基于組合模型的自行車微觀仿真

張 蕊，嚴(yán)巧兵，胡潤(rùn)澤，馬 尚

(1.北京建筑大學(xué)土木與交通工程學(xué)院，北京 100044；2.北京建筑大學(xué)通用航空北京實(shí)驗(yàn)室，北京 100044；3.北京建筑大學(xué)北京市城市交通基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)工程技術(shù)研究中心，北京 100044；4.北京公共交通控股(集團(tuán))有限公司，北京 100161)

為了精準(zhǔn)再現(xiàn)非機(jī)動(dòng)車交通運(yùn)行情況，細(xì)致刻畫非機(jī)動(dòng)車交通行為，建立合理的微觀仿真模型成為非機(jī)動(dòng)車交通流研究的重要方向.經(jīng)過國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷探索研究，非機(jī)動(dòng)車仿真已取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展，目前有代表性的微觀仿真模型主要有跟馳模型、元胞自動(dòng)機(jī)模型、社會(huì)力模型等.跟馳模型[1-2]建立在車道劃分基礎(chǔ)上，認(rèn)為自行車嚴(yán)格按照所劃分的車道騎行；元胞自動(dòng)機(jī)模型[3-6]將車道網(wǎng)格化，將自行車前行過程抽象為在網(wǎng)格中的跳躍.這2種模型的仿真機(jī)制都會(huì)導(dǎo)致仿真結(jié)果不同程度的不連續(xù)、不細(xì)致，與真實(shí)情況存在偏差.社會(huì)力模型最早由德國(guó)Helbing等[7]學(xué)者提出，主要用于行人領(lǐng)域的仿真研究，2007年后陸續(xù)有學(xué)者將其應(yīng)用到非機(jī)動(dòng)車微觀仿真[8].由于其仿真具有時(shí)空連續(xù)性的特點(diǎn)，所研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)方向可以依據(jù)受力情況實(shí)時(shí)變化，不需要按照固定車道或網(wǎng)格運(yùn)動(dòng)，因此相比于上述其他模型，社會(huì)力模型在描述非機(jī)動(dòng)車交通行為上更為細(xì)致真實(shí).

社會(huì)力模型通過接觸力來(lái)描述行人間或行人與障礙物發(fā)生接觸時(shí)相互推動(dòng)的現(xiàn)象，應(yīng)用于非機(jī)動(dòng)車微觀仿真時(shí)，如何避免非機(jī)動(dòng)車之間及非機(jī)動(dòng)車與邊界的直接接觸且保持合理間距成為仿真的關(guān)鍵問題.尤其是非機(jī)動(dòng)車道邊界多元化，不同邊界作用力影響差異較大，增加了研究的復(fù)雜性.Liang等[9]和梁肖[10]基于社會(huì)力模型建立的自行車仿真模型保留了個(gè)體接觸力及滑動(dòng)摩擦力，對(duì)避免自行車間及其與邊界的直接接觸并未給出有效的解決方法；李珊珊[11]通過定義自行車受社會(huì)心理力及減速力作用，在某種程度上避免了車輛間的接觸，但由于仿真步長(zhǎng)的設(shè)置本質(zhì)上并不能完全避免接觸問題；葉倩倩[12]、黎茂盛等[13]考慮了邊界作用力，但對(duì)邊界作用強(qiáng)度描述粗糙，模型中對(duì)如何避免車輛間或車輛與邊界間的直接接觸未做說(shuō)明；Rinke等[14]基于社會(huì)力模型建立的混合流多層次結(jié)構(gòu)模型中，自行車只受驅(qū)動(dòng)力及減速力的作用，也未闡述接觸力改進(jìn)的相關(guān)問題.

因此，為真實(shí)描述自行車橫縱向運(yùn)動(dòng)行為，避免應(yīng)用社會(huì)力模型導(dǎo)致自行車與障礙物或其他車輛的不合理接觸，本文引入騎行者生理感知空間的概念，采用顆粒離散元理論對(duì)社會(huì)力模型中的接觸力進(jìn)行修正.考慮非機(jī)動(dòng)車交通組織的多樣性，根據(jù)邊界作用強(qiáng)度量化不同邊界對(duì)自行車排斥力的影響.建立了包含驅(qū)動(dòng)力、自行車之間排斥力、邊界作用力、生理感知空間接觸力4種力的組合模型.同時(shí)本文根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證及應(yīng)用研究.

1 組合模型構(gòu)建

自行車在車道路面上的豎直投影近似于橢圓形.本文以騎行者頭部鼻尖點(diǎn)為幾何中心，自行車車長(zhǎng)為長(zhǎng)軸，作個(gè)體單元的外接橢圓，使得人車恰好包絡(luò)在內(nèi)，并以此作為下文自行車研究最基本的單元.

