(shè)計(jì)技術(shù)取得了長足的發(fā)展，成果涵蓋了傳感和控制技術(shù)、建模和識(shí)別、部件和材料，以及自傳感技術(shù)等[2]。在控制算法方面，PID控制實(shí)現(xiàn)簡單、適用性強(qiáng)且技術(shù)成熟，應(yīng)用最為廣泛。但PID控制器存在穩(wěn)定域較窄、抗干擾能力差的問題。為了使PID控制器具有更好的控制效果，人們先后提出了模態(tài)解耦 PID[3]、狀態(tài)反饋 PID[4]、模糊 PID[5]、滑膜 PID[6]、分?jǐn)?shù)階PID[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)PID[8]、非線性PID[9]等改進(jìn)的PID算法，并在風(fēng)機(jī)等機(jī)械產(chǎn)品上得到了廣泛應(yīng)用。

本文基于AMB—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，結(jié)合已有的PID算法，提出了一種非線性PID控制算法，利用遺傳算法優(yōu)化了非線性增益函數(shù)的參數(shù)，在Matlab/Simulink平臺(tái)上進(jìn)行了仿真，并與傳統(tǒng)線性PID算法的控制效果進(jìn)行了比較。結(jié)果表明，本文提出的變參數(shù)非線性控制方法可有效改善AMB的控制效果。

1 AMB的原理及建模

電磁軸承通過自身產(chǎn)生的電磁拉力來支撐轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，并通過反饋控制來實(shí)現(xiàn)其穩(wěn)定運(yùn)行。AMB通常由位移傳感器、反饋控制器、功率放大器及電磁執(zhí)行器構(gòu)成。圖1展示了一個(gè)單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的閉環(huán)控制原理圖，其工作原理為：非接觸式位移傳感器測量轉(zhuǎn)子當(dāng)前位置并輸出位置信號，此信號被控制器用來產(chǎn)生控制信號并輸入到功率放大器。功率放大器為每個(gè)執(zhí)行器線圈提供電流，最后，電磁鐵產(chǎn)生作用在轉(zhuǎn)子上的吸引力，從而將轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在平衡位置。

圖1 單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制原理圖Fig.1 Single degree of freedom AMB rotor system control block diagram

常規(guī)AMB的電磁鐵結(jié)構(gòu)大多為C型電磁執(zhí)行器，其在差動(dòng)驅(qū)動(dòng)模式下的單自由度模型如圖2所示。

圖2 差動(dòng)模式下電磁執(zhí)行器模型Fig.2 Electromagnetic actuator model in differential mode

忽略AMB的磁漏和鐵心磁阻，并假設(shè)轉(zhuǎn)子與定子為均勻磁材料、定、轉(zhuǎn)子及氣隙在磁路中的橫截面積相同[10]。將力與位移、電流關(guān)系通過該非線性表達(dá)式在工作點(diǎn)處的線性化來近似處理，得到如下表達(dá)式：

式中，F(xiàn)tot為該自由度的電磁力合力；ks,ki分別為開環(huán)剛度和電流增益，與磁鐵的線圈匝數(shù)、磁極面積、偏置電流、氣隙寬度等相關(guān)；ix,x分別是該自由度的控制電流和轉(zhuǎn)子位移。以圖2所示的單自由度AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)方程為：

其中，m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量，x為轉(zhuǎn)子單自由度的位移，fx為轉(zhuǎn)子所受電磁力，Px為轉(zhuǎn)子所受外界沖擊力。將電磁力公式（1）代入上式，可以得到：

再對上式進(jìn)行拉普拉斯變換，可以得到控制電流和轉(zhuǎn)子位移之間的傳遞函數(shù)：

可以看出，此傳遞函數(shù)的極點(diǎn)有正實(shí)部根，因此，主動(dòng)電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)本身是一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有負(fù)剛度系數(shù)，必須補(bǔ)充外加的控制-校正環(huán)節(jié)使其成為正剛度，才能使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定懸浮起來[11]。

2 變參數(shù)非線性PID控制

目前大多數(shù)AMB的控制實(shí)現(xiàn)都基于PID控制器[12]。PID控制因其算法簡單、魯棒性好及可靠性較高的優(yōu)點(diǎn)而被工業(yè)界廣泛應(yīng)用。根據(jù)控制參數(shù)隨偏差量的變化形式的不同，PID控制可分為線性PID控制和非線性PID控制兩種。線性PID控制的三個(gè)控制參數(shù)——比例增益、積分增益和微分增益隨偏差量線性變化，通常調(diào)整好后就不再改變；非線性PID控制的三個(gè)控制參數(shù)是偏差的非線性函數(shù)。由于非線性PID控制器參數(shù)的函數(shù)構(gòu)造基礎(chǔ)是線性PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)，因此，先介紹線性PID控制器的參數(shù)選取原則。

