基于Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和Copula函數(shù)的多維裝備效能評(píng)估模型

楊梓鑫，薛源，孫暢，徐浩軍，韓欣珉

(1.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，四川 西昌 615000；2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，陜西 西安 710072；3.空軍工程大學(xué) 航空工程學(xué)院, 陜西 西安 710038)

0 引言

空戰(zhàn)裝備作為空中作戰(zhàn)體系的重要組成部分，合理準(zhǔn)確地對(duì)其進(jìn)行效能評(píng)估不僅可以反映武器裝備實(shí)際使用效果，對(duì)開(kāi)發(fā)論證起到輔助作用[1]，還可以推動(dòng)航空裝備研制技術(shù)的不斷發(fā)展，為有關(guān)工業(yè)部門(mén)和戰(zhàn)略決策層提供參考信息，因而一直是各國(guó)裝備工作的重點(diǎn)[2]。但隨著當(dāng)代航空裝備復(fù)雜度和空戰(zhàn)信息化程度的不斷提升，評(píng)估數(shù)據(jù)也逐漸呈現(xiàn)出非線性、多維性和耦合性等特征[3-4]。

針對(duì)評(píng)估數(shù)據(jù)的非線性特征，當(dāng)前主流處理方法是以經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)理論將其簡(jiǎn)化至線性問(wèn)題后進(jìn)行求解，此種方法在數(shù)據(jù)量較大時(shí)會(huì)導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的波動(dòng)性較大，對(duì)評(píng)估結(jié)構(gòu)中的多動(dòng)態(tài)性拓?fù)鋯?wèn)題解決效果并不明顯，當(dāng)預(yù)測(cè)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，該方法過(guò)度關(guān)注系統(tǒng)局部特征而忽略預(yù)測(cè)趨勢(shì)的缺陷開(kāi)始逐漸凸顯，預(yù)測(cè)精度也隨之下降。近年來(lái)隨著人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的興起，將機(jī)器學(xué)習(xí)引入到對(duì)軍事決策的分析中，從而獲取待測(cè)裝備關(guān)鍵指標(biāo)權(quán)重的方法發(fā)展迅速。劉蜻等[4]通過(guò)建立徑向基函數(shù)(RBF)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)某型裝備進(jìn)行效能評(píng)估；趙日強(qiáng)等[5]使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)裝備費(fèi)用效能不能定量描述的問(wèn)題進(jìn)行建模分析。但上述方法僅對(duì)一維的效能評(píng)估模型有所考慮，在面對(duì)多維耦合特性的評(píng)估數(shù)據(jù)時(shí)，尚有一定局限性。

而針對(duì)多維耦合特性數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)方法，軍地雙方學(xué)者取得了諸多研究成果。如：運(yùn)用自組織映射(SOM)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不同型號(hào)的裝備建立了效能評(píng)估分析模型[6]；通過(guò)提出敏感閾值、敏感后坐沖量?jī)蓚€(gè)評(píng)估概念建立多因素的機(jī)槍評(píng)估模型[7]；以北京市強(qiáng)降水頻率嘗試建立強(qiáng)降水致災(zāi)因素的多維變量聯(lián)合分布模型[8]。這些文獻(xiàn)從不同角度對(duì)多維耦合變量的預(yù)測(cè)評(píng)估問(wèn)題進(jìn)行了研究，但上述方法仍存在限制條件較多的問(wèn)題，如需滿足獨(dú)立性假設(shè)、各變量服從相同邊緣分布、多變量的聯(lián)合分布服從正態(tài)分布或可以轉(zhuǎn)化為正態(tài)分布等。

針對(duì)上述方法的缺陷，本文提出了一種基于Elman人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與Copula函數(shù)模型相結(jié)合的空戰(zhàn)裝備效能評(píng)估模型。針對(duì)現(xiàn)代化空中作戰(zhàn)的特點(diǎn)，將空戰(zhàn)過(guò)程劃分為超視距和視距內(nèi)兩個(gè)階段，并以此在文中構(gòu)建了空戰(zhàn)裝備效能評(píng)估指標(biāo)體系。利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分別對(duì)二者趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)后，針對(duì)其間的強(qiáng)耦合關(guān)系，運(yùn)用Copula函數(shù)模型對(duì)變量間相關(guān)性結(jié)構(gòu)進(jìn)行構(gòu)造，最終建立了空戰(zhàn)裝備效能的聯(lián)合分布模型。并以Quantile Scoring(Q-S)方法和Central probability interval(CPI)指標(biāo)為依據(jù)將本文提出的預(yù)測(cè)方法與傳統(tǒng)方法進(jìn)行對(duì)比，模型較原始方法精度有所提高，且無(wú)需對(duì)邊緣分布類型加以限制，對(duì)武器裝備效能的評(píng)估問(wèn)題具有一定的參考價(jià)值，可為裝備組合及新裝定型提供分析和檢驗(yàn)依據(jù)。

1 空戰(zhàn)裝備效能的邊緣分布預(yù)測(cè)模型

1.1 空戰(zhàn)裝備效能的指標(biāo)體系構(gòu)建

本文空戰(zhàn)裝備效能指標(biāo)體系以系統(tǒng)效能作為主要評(píng)估依據(jù)，在眾多系統(tǒng)效能的評(píng)估分析方法中，選用20世紀(jì)60年代武器系統(tǒng)效能工業(yè)咨詢委員會(huì)(WSEIAC)為美國(guó)空軍量身定制的效能計(jì)算方法[9]，該方法規(guī)定系統(tǒng)效能E可以看作是可用性A，可靠性D以及系統(tǒng)能力C的函數(shù)：

E=A·D·C.