1.1 驅(qū)動(dòng)力

(1)

(2)

式中：ri(t+1)、ri(t)分別為自行車i在t、t+1時(shí)刻的位置矢量.

1.2 排斥力

排斥力是自行車騎行過程中為了保證自身安全及舒適，避免與其他騎行者或邊界障礙物距離過近所受的力.排斥力是騎行過程中的阻力之一，包括自行車之間的排斥力及自行車與障礙物之間的排斥力.

1.2.1 自行車間排斥力

由于騎行者具有一定的速度且身體裸露在外，騎行過程中需要與其他騎行者保持適當(dāng)?shù)膫?cè)向間距，避免與之發(fā)生直接接觸.調(diào)查時(shí)發(fā)現(xiàn)，騎行者可接受的最小側(cè)向間距與騎行速度有關(guān).速度接近似時(shí)，自行車會(huì)出現(xiàn)前后跟行或者左右并行的情況，這時(shí)就會(huì)有前后間距及左右間距；而速度有差異時(shí)，一般速度大者會(huì)逐漸超越小者，此時(shí)只考慮左右間距.根據(jù)實(shí)測(cè)，不同速度下前后及左右最小間距如表1所示.表1中左右間距指車把與車把之間的橫向距離(垂直車道方向)，前后間距指后車前輪與前車后輪之間的縱向凈距(車道方向).

表1 自行車速度-間距關(guān)系表

排斥力作用示意圖如圖1所示，可分解為橫向的避讓力與縱向的制動(dòng)力的矢量和.自行車之間距離變小，排斥力會(huì)急速增大，排斥力fij可表示為

fij=Aiexp(-Dij/Bi)nij

(3)

式中

(4)

式中：Ai為排斥力強(qiáng)度參數(shù)，決定了自行車之間排斥的大小程度，通過最小二乘法擬合實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)最優(yōu)估計(jì)值范圍集中在[520,550]，本文以540 N進(jìn)行標(biāo)定；Bi為自行車之間產(chǎn)生排斥關(guān)系的距離，取5 m[9]；nij為由自行車j指向自行車i的單位向量；Dij為自行車i至j個(gè)體邊界距離；dij為騎行者i與j中心點(diǎn)的連線距離；φj為騎行者j與水平方向夾角；θji為自行車i與j中心連線與水平方向夾角；aj、bj分別表示騎行者j短半軸、長(zhǎng)半軸長(zhǎng)度.

1.2.2 邊界作用力

自行車騎行過程中，除與其他自行車保持適當(dāng)距離外，同樣需要與邊界保持一定的距離.調(diào)查發(fā)現(xiàn)，騎行者可接受的最小側(cè)向間距與邊界形式也有關(guān).對(duì)于左側(cè)為綠化帶、右側(cè)為路邊停車的非機(jī)動(dòng)車道，騎行者與邊界保持最小距離分別為0.45 m和0.25 m；對(duì)于左側(cè)為護(hù)欄、右側(cè)為路緣石的非機(jī)動(dòng)車道，騎行者與邊界保持的最小距離分別為0.20 m和0.35 m.實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如圖2所示.

對(duì)比不同邊界下自行車橫向分布發(fā)現(xiàn)，騎行者偏好于在路中線附近騎行；騎行者對(duì)路側(cè)停車保持的側(cè)向間距最大，其次是護(hù)欄、綠化帶、路緣石.為量化上述作用，本文引入邊界作用強(qiáng)度的定義，即不同形式的非機(jī)動(dòng)車道邊界對(duì)騎行者的產(chǎn)生排斥力的強(qiáng)度.一般騎行過程中，自行車最多僅受單側(cè)車道邊界的作用，距左側(cè)邊界近則受到左側(cè)邊界排斥力fiL，反之則受到右側(cè)邊界排斥力fiR

fiL=ALexp(-DiL/BL)niL

(5)

fiR=ARexp(-DiR/BR)(-niL)

(6)

式中：AL、AR分別為左、右邊界作用強(qiáng)度，與邊界形式有關(guān)，利用調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行反復(fù)試算，護(hù)欄取0.35，綠化帶取0.25，路側(cè)停車取0.45，路緣石取0.20；BL、BR分別為左、右邊界對(duì)自行車產(chǎn)生作用力距離；DiL、DiR分別為自行車中心點(diǎn)到左、右邊界的垂直距離；niL為單位向量，由左側(cè)邊界垂直指向車道內(nèi)側(cè).