2.1 線性PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

對于線性PID控制，首先計(jì)算系統(tǒng)當(dāng)前響應(yīng)與其設(shè)定值的差，形成偏差e(t)。根據(jù)偏差的比例、積分和微分值，得到控制系統(tǒng)輸出值為：

其中，KP為比例增益，起到類似于機(jī)械系統(tǒng)彈性恢復(fù)力的作用；KI為積分增益，其與e(t)積分的乘積能夠消除穩(wěn)態(tài)誤差；KD為微分增益，其與e(t)微分的乘積起到類似于機(jī)械系統(tǒng)阻尼的作用，能夠改善瞬態(tài)響應(yīng)。閉環(huán)系統(tǒng)的理想PID控制器原理如圖3所示。

圖3 理想的PID控制器Fig.3 The ideal PID controller

PID控制器使系統(tǒng)不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)趨于穩(wěn)定的原因在于反饋控制能夠改變軸承的剛度和阻尼，導(dǎo)致系統(tǒng)極點(diǎn)在s平面上位置的改變，從而得到期望的系統(tǒng)性能。文獻(xiàn)[13]介紹了AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的PID參數(shù)的一般選取原則。首先，應(yīng)用PD控制對系統(tǒng)進(jìn)行控制，控制參數(shù)與系統(tǒng)期望閉環(huán)剛度k、阻尼d和系統(tǒng)開環(huán)剛度ks、電流增益ki的關(guān)系為

閉環(huán)剛度過低容易使系統(tǒng)失穩(wěn)，而過高的剛度又難以在工程上實(shí)現(xiàn)。對于AMB支撐的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，首先通過理論計(jì)算得到軸承開環(huán)剛度ks，理想的閉環(huán)剛度值應(yīng)與開環(huán)剛度數(shù)量級相同，其大小取為1到4倍的ks。在選定k和d后，通過若干次仿真分析確定最合適的增益KP和KD值。KI的選取需要借助PD控制下的仿真結(jié)果，得到系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間tr，再通過如下計(jì)算公式求得KI：

其中，ti取與tr同量級的值，之后再通過仿真分析的調(diào)試來確定最合適的參數(shù)值。

2.2 非線性PID控制器參數(shù)設(shè)計(jì)

本文研究非線性PID控制器的原因是線性PID控制器的參數(shù)整定存在一些局限性，包括：

1）比例部分作為有差調(diào)節(jié)，其系數(shù)KP越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，但超調(diào)量也越易增大，甚至?xí)瓜到y(tǒng)發(fā)散失穩(wěn)；

2）積分部分能夠消除靜差，縮短系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間，若其太強(qiáng)則易造成積分過飽和，使控制的動(dòng)態(tài)性能變差甚至發(fā)散失穩(wěn)；

3）微分部分是超前控制，能夠抑制超調(diào)，但同時(shí)會(huì)增加系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間，還會(huì)放大噪聲等干擾對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，降低系統(tǒng)抑制干擾的能力。

4）轉(zhuǎn)子的高轉(zhuǎn)速會(huì)帶來較強(qiáng)的陀螺效應(yīng)，加劇了線性PID控制下各位移自由度間的耦合，抑制了轉(zhuǎn)子回歸平衡位置，從而延長了系統(tǒng)回歸穩(wěn)定所需的控制時(shí)間。

雖然線性PID控制器通常足以使大多數(shù)不穩(wěn)定系統(tǒng)趨于穩(wěn)定，但對于精度要求更高的控制系統(tǒng)，線性PID的控制能力和魯棒性仍然不夠。線性PID控制器的失效主要是由于模型自身存在著增益增加與系統(tǒng)響應(yīng)加快之間的矛盾。如果為該系統(tǒng)制定適當(dāng)?shù)姆蔷€性控制律，就能消除這一限制，從而使控制作用更加有效[9]?？刂葡到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程是不斷變化的，在系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程中，對于比例、積分和微分作用的要求是不同的[14]。非線性PID控制器能夠讓其中各增益參數(shù)隨偏差變化，且使其變化趨勢符合理想變化要求，從而以達(dá)到更優(yōu)的控制效果，其控制表達(dá)式為[15]：