(1)

由于該方法透明性好，便于計(jì)算與理解等的特點(diǎn)，因此本文選取ADC法作為后續(xù)分析和評(píng)估的依據(jù)。

1.1.1 可用性A

可用性是對(duì)裝備工作時(shí)間進(jìn)行描述的特征參數(shù)，根據(jù)實(shí)際情況的不同有著不同的度量方式。使用可用性Ao對(duì)固有可用性和可達(dá)可用性進(jìn)行了綜合考慮，可以較好地反映航空裝備在實(shí)際使用條件下的可用程度，故文中選用，其表達(dá)式如下：

(2)

式中：TBF為平均故障間隔時(shí)間；TTR為平均修復(fù)性維修時(shí)間；TMD為平均延誤時(shí)間。

1.1.2 可靠性D

可信度是某一時(shí)間間隔內(nèi)，任務(wù)成功的條件概率矩陣，即

(3)

式中：dij表示任務(wù)開(kāi)始時(shí)裝備處于i狀態(tài)，經(jīng)過(guò)預(yù)期任務(wù)時(shí)間裝備處于j狀態(tài)的概率，i,j=1,2,…,n.

由于航空裝備任務(wù)期間一般是無(wú)法維修的，即任務(wù)維修度為0. 因此可認(rèn)為此時(shí)可信度就是任務(wù)可靠性，即

(4)

式中：t為本次任務(wù)執(zhí)行時(shí)間。

1.1.3 系統(tǒng)能力C

系統(tǒng)能力是裝備在給定的條件下，達(dá)成任務(wù)目標(biāo)的概率矩陣，即

C=[c1,c2,…,ci,…,cn]T，

(5)

式中：ci表示裝備處于i狀態(tài)時(shí)達(dá)成任務(wù)目標(biāo)的概率。

現(xiàn)代化的空中作戰(zhàn)是敵我雙方在各自地面指揮所、空中預(yù)警指揮部、電子信息干擾機(jī)等模塊所提供的信息和火力支援下，由多機(jī)群聯(lián)合開(kāi)展的作戰(zhàn)行動(dòng)[10]。本文研究對(duì)象以航空兵部隊(duì)中殲擊機(jī)、殲擊轟炸機(jī)、殲擊直升機(jī)等攻擊型裝備為主，所承擔(dān)任務(wù)主要包括攔截?cái)晨罩酗w行目標(biāo)、保衛(wèi)地面(海面)目標(biāo)、與敵升空攔截我方的殲擊機(jī)進(jìn)行空戰(zhàn)、掩護(hù)對(duì)地攻擊飛機(jī)的突防等。構(gòu)建的效能評(píng)估指標(biāo)體系以裝備的機(jī)動(dòng)性、殺傷性、電磁對(duì)抗性等攻擊性指標(biāo)為主。

縱觀當(dāng)前空戰(zhàn)模式，主要以超視距和視距內(nèi)作為主流作戰(zhàn)劃分階段。作戰(zhàn)過(guò)程變化催生了體系對(duì)抗強(qiáng)度增大、空戰(zhàn)節(jié)奏加快、機(jī)動(dòng)性需求俱增、電磁對(duì)抗程度趨于白熱化等特點(diǎn)[11]?；诖耍疚膶⒖諔?zhàn)裝備效能指標(biāo)體系細(xì)化為超視距打擊能力和視距內(nèi)作戰(zhàn)能力。

超視距打擊能力應(yīng)具備以下4點(diǎn)特征：

1)空- 空導(dǎo)彈具備一定的超視距殺傷力；

2)機(jī)載雷達(dá)應(yīng)具備一定的電子對(duì)抗性；

3)載機(jī)信息系統(tǒng)應(yīng)具備從外部獲得信息支援的能力；

4)載機(jī)具備良好的隱身性。

視距內(nèi)作戰(zhàn)能力具備以下3點(diǎn)特征：

1)近距武器具備較強(qiáng)的殺傷力，能夠達(dá)到快速瞄準(zhǔn)的目的；

2)載機(jī)具備一定的抗擊打能力；

3)作戰(zhàn)飛機(jī)具備較為優(yōu)秀的機(jī)動(dòng)性，可在極限狀態(tài)下擺脫敵方。

綜上所述，本文所構(gòu)建的空戰(zhàn)裝備效能指標(biāo)體系如圖1所示。

1.2 空戰(zhàn)裝備體系能力指標(biāo)項(xiàng)計(jì)算

結(jié)合戰(zhàn)場(chǎng)環(huán)境仿真與信息化空中對(duì)抗體系的仿真模型與武器裝備的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，共提取得到10 000組數(shù)據(jù)(圖1中的最底層戰(zhàn)術(shù)技術(shù)指標(biāo)數(shù)據(jù))。通過(guò)不同方法定量計(jì)算(評(píng)估)得出超視距殺傷力、電子對(duì)抗能力、態(tài)勢(shì)感知能力、隱身性、近距離火力參數(shù)、生存性和敏捷性共7項(xiàng)指標(biāo)能力的結(jié)果，限于篇幅原因，在此以超視距打擊能力為例對(duì)文中計(jì)算(評(píng)估)過(guò)程進(jìn)行說(shuō)明。

