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    探討高考解析幾何的數(shù)學(xué)思想方法

    2020-09-27 23:00:39吳慧吳龍澤
    讀與寫·上旬刊 2020年9期
    關(guān)鍵詞:解析幾何數(shù)學(xué)思想方法高考

    吳慧 吳龍澤

    摘要:解析幾何在普高中有著不可或缺的地位,在歷年的高考中都占著一席之位。分類和整理分析2010-2019年高考的解析幾何考題,得出其含有的數(shù)學(xué)思想方法主要有數(shù)形結(jié)合、化歸、函數(shù)與方程和分類討論等。結(jié)合一些實踐經(jīng)驗,提出教學(xué)時一要因材施教,二要堅持不懈,三要注意自然性等教學(xué)建議。

    關(guān)鍵詞:高考;解析幾何;數(shù)學(xué)思想方法

    中圖分類號:G633.6?文獻標識碼:B文章編號:1672-1578(2020)25-0291-02

    普高課程標準指出,一方面,根據(jù)題意,合理建立直角坐標系,掌握圓錐曲線標準方程和幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識。另一方面,代數(shù)和幾何能互相轉(zhuǎn)化,能夠運用多種數(shù)學(xué)思想方法解決問題。平面解析幾何是高考的寵兒,每年必考。只有知己知彼,才能戰(zhàn)無不勝。只有掌握其考點以及如何考,才能有目的性的學(xué)習(xí),爭取做到知根知底、事半功倍。將2010-2019年全國卷Ⅰ(文科)解析幾何考題進行分析和整理。

    近10年,高考的文科和理科都是考查3道題。客觀題2道10分,解答題1道12分,共22分。就考查對象而言,直線與方程第Ⅰ卷考查4次,第Ⅱ卷是14次;圓與方程第Ⅰ卷考查0次,第Ⅱ卷是10次;橢圓與方程第Ⅰ卷考查7次,第Ⅱ卷是4次;雙曲線與方程第Ⅰ卷考查5次,第Ⅱ卷是2次,都出現(xiàn)在填空題;拋物線與方程第Ⅰ卷考查7次,第Ⅱ卷是6次,都出現(xiàn)在解答題[1]??碱}分布比較平衡。

    就考查的知識點而言,標準方程在2010-2018年都考查1次,2019年考查2次。幾何性質(zhì)在2012、2015年都考查3次,2011、2013、2014、2017和2019年都考查2次,其他年份為1次。直線與圓錐曲線在2011年考查3次,2010、2016、2018和2019年都考查2次,其他年份為1次。一般情況,客觀題考查比較獨立,以幾何性質(zhì)及基本量的運算為主,計算量不大,屬于得分題。但是如果客觀題以壓軸題呈現(xiàn),難度大幅度增加,屬于失分題。近10年,解答題有8次在第20題,2013和2019年則是出現(xiàn)在第21題。它分2小題設(shè)問,第一問一般比較簡單,易得分,主要考查定義和幾何性質(zhì),第二問則與三角函數(shù)、平面向量等知識相結(jié)合,綜合考查學(xué)生能力,屬于中等題或者難題。

    解析幾何在高考中有著舉足輕重的地位,其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法是多種多樣的。以下對試題中所蘊涵的幾種主要數(shù)學(xué)思想方法給予具體說明。

    【解題思路】在第Ⅰ問中,⊙M和⊙N的圓心關(guān)于原點對稱,曲線C有可能是橢圓或者雙曲線,可以分情況討論,找矛盾,得出答案。第Ⅱ問關(guān)鍵是求出⊙P的方程,然后根據(jù)直線l與兩圓都相切,求出直線方程。在求直線的過程注意直線斜率分情況討論,存在與不存在問題,最后結(jié)合橢圓方程,求出AB長度。

    除了以上的4種平面解析幾何常用的數(shù)學(xué)思想方法,考題中還包括了類比、特殊到一般等思想方法。數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)并不是一朝一夕的事,而是需要在整個教學(xué)過程中逐漸積累。由此,提出以下幾點教學(xué)建議。

    首先,教師在教學(xué)時要因材施教。對不同層次的學(xué)生要采用不同的方法,不能“一刀切”。后進生在鞏固基礎(chǔ)知識的同時滲透數(shù)學(xué)思想方法,中等生要教會他們能簡單運用數(shù)學(xué)思想方法,優(yōu)等生要能靈活運用數(shù)學(xué)思想方法解答試題。例如在選修1-1的2.3.2拋物線幾何性質(zhì)的例5,對于后進生可以滲透函數(shù)與方程思想進行講解,對于中等生可以多加講解分類討論思想方法,對于優(yōu)等生不僅要求會掌握運用以上的思想方法,而且可以再進行拓展,提高難度。又如在選修1-1的2.2.2雙曲線幾何性質(zhì),講解例5時,后進生可講授數(shù)形結(jié)合思想。而中等生可用類比思想比較第41頁的例6,得出其第二定義。對于優(yōu)等生,可由例5和例6,從特殊到一般,總結(jié)圓錐曲線的軌跡問題。

    接著,教師在教學(xué)時要堅持不懈。只有反復(fù)強調(diào),學(xué)生才能每時每刻想著數(shù)學(xué)思想方法,用其指導(dǎo)解題。例如在選修1-1的2.2雙曲線,在新授其標準方程可以類比橢圓。類似的,在授課幾何性質(zhì)時候也可以類比橢圓來展開。焦點在y軸上的性質(zhì)可以類比焦點在x軸的性質(zhì)。反復(fù)強調(diào),學(xué)生不僅記得牢而且不易混淆,還有利于思想方法的運用。又如在必修2的第4章在講解點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系,從它們相似之處強調(diào)類比思想。運用代數(shù)法和幾何法證明它們之間的關(guān)系,反復(fù)強調(diào)數(shù)形結(jié)合的重要思想方法。

    然后,教師在教學(xué)時要注意自然性。在教學(xué)過程中,要掌握好講解思想方法的時機,可以在概念講解中,也可以在例題后。注意有機結(jié)合,不可生硬照搬。例如在必修2的4.2.2圓與圓的位置關(guān)系這節(jié)課里,可以類比直線與圓的位置關(guān)系引入新課,自然而然引入類比方法。接著用圓心距與兩圓半徑的關(guān)系判斷位置,同時用兩圓的解析式構(gòu)建方程組,由實數(shù)根判別式得到兩圓的關(guān)系。自然而然的講授數(shù)形結(jié)合的思想方法。又如在必修2的4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用,在講解例4和例5后自然而然的引入“轉(zhuǎn)化”的思想,代數(shù)與幾何的轉(zhuǎn)化步驟。

    參考文獻:

    [1]陳中峰,楊蒼洲. 2016年高考“圓錐曲線與方程”專題命題分析[J].中國數(shù)學(xué)教育(高中版),2016(9):15-23.

    [2]劉紅.高中生數(shù)學(xué)思想形成的教學(xué)研究[D].天津師范大學(xué)碩士學(xué)位論文,2009.

    [3]杜志健.2010-2019金考卷特快專遞全國統(tǒng)一命題卷高考真題匯編10真文科數(shù)學(xué)[G].新疆:新疆青少年出版社,2019.

    [4]傅海倫.數(shù)學(xué)思想方法發(fā)展概論[M].濟南:山東教育出版社,2013:106-124.

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