增益函數(shù)的構(gòu)造方法并不唯一，文獻(xiàn)[9]，[14-18]介紹了不同的非線性增益函數(shù)，但它們的變化規(guī)律都是根據(jù)偏差e(t)及其變化率而適當(dāng)調(diào)整增益系數(shù)，最終使受控系統(tǒng)超調(diào)更小、更快地趨于穩(wěn)定。

在總結(jié)已有控制方法的基礎(chǔ)上，本文提出三種KP,KI,KD的理想變化規(guī)律，并構(gòu)造與之對應(yīng)的非線性增益函數(shù)：

1）對于比例增益KP，當(dāng)系統(tǒng)偏離參考位置，即Δe(t)·e(t)＞0時(shí)，為讓系統(tǒng)盡快停止偏離，此時(shí)應(yīng)使KP隨|e(t)|的增加而適當(dāng)增加，從而增大控制量對e(t)的敏感性，使| Δe(t)|盡快趨于0；當(dāng)系統(tǒng)回歸參考位置，即Δe(t)·e(t)＜0時(shí)，為避免因KP較大而導(dǎo)致的超調(diào)或振蕩，此時(shí)應(yīng)使KP隨| Δe(t)|的增加而適當(dāng)減小，從而縮小調(diào)節(jié)時(shí)間，增強(qiáng)魯棒性?？蓸?gòu)造如下非線性增益函數(shù)表達(dá)式：

式中，e(t)為偏差，mm；Δe(t)為偏差的變化率，mm/s。

2）對于積分增益KI，當(dāng)系統(tǒng)偏差的絕對值較大時(shí)，為了盡快消除靜差，實(shí)現(xiàn)快速調(diào)節(jié)，KI應(yīng)適當(dāng)增加；當(dāng)系統(tǒng)偏差的絕對值較小時(shí)，為了防止積分飽和從而導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生超調(diào)，增長調(diào)節(jié)時(shí)間，KI應(yīng)適當(dāng)減小?？蓸?gòu)造如下非線性增益函數(shù)表達(dá)式：

（3）對于微分增益KD，當(dāng)系統(tǒng)偏差的絕對值較大時(shí)，為盡快達(dá)到參考值，此時(shí)要削弱微分部分產(chǎn)生的抑制作用，KD應(yīng)適當(dāng)減??；當(dāng)系統(tǒng)偏差的絕對值較小時(shí)，為抑制系統(tǒng)超調(diào)，增強(qiáng)抵抗低頻干擾的能力，KD應(yīng)適當(dāng)增加。構(gòu)造如下非線性增益函數(shù)表達(dá)式：

將上述三種表達(dá)式賦予適當(dāng)參數(shù)，得到如圖4到圖6所示的非線性增益其非線性函數(shù)部分的變化曲線示意圖。

圖4 比例增益的非線性函數(shù)變化曲線Fig.4 The nonlinear function change of proportional gain

圖5 積分增益的非線性函數(shù)變化曲線Fig.5 The nonlinear function change of integral gain

圖6 微分增益的非線性函數(shù)變化曲線Fig.6 The nonlinear function change of differential gain

非線性PID的增益函數(shù)可隨偏差及其變化率的改變而作出調(diào)整，若參數(shù)選擇合適即可在快速調(diào)節(jié)系統(tǒng)的同時(shí)實(shí)現(xiàn)小超調(diào)甚至不超調(diào)，從而有效地解決了線性PID增益參數(shù)線性組合導(dǎo)致系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差的問題，不僅能對偏差變化做出更快速的反應(yīng)，而且提高了系統(tǒng)的抗干擾能力[15]。

3 非線性PID的遺傳算法

采用非線性PID控制算法的目標(biāo)是提高控制效果，即減小系統(tǒng)的最大位移量、減小系統(tǒng)回歸穩(wěn)定所需控制時(shí)間、減小系統(tǒng)的振蕩次數(shù)等。為此，本文設(shè)計(jì)了如下目標(biāo)：