超視距狀態(tài)下的空戰(zhàn)裝備以中遠(yuǎn)距離空- 空導(dǎo)彈為主，需要在導(dǎo)彈動(dòng)力裝置、制導(dǎo)系統(tǒng)和戰(zhàn)斗部的共同作用下達(dá)到毀傷效果。由于中遠(yuǎn)程導(dǎo)彈主要遵循“先敵發(fā)現(xiàn)，先敵打擊”的攻擊原則，在普通空- 空導(dǎo)彈的火力計(jì)算模型基礎(chǔ)上，本文還對(duì)導(dǎo)彈的最大實(shí)際射程和導(dǎo)彈制導(dǎo)類型進(jìn)行了考慮，計(jì)算公式如(6)式所示。

(6)

式中：nm為同類中遠(yuǎn)程導(dǎo)彈掛點(diǎn)數(shù)量；ΔH為允許發(fā)射的總高度差；Ps為單發(fā)彈殺傷概率；Aatt為發(fā)射包線總攻擊角；amax為導(dǎo)彈最大過(guò)載；ωmax為導(dǎo)彈最大跟蹤角速度；Aoff為超前及滯后離軸角之和；nc為同類導(dǎo)彈掛載數(shù)量；T為導(dǎo)彈制導(dǎo)的可操作程度，導(dǎo)彈制導(dǎo)類型按照操縱類型可分為主動(dòng)和半主動(dòng)兩類，主動(dòng)彈T取1.2～1.5，半主動(dòng)彈T=1.0.

由于空戰(zhàn)裝備的效能評(píng)估工作是對(duì)底層指標(biāo)的綜合評(píng)估，圖1中第3層的指標(biāo)能力評(píng)估(計(jì)算)結(jié)果，均可由最底層指標(biāo)通過(guò)不同方法定量得出，在此不再贅述。同時(shí)，為確保各底層指標(biāo)項(xiàng)在單位和采樣上的差別不會(huì)對(duì)信息在轉(zhuǎn)移和匯聚過(guò)程中造成影響，本文計(jì)算(評(píng)估)所得的效能指標(biāo)能力值均為標(biāo)量，以此最大限度保證所得結(jié)果不會(huì)受到由于數(shù)據(jù)單位和評(píng)估方式的不同對(duì)信息造成的嚴(yán)重?fù)p失，同時(shí)也為后續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的輸入端口統(tǒng)一了標(biāo)準(zhǔn)，降低了由于聚合方法不同導(dǎo)致聚合結(jié)果的差異，進(jìn)而影響神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的訓(xùn)練效果。表1及表2給出了部分樣本數(shù)據(jù)集。

1.3 基于Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效能邊緣分布預(yù)測(cè)結(jié)果

人工Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種典型的局部回歸網(wǎng)絡(luò)模型，它在逆向傳播(BP)人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，通過(guò)存儲(chǔ)內(nèi)部狀態(tài)具備了映射動(dòng)態(tài)特征的功能，從而使系統(tǒng)具有一定的變特性能力[12]。其主要結(jié)構(gòu)包括輸入層、結(jié)構(gòu)層、隱含層和輸出層。隱含層的作用是反饋連接層神經(jīng)元信號(hào)并接受輸入層神經(jīng)元的輸入，結(jié)構(gòu)層則可以儲(chǔ)存之前隱含層神經(jīng)元的輸出[13]。與其他人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相比，Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以結(jié)構(gòu)層為基礎(chǔ)形成的局部反饋效果可以記憶過(guò)去的狀態(tài)，并在下一時(shí)刻與輸入層一同作為隱含層的輸入，因此對(duì)于動(dòng)態(tài)非線性系統(tǒng)具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。此外，Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的反饋機(jī)制使得較少的系統(tǒng)輸入對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果影響并不明顯，每一層的輸入為上層節(jié)點(diǎn)的加權(quán)和，因此可以減少網(wǎng)絡(luò)輸入層的單元數(shù)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示，其中：k為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的迭代次數(shù)，k=1,2,3,…,K；y(k)為輸出層m維的輸出向量；x(k)為n維中間層節(jié)點(diǎn)的單元向量；u(k)為r維輸入向量；ω1、ω2、ω3則分別為結(jié)構(gòu)層與隱含層，輸入層與隱含層、隱含層與輸出層之間的連接權(quán)值矩陣。預(yù)測(cè)流程步驟如圖3所示。