1.3 生理感知空間與接觸力

騎行者有避開護(hù)欄、樁柱等靜止障礙物及行人、車輛等移動(dòng)障礙物的傾向.騎行者身體裸露在外無(wú)安全保障空間，無(wú)論在生理還是心理層面，都對(duì)外界環(huán)境的干擾表現(xiàn)十分敏感.因此，可認(rèn)為騎行者具有一定的生理感知空間，當(dāng)生理感知空間與外界發(fā)生重疊時(shí)，即受到侵占、擠壓時(shí)，畏懼心理會(huì)迫使自行車運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生改變.

接觸力描述的是行人與行人及行人與障礙物間接觸時(shí)的受力行為.不同于行人，現(xiàn)實(shí)生活中非機(jī)動(dòng)車之間不能接觸，否則將會(huì)發(fā)生交通事故.為真實(shí)描述非機(jī)動(dòng)車交通行為，彌補(bǔ)社會(huì)力在接觸力方面描述的不足，本文從騎行者生理感知空間入手建立了自行車個(gè)體單元，即以車長(zhǎng)為直徑構(gòu)建一個(gè)包裹自行車的虛擬圓柱體，將騎行者與圓柱體之間的生理感知空間發(fā)生的接觸行為定義為接觸力.

該個(gè)體單元的優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在：首先由于有外側(cè)圓形的包裹作用，內(nèi)部的自行車不會(huì)發(fā)生直接接觸，彌補(bǔ)了社會(huì)力模型應(yīng)用到自行車仿真時(shí)不能有效解決接觸問題的缺陷；其次圓形具有各向同性，在計(jì)算簡(jiǎn)便方面相較于其他形狀根據(jù)有優(yōu)勢(shì)；最后根據(jù)實(shí)際調(diào)查騎行者可接受的間距在0.5 m左右，自行車寬大概在0.6 m，合計(jì)1.6 m接近自行車長(zhǎng)，因此以自行車長(zhǎng)為直徑是建立自行車個(gè)體單元最適合的長(zhǎng)度，節(jié)省了空間也更符合實(shí)際.

若個(gè)體單元發(fā)生接觸，在接觸力的作用下兩者會(huì)相互遠(yuǎn)離，避免內(nèi)側(cè)自行車直接接觸，類似于兩球體碰撞過程.值得注意的是，顆粒離散元的接觸模型可以真實(shí)描述顆粒的接觸、分離狀態(tài)，且其計(jì)算方法可大幅降低模型計(jì)算量，提高模型運(yùn)算效率.

因此本文引入顆粒離散元理論，將自行車的接觸過程分解為法向、切向運(yùn)動(dòng)，法向運(yùn)動(dòng)使接觸的自行車之間產(chǎn)生想要相互遠(yuǎn)離的需求，切向運(yùn)動(dòng)描述自行車想要減速避讓的需求.接觸力作用隨著生理感知空間接觸量的增大而增大的趨勢(shì)類似彈簧受壓行為，因此將其簡(jiǎn)化為彈簧振子的阻尼運(yùn)動(dòng).

1.3.1 法向接觸力

法向接觸力是由彈簧和阻尼器共同作用于騎行者i上的彈性力和阻尼力的合力，如圖4所示.自行車i受到來(lái)自j的法向力接觸力fnij為

fnij=(-kna-cnvijnij)nij

(7)

式中：α為重疊量；vij為自行車i相對(duì)于j的速度；nij為自行車i中心指向j中心的單位向量；kn為法向彈性系數(shù)，本文建立的自行車生理感知空間可壓縮程度與行人生理緩沖范圍思想相近，因此參考人體力學(xué)指標(biāo)取1 900 N/m[16]；cn為法向阻尼系數(shù).

根據(jù)Hertz-Mindlin非線性接觸模型阻尼系數(shù)與彈性系數(shù)關(guān)系，可計(jì)算出自行車法向阻尼系數(shù)為780 N/m.

(8)

式中：c為阻尼系數(shù)；k為彈性系數(shù)；m為質(zhì)量.

1.3.2 切向接觸力

切向接觸力是由彈簧、滑動(dòng)器和阻尼器共同作用在自行車i上的彈性力、摩擦力、和阻尼力的合力，如圖5所示.自行車i受到來(lái)自j的切向接觸力力定義為

ftij=-ktδ-ctvct

(9)

式中：δ為切向位移；vct為接觸點(diǎn)的滑移速度；ct為切向阻尼系數(shù)；kt為自行車i的切向彈性系數(shù)，根據(jù)Hertz-Mindlin非線性接觸模型切向彈性系數(shù)與方向彈性系數(shù)之間的關(guān)系，可計(jì)算出切向彈性系值為1 320 N/m.