上式中，Φ代表加權(quán)目標(biāo)函數(shù)，也稱適應(yīng)度(fitness)；tc代表響應(yīng)上升時(shí)間；ymax代表系統(tǒng)最大位移；代表系統(tǒng)位移曲線與坐標(biāo)軸圍成的面積；W1，W2，W3代表相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)。對于本問題，式(9)、(10)、(11)中的k0～k9共10個(gè)參數(shù)是待優(yōu)化的參數(shù)（設(shè)計(jì)變量），對應(yīng)著最小的目標(biāo)函數(shù)值。如果僅憑工程經(jīng)驗(yàn)或仿真調(diào)試來確定這些參數(shù)的最優(yōu)組合，尋優(yōu)過程將變得非常耗時(shí)，且不能保證結(jié)果是最優(yōu)的。因此，需要借助優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)（12）的參數(shù)優(yōu)化。

目前有多種優(yōu)化方法可用來求解上述目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值，比如：牛頓法、蟻群算法、模擬退火算法等。本文選用的是遺傳算法。該方法模擬了生物進(jìn)化中的自然選擇、變異等遺傳現(xiàn)象，可用于搜索參數(shù)優(yōu)化問題的最優(yōu)解[19]。此外，本文沒有使用任何懲罰函數(shù)。懲罰函數(shù)雖然實(shí)施簡單，然而，高懲罰因子可能會(huì)使優(yōu)化陷入局部最優(yōu)，而低懲罰因子可能無法找到一個(gè)可行的解決方案。利用無懲罰算法，可在不考慮這些問題的情況下，充分降低目標(biāo)函數(shù)值以及每次迭代中約束的違反量，使用效果較為理想[20]。

4 優(yōu)化結(jié)果

優(yōu)化算例為圖2所示的單自由度AMB—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真算例的參數(shù)設(shè)置Tab.1 Parameter settings of simulation examples

在線性PID控制器中，將比例、積分、微分控制參數(shù)通過前面所述選取原則分別選定為5 000，800 000，6.32。在選定適當(dāng)參數(shù)后，設(shè)轉(zhuǎn)軸在初始時(shí)刻位于平衡位置，并在0.02s時(shí)施加階躍干擾力。首先給出適應(yīng)度函數(shù)隨種群逐代演化的變化趨勢，然后再給出線性PID和變參數(shù)非線性PID的控制效果的對比圖。

從圖7中可以看出，從第一代到第二代，最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)下降最大，此后隨著代數(shù)的增加，每一代中最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)度函數(shù)都在逐漸降低，最終趨近收斂于一個(gè)穩(wěn)定值，這表示優(yōu)化的迭代過程收斂于最優(yōu)解。

圖7 適應(yīng)度函數(shù)變化圖Fig.7 Fitness function variation diagram

現(xiàn)將圖8到圖10中所關(guān)注的主要仿真結(jié)果列于表2中，并計(jì)算兩種控制算法下仿真結(jié)果之間相差的百分比。

表2 算例主要結(jié)果對比Tab.2 The comparison of main results of the example

圖8 轉(zhuǎn)子位移曲線對比圖Fig.8 Comparison diagram of rotor displacement curve

圖9 控制電磁力曲線對比圖Fig.9 Control electromagnetic force curve contrast diagram

圖10 控制電流曲線對比圖Fig.10 Control current curve comparison diagram

從上表可以看出，非線性PID控制下的轉(zhuǎn)子位移峰值與收斂時(shí)間都遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性PID控制，且轉(zhuǎn)子在平衡位置的震蕩次數(shù)更少。此外，在非線性PID控制下，電磁力和控制電流都能在容許范圍內(nèi)達(dá)到更高的峰值，但在某些時(shí)刻的變化率較高，這對執(zhí)行器的電流改變能力提出了一定要求。不過總體來說，變系數(shù)非線性PID控制策略能夠?yàn)槭芸叵到y(tǒng)提供更優(yōu)越的控制效果。

5 結(jié)論

本文介紹了AMB轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的PID控制參數(shù)選取原則，提出了一種變參數(shù)非線性PID控制算法，構(gòu)造了式（9），（10），（11）三個(gè)新的非線性函數(shù)，使控制參數(shù)隨轉(zhuǎn)子狀態(tài)變化不斷做出改變。根據(jù)Matlab/Simulink的仿真對比，得知本文控制算法能夠明顯改進(jìn)控制效果，且不需要額外的環(huán)節(jié)及元器件，因此不會(huì)增加控制算法實(shí)施的硬件成本。本算法需要借助遺傳算法對參數(shù)尋優(yōu)，與傳統(tǒng)線性PID控制方法相比計(jì)算量有所增加。