圖1 空戰(zhàn)裝備效能評(píng)估指標(biāo)體系Fig.1 Effectiveness evaluation index system of air combat equipment

表1 超視距樣本數(shù)據(jù)集

表2 目視內(nèi)樣本數(shù)據(jù)集Tab.2 Visual sample data set

圖2 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structural chart of Elman neural network

圖3 Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)步驟圖Fig.3 Flow chart of Elman neural network prediction

Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性狀態(tài)空間表達(dá)式如(7)式所示：

(7)

式中：xc為n維反饋狀態(tài)向量；g(*)為輸出層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)，可看作是隱含層的線性組合輸出；f(*)為神經(jīng)元的傳遞函數(shù)。權(quán)值的修正采用BP算法進(jìn)行，學(xué)習(xí)指標(biāo)采用的誤差平方和函數(shù)如(8)式所示：

(8)

對(duì)表1和表2中數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理后，以前2 000組數(shù)據(jù)作為超視距打擊能力和視距內(nèi)作戰(zhàn)能力的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，其中超視距打擊能力的輸入端為4，輸出端為1；視距內(nèi)作戰(zhàn)能力的輸入端為3，輸出端為1；通過(guò)設(shè)定隱含層神經(jīng)元個(gè)數(shù)、訓(xùn)練函數(shù)以及指定延遲，得出二者的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練模型。需要說(shuō)明的是，由于底層指標(biāo)采樣結(jié)果單位不同的原因，難以將底層指標(biāo)直接作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入項(xiàng)，故未選用其作為網(wǎng)絡(luò)的輸入項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行訓(xùn)練，而是通過(guò)計(jì)算(評(píng)估)后將結(jié)果轉(zhuǎn)化為標(biāo)量。以該模型對(duì)余下8 000組數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，分別得到了超視距打擊能力R及目視內(nèi)作戰(zhàn)能力S的模型預(yù)測(cè)值(下文簡(jiǎn)稱R值和S值)，選取部分如表3所示。以二者預(yù)測(cè)結(jié)果為基礎(chǔ)，結(jié)合任務(wù)過(guò)程中裝備的可靠性和可用性，計(jì)算得出的該型武器裝備超視距和視距內(nèi)的系統(tǒng)效能值，數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖如圖4所示。

圖4 超視距- 目視內(nèi)模型預(yù)測(cè)值散點(diǎn)圖Fig.4 Predictive scatter plots of over horizon-intra visual model

觀察散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分布，發(fā)現(xiàn)R值與S值呈現(xiàn)出一定的正相關(guān)性，這種非線性變量間的相關(guān)程度，通?？捎蒏endall秩相關(guān)系數(shù)τ進(jìn)行描述[14]。表3中第4列列出了以Kendall秩相關(guān)系數(shù)對(duì)“R”、“S”二者預(yù)測(cè)值之間的相關(guān)系數(shù)評(píng)價(jià)，計(jì)算公式如(9)式所示：

τ=P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]-
P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0]，

(9)

式中：(X1,Y1)和(X2,Y2)為分別為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，P[(X1-X2)(Y1-Y2)>0]為X和Y相一致的概率，說(shuō)明X和Y的單調(diào)性相同；P[(X1-X2)(Y1-Y2)<0]為X和Y不一致的概率，說(shuō)明了X和Y的單調(diào)性反向。Kendall秩相關(guān)系數(shù)τ不隨X和Y的邊緣分布單調(diào)性的變化而變化。

表3 部分預(yù)測(cè)值及其相關(guān)系數(shù)Tab.3 Partial predicted values and correlation coefficients

當(dāng)τ>0時(shí)，X1和X2呈正相關(guān)；當(dāng)τ<0時(shí)，X1和X2呈負(fù)相關(guān)；當(dāng)τ=0時(shí)，X1和X2的相關(guān)性不能確定，需要借助其他方法判斷。通過(guò)觀察表3中的相關(guān)系數(shù)τ，發(fā)現(xiàn)R值和S值之間存在明顯的正相關(guān)性，忽略這種相關(guān)性將使得所構(gòu)建的評(píng)估模型精度大幅降低，難以推廣使用。

2 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)

通過(guò)上文所述，由于R值和S值之間具有的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，使得一維模型的整體構(gòu)建方式并不能照搬到多元情形中去，主要原因是多維變量的聯(lián)合分布除了與邊緣分布有關(guān)之外，更重要的是與變量間相關(guān)性密切相關(guān)。對(duì)多變量聯(lián)合分布模型進(jìn)行建模的最關(guān)鍵步驟就是構(gòu)造變量間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，如近些年比較流行的支持向量機(jī)模型，其實(shí)質(zhì)就是構(gòu)造二維變量相關(guān)性的核函數(shù)，本文選用的Copula函數(shù)亦是采用同樣的思維方式。在判斷出變量之間明顯的相關(guān)性后，本文采用Copula函數(shù)模型的主要建模分析步驟如下及圖5所示，圖5中，A-D法為Anderson-Dareling檢驗(yàn)法，Q-Q圖檢驗(yàn)法為Quantiles-Quantiles檢驗(yàn)法。