(10)

式中：ν為生理感知空間泊松比，取0.37，其余參數(shù)同上.

得到切向彈性系數(shù)后，同樣根據(jù)式(8)可計(jì)算得到切向阻尼系數(shù)ct為654 N/m.

同時(shí)根據(jù)庫(kù)倫-莫爾準(zhǔn)則，當(dāng)自行車受到的切向彈性力大于法向彈性力與摩擦因數(shù)μs之積時(shí)(參考對(duì)行人心理緩沖空間摩擦因數(shù)定值[17]及實(shí)際模型仿真效果確定摩擦因數(shù)值為0.3)，其所受切向力可修正為

ftij=-μs‖ftij‖nt

(11)

式中：nt=vct/‖vct‖，為自行車i所受切向力的單位向量.

由此，組合模型構(gòu)建完成，自行車前行過程中所受合力即為驅(qū)動(dòng)力、自行車間排斥力、邊界力、接觸力四者矢量合.

2 模型驗(yàn)證

相較于其他模型，本文重點(diǎn)建立了自行車生理感知空間，解決了社會(huì)力模型應(yīng)用到自行車仿真時(shí)接觸力的缺陷，經(jīng)分析理論及仿真實(shí)現(xiàn)上均合理可行.因此僅對(duì)速度-密度關(guān)系圖、自行車騎行軌跡圖及速度-間距關(guān)系三方面進(jìn)行分析驗(yàn)證.

2.1 基本圖驗(yàn)證

為了驗(yàn)證組合模型的合理性，本文以北京市車公莊大街非機(jī)動(dòng)車道為例進(jìn)行速度-密度關(guān)系圖的驗(yàn)證說(shuō)明.該非機(jī)動(dòng)車道總寬5.8 m(其中路邊停車2.3 m)，左側(cè)為綠化帶右側(cè)為路側(cè)停車(2.3 m).車輛到達(dá)服從二項(xiàng)分布，調(diào)查時(shí)段10 min交通量為452輛/h.仿真道路長(zhǎng)設(shè)置為200 m，寬3.5 m，左側(cè)為綠化帶右側(cè)為路側(cè)停車.為避免仿真數(shù)據(jù)的偶然性，對(duì)該場(chǎng)景進(jìn)行多次仿真，將得到的仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖6所示.

調(diào)查數(shù)據(jù)452條，仿真數(shù)據(jù)452條，對(duì)二者進(jìn)行95%置信度獨(dú)立樣本T檢驗(yàn)(表2)，發(fā)現(xiàn)方差及均值顯著性為0.77及0.65均大于0.05，表明二者相關(guān)性顯著，組合模型能較好地仿真實(shí)際情況；從總體趨勢(shì)看，調(diào)查及仿真得到的密度-速度均呈線性關(guān)系，且速度隨著密度的增大而減??；調(diào)查范圍內(nèi)，車公莊大街非機(jī)動(dòng)車道最大密度約為0.3輛/m2，最大速度約為5.5 m/s.

表2 調(diào)查數(shù)據(jù)與仿真數(shù)據(jù)獨(dú)立樣本檢驗(yàn)

2.2 非機(jī)動(dòng)車騎行現(xiàn)象

自行車設(shè)計(jì)采用單軌跡形式，騎行過程中需實(shí)時(shí)調(diào)整重心左右擺動(dòng)，因此在道路上的運(yùn)行軌跡通常呈蛇形.蛇形軌跡一般寬0.4 m[18]，隨著速度的穩(wěn)定，其寬度呈減小的趨勢(shì)，且偏好車道中線附近騎行，這也是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷闹匾罁?jù)之一.

為驗(yàn)證組合模型的合理性，以仿真結(jié)果中騎行者騎行軌跡進(jìn)行分析.圖7為仿真軌跡線，仿真場(chǎng)景為左側(cè)護(hù)欄右側(cè)路緣石的非機(jī)動(dòng)車道，仿真區(qū)域內(nèi)僅有自行車1和自行車2且同時(shí)生成.初生成時(shí)，自行車1和自行車2速度分別為5.8、3.5 m/s；自行車1距護(hù)欄0.41 m，自行車1到自行車2距離為0.80 m.

