運用構(gòu)造法解抽象函數(shù)不等式問題

孫 蕓

(山東省青島市第66中學，266032)

運用構(gòu)造法解決抽象函數(shù)的不等式問題，是應用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性問題的延伸,也是常見的函數(shù)性質(zhì)考察方式．在抽象函數(shù)不等式問題中,導數(shù)的出現(xiàn)比較隱晦,因為這類問題要研究的往往不是f(x)本身的單調(diào)性,而是包含f(x)的一個新函數(shù)的單調(diào)性.通常難點有兩個,其一是如何利用已有條件構(gòu)造可以確定單調(diào)性的函數(shù),即構(gòu)造什么樣的函數(shù)?其二是導數(shù)形式比較明朗,即容易構(gòu)造,難點在于待求不等式與構(gòu)造函數(shù)的關(guān)聯(lián).下面以具體問題為例，淺談對這兩類難點的突破方法.

例1定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)+f′(x)>1,f(0)=4,則不等式exf(x)>ex+3的解集為______.

解析f(x)+f′(x)這個條件一般可以構(gòu)造函數(shù)exf(x),在本題中,大于1這個條件該怎樣用呢?不妨將條件轉(zhuǎn)化為f(x)-1+f′(x)>0，即構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex[f(x)-1],則g′(x)>0,所以g(x)在R上遞增;∴exf(x)-ex>3，即g(x)>g(0).解得x>0，∴解集為(0,+∞).

構(gòu)造的原理在于充分了解exf(x)的導數(shù)特征及[f(x)+c]′=f′(x)這一特征.

突破方法1要想迅速找到構(gòu)造函數(shù)的方向,需對常見函數(shù)的導數(shù)特征非常熟練,并能掌握一些常見構(gòu)造技巧.常見函數(shù)構(gòu)造模型如下:

關(guān)系式為“加”型:

(1)f′(x)+f(x)≥0：構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)，則F′(x)=[exf(x)]′=ex[f′(x)+f(x)]；

(2)xf′(x)+f(x)≥0：構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),則F′(x)=[xf(x)]′=xf′(x)+f(x)；

(3)xf′(x)+nf(x)≥0：構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x),則F′(x)=[xnf(x)]′=xnf′(x)+nxn-1f(x)=xn-1[xf′(x)+nf(x)].(x的符號討論)

關(guān)系式為“減”型：

例2函數(shù)f(x)在R上的導函數(shù)為f′(x),對于任意的x∈R，有f(x)+f(-x)=x2,在[0,+∞]上，f′(x)

(A)[0,+∞) (B)(-∞,2]

(C)(-∞,2]∪[2,+∞)

(D)[-2,2]