步驟1對(duì)數(shù)據(jù)模型間的相關(guān)性進(jìn)行計(jì)算；

步驟2判斷邊緣分布類型；

步驟3列舉適當(dāng)?shù)腃opula函數(shù)備選；

步驟4對(duì)Copula函數(shù)進(jìn)行未知參數(shù)估計(jì)；

步驟5對(duì)Copula函數(shù)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)；

步驟6繪制變量的聯(lián)合分布模型；

步驟7結(jié)合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)分布情況，選取最優(yōu)Copula函數(shù)模型。

圖5 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)步驟圖Fig.5 Construction flow chart of Copula function model

2.1 二元Copula函數(shù)模型

Copula函數(shù)作為一種分析函數(shù)相關(guān)性并進(jìn)行多元統(tǒng)計(jì)的處理方法，可以看作是一種連接一元邊緣分布和其多元聯(lián)合分布的特殊函數(shù)。

依據(jù)Sklar定理[15]可知，若F為具有連續(xù)邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)的聯(lián)合概率分布函數(shù)，則存在一個(gè)唯一的Copula函數(shù)C，滿足

F(x1,x2,…,xN)=C(F1(x1),F2(x2),…,FN(xN))，

(10)

式中：C為與F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)。同理，通過(guò)Copula函數(shù)C的概率密度函數(shù)c和邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)可以求出N元分布函數(shù)F(x1,x2,…,xN)的概率密度函數(shù)：

(11)

式中:f(x1,x2,…,xN)是邊緣分布F1(x1),F2(x2),…,FN(xN)的概率密度函數(shù)。通過(guò)(10)式，Copula函數(shù)可以在不對(duì)各變量邊緣分布加以限制條件下求得變量的多維聯(lián)合分布，且對(duì)非線性、非對(duì)稱性的變量預(yù)測(cè)具有良好適應(yīng)性，使得構(gòu)建多維概率模型的建模與相關(guān)性分析可以分開(kāi)進(jìn)行，建模難度大大降低。

2.2 邊緣分布類型的判斷

首先篩選5種具有代表性的一維分布類，分別為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、指數(shù)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、威布爾分布和伽馬分布。以上文的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)效能預(yù)測(cè)結(jié)果，采用A-D檢驗(yàn)法與Q-Q圖檢驗(yàn)法相結(jié)合的方法對(duì)上述5種待選分布類型的形狀參數(shù)、尺度參數(shù)和位置參數(shù)進(jìn)行擬合[16]，判斷邊緣分布類型。

A-D檢驗(yàn)法的計(jì)算公式如(12)式所示。

(12)

式中：K為樣本數(shù)量；GK(x)為經(jīng)驗(yàn)頻率分布；G(x)為待驗(yàn)函數(shù)的分布形式；ω(x)為權(quán)重函數(shù)，計(jì)算公式為

ω(x)=[G(x)(1-G(x))]-1.

(13)

A-D檢驗(yàn)法擬合結(jié)果的優(yōu)度檢驗(yàn)值如表4、表5所示，表中P值為當(dāng)原假設(shè)為真時(shí)所得到的樣本觀察結(jié)果或更極端結(jié)果出現(xiàn)的概率：P值越大表示擬合程度越高；當(dāng)P值越小，拒絕原假設(shè)的理由越充分，即說(shuō)明該種分布越不適于擬合樣本的數(shù)據(jù)。

表4 超視距樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)值Tab.4 Goodness of fit test value R

表5 目視內(nèi)樣本擬合優(yōu)度檢驗(yàn)值Tab.5 Goodness of fit test value S

由于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與威布爾分布的A-D檢驗(yàn)值均高于其他分布，通過(guò)Q-Q圖繼續(xù)對(duì)比仿真數(shù)據(jù)和待選分布的擬合度。理論上，當(dāng)二者的分位數(shù)分布大致相似時(shí)，Q-Q圖應(yīng)為一條直線，反之當(dāng)仿真數(shù)據(jù)分位數(shù)與中心線偏離較大時(shí)，則表明所選分布與仿真數(shù)據(jù)并不匹配。圖6和圖7中：威布爾分布的比例參數(shù)為1.3，形狀參數(shù)為5.2；威布爾分布相比于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而言，對(duì)于與仿真數(shù)據(jù)的分位數(shù)擬合度更勝一籌，亦表明二者有著近似相同的分布類型。

圖6 超視距打擊能力與威布爾分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的Q-Q檢驗(yàn)擬合圖Fig.6 Q-Q fitting test chart of R and Weibull distribution and normal distribution

圖7 目視內(nèi)作戰(zhàn)能力與威布爾分布、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 的Q-Q檢驗(yàn)擬合圖Fig.7 Q-Q fitting test chart of S and Weibull distribution and normal distribution

為保證所選邊緣分布類型的正確性，繼續(xù)做出樣本分布的概率密度圖，同時(shí)畫(huà)出威布爾分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、指數(shù)分布3種分布的概率密度曲線，擬合結(jié)果如圖8和圖9所示。通過(guò)圖8和圖9觀察發(fā)現(xiàn)威布爾分布對(duì)二者的擬合結(jié)果最為準(zhǔn)確，這也驗(yàn)證了Q-Q圖和A-D檢驗(yàn)法結(jié)論的正確性。