A點(diǎn)前，自行車1初生成時(shí)受邊界作用力顯著，為了騎行的舒適，騎行過程逐漸遠(yuǎn)離護(hù)欄并逐漸擺脫自行車2，而自行車2在排斥力及生理感知空間接觸力的作用下不得不向車道右側(cè)避讓自行車1；A點(diǎn)處，自行車1完全甩開自行車2；A點(diǎn)后，自行車1自由騎行，自行車2逐漸駛回路中線附近，恢復(fù)自由騎行狀態(tài).經(jīng)分析，兩騎行者表現(xiàn)出的行為能較好地反映模型效果，軌跡也符合實(shí)際擺動(dòng)情況，證明組合模型對(duì)騎行者受力效果描述較為準(zhǔn)確.

2.3 間距分析

在2.1的仿真情景下，變換左右邊界形式進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)，提取各自行車的速度、位置參數(shù)，即可得到不同速度區(qū)間下自行車之間及自行車與邊界的間距，并將最小間距匯總到表3.對(duì)比表1及圖2可以發(fā)現(xiàn)，仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)具有較好的一致性；同時(shí)，騎行者對(duì)于靜態(tài)的邊界敏感度沒有動(dòng)態(tài)的自行車高.

表3 仿真下自行車速度-間距關(guān)系表

3 模型應(yīng)用

本文建立的組合模型考慮了邊界影響，為了量化不同邊界的影響程度，同時(shí)進(jìn)一步證明模型的有效性，針對(duì)3 m寬的非機(jī)動(dòng)車道，通過控制變量法將單獨(dú)設(shè)置某一邊界場(chǎng)景與不設(shè)置任何邊界形成對(duì)照組，獲取仿真通行能力，并把兩者的比值定義為邊界折減系數(shù).以有無(wú)路側(cè)停車情景為例，根據(jù)仿真輸出的密度-流量關(guān)系圖的頂點(diǎn)，可得到3 m寬自行車道僅考慮路側(cè)停車影響的單車道通行能力約為1 634輛/(m·h)，無(wú)邊界影響的單車道通行能力約為1 793輛/(m·h)，二者比值即為路側(cè)停車的邊界折減系數(shù)約為0.911.同理可獲得其他邊界折減系數(shù)，如表4所示.

表4 仿真邊界折減系數(shù)匯總表

可以發(fā)現(xiàn)，不同邊界的折減系數(shù)不盡相同，其中路側(cè)停車及護(hù)欄隔離的折減系數(shù)較小，對(duì)通行能力的影響較大，這與實(shí)際調(diào)查中非機(jī)動(dòng)車騎行時(shí)與這兩者保持較大的橫向距離相一致.

4 結(jié)論

本文基于社會(huì)力模型可以較好描述非機(jī)動(dòng)車微觀交通行為特征的優(yōu)點(diǎn)，引入生理感知空間并利用顆粒離散元理論描述個(gè)體之間的相互接觸擠壓關(guān)系，從而改善社會(huì)力模型應(yīng)用到自行車仿真中接觸作用力的缺陷；同時(shí)考慮不同邊界形式對(duì)自行車的影響，構(gòu)建了邊界排斥力；最終建立了自行車微觀組合模型，并得到以下結(jié)論：

1)通過對(duì)基本圖驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)速度密度呈線性關(guān)系，符合非機(jī)動(dòng)車的宏觀交通流關(guān)系.

2)通過對(duì)自行車騎行現(xiàn)象分析，該組合模型能較好地模擬蛇形軌跡及騎行時(shí)的受力情況.

3)通過間距分析發(fā)現(xiàn)，騎行者偏好在車道中線附近騎行；騎行者對(duì)路側(cè)停車保持的側(cè)向間距最大，其次是護(hù)欄、綠化帶、路緣石.

4)利用組合模型在不同情景下的仿真結(jié)果，本文量化了不同形式邊界對(duì)通行能力的影響，得到路側(cè)停車、護(hù)欄、綠化帶、路緣石4種邊界形式對(duì)自行車道通行能力的折減系數(shù)分別為0.901、0.928、0.940、0.965，即路側(cè)停車對(duì)自行車運(yùn)行影響最大，騎行者與其保持的間距最大，其次是護(hù)欄、綠化帶、路緣，與結(jié)論3)相一致.而這些結(jié)論可為自行車的運(yùn)營(yíng)管理、自行車道內(nèi)設(shè)施的設(shè)計(jì)及建設(shè)提供技術(shù)支撐.

由于研究范圍有限、環(huán)境相對(duì)簡(jiǎn)單，本文未考慮電動(dòng)自行車車的影響，同時(shí)也未涉及非機(jī)動(dòng)車逆行、機(jī)動(dòng)車占道行駛及駛?cè)腭偝鐾＼囄坏葎?dòng)態(tài)干擾，這些均可作為進(jìn)一步的研究方向.