圖8 3種分布樣式在超視距的概率密度擬合圖Fig.8 Fitting map of probability densities for three distribution patterns and value R

圖9 3種分布樣式在目視內(nèi)的概率密度擬合圖Fig.9 Fitting map of probability densities for three distribution patterns and value S

綜上所述，可以得出空戰(zhàn)裝備效能指標(biāo)體系中的二級(jí)子式均符合威布爾分布的結(jié)論。

2.3 Copula函數(shù)模型的擇優(yōu)

針對(duì)2.2節(jié)判斷所得的邊緣分布類型，選取5類常見(jiàn)Archimedean Copula函數(shù)，分別為Gumbel Copula函數(shù)、Clayton Copula函數(shù)、T-Copula函數(shù)、Frank Copula函數(shù)和Joe Copula函數(shù)，具體見(jiàn)表6.

5種Copula函數(shù)模型中，選取基于最大似然函數(shù)的AIC準(zhǔn)則、貝葉斯信息BIC準(zhǔn)則、χ2檢驗(yàn)以及K-S檢驗(yàn)4種方法對(duì)函數(shù)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)[17]，具體結(jié)果見(jiàn)表7.

4種判別準(zhǔn)則中，AIC和BIC準(zhǔn)則的判別原理基本相似，均是利用Copula函數(shù)的似然函數(shù)作為判斷擬合效果優(yōu)劣的依據(jù)，待判定Copula函數(shù)的AIC值和BIC值越小，就越符合原始樣本數(shù)據(jù)。

表6 本文所用到的Archimedean Copula函數(shù)Tab.6 Archimedean Copula function used in the present paper

表7 不同Copula模型的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)Tab.7 Goodness of fittest values of different Copulafunctions

假設(shè)(x1,y1),…,(xK,yK)是極值樣本，F(xiàn)1和F2是邊緣分布函數(shù)，記ui=F1(xi)，vi=F2(yi)，i=1,…,K. AIC和BIC公式如(14)式和(15)式所示，待測(cè)Copula函數(shù)如(10)式所示，其中kC表示Copula模型中未知參數(shù)的數(shù)目。

(14)

(15)

(16)

式中：p為概率。

χ2檢驗(yàn)法的公式為

(17)

式中：Oi表示極值樣本點(diǎn)xi的觀測(cè)累積概率；Ei是由具體分布函數(shù)求出的xi的期望累計(jì)概率，極值樣本點(diǎn)按照升序排列x1

K-S檢驗(yàn)法的基本思路是通過(guò)計(jì)算比較極值樣本點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)概率與理論概率的差值來(lái)判斷擬合優(yōu)度[18]，統(tǒng)計(jì)量公式為

(18)

式中：DK為Kolmogorov統(tǒng)計(jì)量[19]。根據(jù)所提取的數(shù)據(jù)樣本，求得取值范圍內(nèi)的HK(x)與H0(x)，而后計(jì)算統(tǒng)計(jì)量DK，并以樣本容量K和顯著性水平α，查詢DK(α)；通過(guò)對(duì)比二者之間的關(guān)系，即可得出對(duì)原假設(shè)接受或拒絕的結(jié)論。

表7中，5種Copula函數(shù)模型的K-S檢驗(yàn)P值均大于0.05，表明在95%置信水平下，5種模型均能滿足要求。繼續(xù)觀察，發(fā)現(xiàn)T-Copula函數(shù)模型的AIC準(zhǔn)則、BIC規(guī)則最小，由于這兩種準(zhǔn)則的判別原理是以Copula函數(shù)的似然函數(shù)為優(yōu)劣依據(jù)，因而其值越小，表明模型越符合原始樣本數(shù)據(jù)，擬合精度越高。而T-Copula函數(shù)的χ2值和K-S檢驗(yàn)值最小也同樣印證了相比于其他Copula模型,T-Copula模型對(duì)變量分布的描述精度最高。

3 空戰(zhàn)裝備效能的多維聯(lián)合分布模型

3.1 基于Copula函數(shù)的空戰(zhàn)裝備效能聯(lián)合分布

通過(guò)觀察，表6中所列Copula函數(shù)均含有未知參數(shù)θ，在構(gòu)建基于Copula函數(shù)的聯(lián)合分布模型前，務(wù)必對(duì)未知參數(shù)θ值進(jìn)行估計(jì)。本文采用極大似然估計(jì)(MLE)方法[20]對(duì)參數(shù)θ進(jìn)行估計(jì)，MLE可根據(jù)分布函數(shù)的概率密度導(dǎo)數(shù)構(gòu)建對(duì)數(shù)似然函數(shù)，如(19)式所示，而后通過(guò)求解對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最值來(lái)計(jì)算未知參數(shù)的估計(jì)值。為進(jìn)一步對(duì)2.3節(jié)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證，表8中列出了上述5種Copula函數(shù)對(duì)參數(shù)θ的擬合結(jié)果。

(19)

圖10 5種Copula函數(shù)的效能體系分布圖及T-Copula函數(shù)的等高線圖Fig.10 Five copula function probability density maps and T-Copula function contour maps

基于表8中對(duì)參數(shù)θ的估值，做出了基于5種Copula函數(shù)的空戰(zhàn)裝備效能聯(lián)合分布圖，如圖11(a)～圖11(e)所示。其中U和V分別是超視距打擊能力和目視內(nèi)作戰(zhàn)能力預(yù)測(cè)值，Z是所需預(yù)測(cè)的裝備效能的聯(lián)合預(yù)測(cè)值。

表8 5種Copula函數(shù)的參數(shù)θ估計(jì)值Tab.8 Parameter θ estimates of five Copula functions

圖10中，T-Copula函數(shù)所具備的厚尾特性使得其能夠較好捕捉到二者在尾部的相關(guān)性關(guān)系，等高線圖10(f)中的數(shù)字表示該點(diǎn)裝備效能的聯(lián)合預(yù)測(cè)值，由于等高線同線等高的特點(diǎn)，其疏密程度反映了坡度的陡緩情況，亦與圖10(e)以及圖4中散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)分散情況相一致。其余4種Copula函數(shù)中：Gumbel Copula函數(shù)對(duì)左右數(shù)據(jù)尾部特征的描述能力并不一致，右側(cè)數(shù)據(jù)的描述能力明顯優(yōu)于左側(cè)，這與圖4中散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)分布相悖；Clayton Copula函數(shù)反映左側(cè)尾部數(shù)據(jù)特征描述效果較好，但對(duì)右側(cè)尾部數(shù)據(jù)特征卻幾乎不具備描述能力；Joe Copula函數(shù)對(duì)右尾數(shù)據(jù)特征描述較好，但幾乎沒(méi)有對(duì)左尾數(shù)據(jù)的描述能力；Frank Copula函數(shù)具備對(duì)中心分布數(shù)據(jù)的描述能力，但由于其尾部相關(guān)系數(shù)為0，更加適合尾部相關(guān)性為0的數(shù)據(jù)，故與本文數(shù)據(jù)特征不符，均排除。

綜上所述，T-Copula函數(shù)模型能夠較為準(zhǔn)確的描述變量間相關(guān)性特征，基于此所構(gòu)建的效能分布圖與表7中擬合優(yōu)度檢驗(yàn)結(jié)果相吻合，與圖4中散點(diǎn)圖數(shù)據(jù)分布相一致，故可得出選擇T-Copula函數(shù)模型作為空戰(zhàn)裝備效能預(yù)測(cè)分布的描述模型較為合理的結(jié)論。

3.2 聯(lián)合分布模型的指標(biāo)評(píng)估

聯(lián)合分布模型的優(yōu)劣評(píng)價(jià)指標(biāo)通常包括預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確度、銳度等。為驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，采用概率統(tǒng)計(jì)中常用的Q-S方法[21]和Central CPI指標(biāo)[22]對(duì)模型進(jìn)行評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)維度主要包括預(yù)測(cè)的校準(zhǔn)性(用來(lái)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)分布的形狀與實(shí)際概率分布的近似程度)、銳度(用來(lái)評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)概率的集中分布程度)等，原理大致如下。

3.2.1 Q-S方法

通過(guò)目標(biāo)聯(lián)合概率分布劃分為99個(gè)分位點(diǎn)并計(jì)算得出該點(diǎn)的預(yù)測(cè)值和實(shí)際值，可以得出該方法的關(guān)鍵指標(biāo)Q(wi,zi)，它表示了模型預(yù)測(cè)值與實(shí)際值間的誤差，具體表達(dá)式為

(20)

式中：wi(i=1，2，3,…,99)為第i個(gè)分位點(diǎn)的實(shí)際值；zi為該對(duì)應(yīng)點(diǎn)的理論值。

當(dāng)預(yù)測(cè)的區(qū)間中未能包含理論值z(mì)i時(shí)，分位點(diǎn)的實(shí)際值wi與理論值z(mì)i差距也會(huì)增大，評(píng)價(jià)指標(biāo)Q(wi,zi)會(huì)隨之升高。當(dāng)實(shí)際值wi的置信區(qū)間過(guò)大時(shí)，雖然能將實(shí)際值包含在內(nèi)，但由于在區(qū)間內(nèi)大多數(shù)實(shí)際值wi和理論值z(mì)i都會(huì)有一定距離，因此評(píng)價(jià)指標(biāo)Q(wi,zi)也會(huì)升高。

綜上所述，Q(wi,zi)的值越小說(shuō)明預(yù)測(cè)值和實(shí)際值越近，預(yù)測(cè)精度越高。

3.2.2 CPI指標(biāo)

指標(biāo)連續(xù)分級(jí)概率評(píng)分可用于檢驗(yàn)連續(xù)變量概率預(yù)測(cè)中的連續(xù)性，具體定義如下：

(21)

式中：H(F,zi)的值越小，預(yù)測(cè)結(jié)果越精確。

表9中將本文所提方法與經(jīng)驗(yàn)分布法、參數(shù)估計(jì)法等傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法以及效能評(píng)估中所常用的SEA計(jì)算法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，運(yùn)用Q-S方法和CPI指標(biāo)對(duì)4種方法進(jìn)行評(píng)估。其中SEA方法是美國(guó)麻省理工學(xué)院信息與決策系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室所提出的一種系統(tǒng)效能分析方法。該方法的核心思想是通過(guò)確定兩個(gè)系統(tǒng)的屬性空間，其中一個(gè)是原始參數(shù)映射的屬性空間，另一個(gè)是由原始參數(shù)映射的屬性空間。對(duì)系統(tǒng)能力和使命要求在相同的使命空間進(jìn)行相互比較，由此計(jì)算出系統(tǒng)的效能值。表10展示了4種不同方法在85%和95%置信水平下的置信區(qū)間。

表9 概率預(yù)測(cè)評(píng)估結(jié)果Tab.9 Evaluated results of probability prediction

表10 預(yù)測(cè)區(qū)間平均寬度Tab.10 Average width of prediction intervals

3.3 指標(biāo)評(píng)估結(jié)果分析

觀察表9發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是采用Q-S方法還是CPI指標(biāo)，本文所提方法在4種方法中評(píng)價(jià)值均為最小值，即預(yù)測(cè)精度最高。而觀察表10，本文方法在85%及95%置信區(qū)間下的寬度均為最窄，同樣優(yōu)于其他預(yù)測(cè)方法。綜上所述，可得出本文所提方法所構(gòu)建的空戰(zhàn)裝備效能預(yù)測(cè)模型精度高于其他方法的結(jié)論。

4 結(jié)論

本文針對(duì)傳統(tǒng)裝備效能評(píng)估模型對(duì)多維變量間相關(guān)性構(gòu)造困難、聯(lián)合分布對(duì)邊緣分布限制過(guò)多、非線性數(shù)據(jù)擬合能力弱等問(wèn)題進(jìn)行研究分析，充分利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)非線性數(shù)據(jù)的良好擬合性以及統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用Copula函數(shù)對(duì)變量間耦合性描述的優(yōu)勢(shì)，較為準(zhǔn)確地構(gòu)造了多維裝備效能評(píng)估模型，并通過(guò)統(tǒng)計(jì)學(xué)中Q-S值和CPI值對(duì)模型精度進(jìn)行檢驗(yàn)，得出以下結(jié)論：

1)綜合考慮效能評(píng)估指標(biāo)體系的多方面因素，對(duì)現(xiàn)有空戰(zhàn)武器裝備的評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行篩選，凸顯現(xiàn)代化的空中作戰(zhàn)特點(diǎn)，構(gòu)建了分層級(jí)的空戰(zhàn)裝備效能指標(biāo)體系，對(duì)效能評(píng)估領(lǐng)域的其他工作具有一定借鑒意義。

2)針對(duì)信息化條件下空戰(zhàn)過(guò)程中的不確定性和非線性特點(diǎn)，引入對(duì)非線性數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)具有良好效果的Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，同時(shí)利用其動(dòng)態(tài)反饋機(jī)制，構(gòu)建了在較少的系統(tǒng)輸入狀態(tài)下能夠有效工作的4層Elman神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對(duì)非線性數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)評(píng)估工作具有一定促進(jìn)作用。

3)針對(duì)傳統(tǒng)分析方法中對(duì)二維變量相關(guān)性描述不足且困難的問(wèn)題，將統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的Copula函數(shù)引入武器裝備的效能評(píng)估中，利用其在構(gòu)建聯(lián)合分布模型時(shí)無(wú)需限定邊緣分布類型這一特點(diǎn)，較為便捷地構(gòu)造了效能指標(biāo)間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)。

4)將傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法與多元Copula函數(shù)相結(jié)合，提出了一種具有較強(qiáng)適應(yīng)性和較高精度的武器裝備效能聯(lián)合分布模型構(gòu)造方法，通過(guò)對(duì)比模型概率圖與仿真數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，二者分布基本相似，驗(yàn)證了模型的合理性。

5)采用概率預(yù)測(cè)中常用的Q-S方法和CPI指標(biāo)對(duì)模型的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)估，并以經(jīng)驗(yàn)分布、參數(shù)估計(jì)正態(tài)分布和效能評(píng)估中常用的SEA方法等4種方法作為對(duì)照組。通過(guò)計(jì)算，本文所用方法的Q(wi,zi)值和H(FC,zi)值均低于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法，而在同等置信水平的前提下本文方法的平均置信區(qū)間為4種方法中最窄，說(shuō)明本文方法在精度上均優(yōu)于傳統(tǒng)預(yù)測(cè)方法。

下一步的研究工作將進(jìn)一步完善指標(biāo)體系的規(guī)模，擴(kuò)大數(shù)據(jù)獲取渠道。并在此基礎(chǔ)上，適度增加Copula函數(shù)的選擇范圍，構(gòu)建更加完善的評(píng)估模型。