Dupuit模型的改進(jìn)
——具入滲補給

陳崇希

(中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)環(huán)境地質(zhì)研究所，湖北 武漢 430074)

1 研究背景

本文所述的Dupuit模型[1]是1863年最初提出的模型，即“圓島狀含水層穩(wěn)定井流模型”[2]，而非“無界含水層中影響半徑穩(wěn)定井流模型”，即方程中的R是圓島半徑, 而非影響半徑。后者的地下水流是不可能形成穩(wěn)定狀態(tài)的[2-3]。

經(jīng)典的Dupuit潛水穩(wěn)定井流模型(1863年)，只有側(cè)向的圓島外邊界(湖海)及抽水井井壁內(nèi)邊界，而不涉及上邊界降水入滲補給。如此一旦抽水，經(jīng)過一定時間之后必導(dǎo)致海(湖)水入侵。然而自然條件大多存在大氣降水的入滲補給，這樣一來，Dupuit模型基本上只能在旱季用于地下水井流試驗求取含水系統(tǒng)的參數(shù)，而不能夠用于預(yù)測。人們往往企望截取大氣降水補給地下水的開采模式，然而經(jīng)典的Dupuit穩(wěn)定井流模型卻沒有這個功能。就此而言，這是一個非常大的缺憾。

本文試圖發(fā)展上述Dupuit圓島狀含水層穩(wěn)定井流模型，即考慮地面入滲補給(蒸發(fā)排泄視為其負(fù)值)作用。如此，可用新建模型來預(yù)測相應(yīng)條件的地下水開釆、排泄的效果。

所討論的問題為穩(wěn)定均勻入滲的條件，其它條件與Dupuit圓島狀潛水含水層井流模型相同。

2 解析模型的建立

2.1 假設(shè)條件及基本方程

(1)假設(shè)條件

圖1 具入滲補給的圓島潛水穩(wěn)定井流模型Fig.1 Steady well flow model of phreatic water in Round Island with infiltration recharge a—ε=0條件下的Dupuit下降漏斗曲線；b—ε>0條件下的漏斗曲線

隔水底板水平的均質(zhì)圓島狀潛水層,上邊界具穩(wěn)定均勻入滲補給，外邊界是定水位條件，抽水井位于圓島中心。此條件下，地下水為徑向(軸對稱)穩(wěn)定流，以潛水層底面為基準(zhǔn)靣，取柱坐標(biāo)系統(tǒng)(圖1)，且以井心隔水底面處為原點；由于地下水動力學(xué)井流中的流量通常定義抽水流量為正值，故記流速向井(原點)為正。

(2)基本方程

依水量守恒原理，假定滲流服從Darcy定律并滿足Dupuit徦定，任一r斷面的流量Q的計算公式為:

(1)

QR=Qw-πR2ε

(2)

式中：rw——井半徑；

R——圓島半徑；

Qw——抽水井流量；

ε——入滲強度(單位時間單位面積入滲水量)。

若Dupuit假定成立，則任一斷面流量Q為：

(3)

式中：K——滲透系數(shù)；

h——潛水位(等于潛水層厚度)。

2.2 流量方程及物理意義

(1)流量方程

將式(3)代入式(1)，得

積分后得

(4)

得

(5)

若取r=R?rw，則h=h0，上式可改寫為：

(6)

(2)物理意義

Qw由兩部分組成：第一部分即無入滲補給條件的Dupuit流量方程，表示內(nèi)外邊界對Qw的貢獻(xiàn)；另一部分表示入滲補給對Qw的貢獻(xiàn)。

將式(6)代入式(2)，得外邊界的流量為：

(7)

若QR>0，則外邊界補給地下水(水位面如圖1中的a曲線)；若QR=0，則外邊界與地下水間互不補排；若QR<0，則外邊界排泄地下水，這時存在地下水分水嶺(水位線如圖1中的b曲線所示)。

將式(6)代入式(1)，得任意斷面的流量：

(8)

2.3 水位方程及地下水分水嶺

(1)水位方程

由式(4)整理得

(9)

或?qū)⑹?6)中Qw代入式(9)，得

(10)

這就是水位曲線方程。

由式(9)，若Qw=0且rw→0，則得未抽水時圓島天然潛水位的分布：

(11)

當(dāng)r=R時，h=h0，則有

(12)

此即未抽水時，位于圓島中心處的最高潛水位。

將式(12)代入式(11)，得

(13)

(2)地下水分水嶺

由于

(14)

其物理意義十分明確，抽水井的流量來自于地下水分水嶺以內(nèi)的入滲補給量。

定義抽水條件下地下水的分水嶺位置為ra，其相應(yīng)水位為ha。

由式(8)，在Q=0處，r=ra，有

(15)

在r=ra處，h=ha，由式(9)可得ha公式：

(16)

式(6)的Qw代入式(16)或者直接由式(10)可得由邊界水位、含水層參數(shù)及入滲強度表示的潛水分水嶺的水位：

(17)

3 解析方程的基本用途

3.1 求取含水層滲透系數(shù)K及入滲強度ε

(18)

事實上，將式(18)代入式(9)可得

(19)

由此，當(dāng)r=r1、h=h1時，可以解得

(20)

3.2 計算不同條件下的水位及流量

若已知參數(shù)K及ε，給定Qw，則可利用式(6)計算hw；反之亦然。

若令Qw=πR2ε，則依式(6)計算的hw，是截取全部入滲補給量的抽水井中的水位。

3.3 有關(guān)Dupuit假定及應(yīng)用新公式注意事項的初步討論

在建立解析方程的過程中，假設(shè)滿足Dupuit假定。引入Dupuit假定，對本問題解析研究可以降維(略去z變量)而使有關(guān)方程變得簡單明了。然而實際上，在某些r斷面上是會出現(xiàn)偏離Dupuit假定的，主要在地下水分水嶺附近。這一點，Bear(1972年)[4]有過相關(guān)的討論。即使沒有入滲補給的原始Dupuit模型，如果潛水含水層厚度與圓島半徑之比較大, 且當(dāng)抽水井水位降深與潛水含水層厚度之比較大時，在抽水井附近也會出現(xiàn)偏離Dupuit假定。已知非完整抽水井附近的三維流，向外逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)槎S流(忽略z分量)，此徑距r大約是含水層厚度的1.5倍[3]。借助這一研究成果，估計Dupuit假定(忽略z分量)不滿足的地段，可能小于含水層厚度的1.5 倍。上述種種偏離Dupuit假定對解析結(jié)果影響的定量分析，還需要進(jìn)一步研究。

認(rèn)識到Dupuit假定在某些區(qū)段可能會有所偏離，那么在抽水試驗求取含水層有關(guān)參數(shù)時，觀測孔的部署要盡量回避這些區(qū)段。

4 結(jié)論及討論

(1)對Dupuit圓島穩(wěn)定井流模型做了改進(jìn)， 即考慮垂向入滲補給(蒸發(fā)示為其負(fù)值)作用，建立了新模型相關(guān)的流量方程及水位方程。當(dāng)所建的新方程中的入滲強度ε取值為零時，其方程蛻變?yōu)榻?jīng)典的Dupuit方程。

(2)討論了新的解析方程的基本用途。新模型可以用于求取含水層滲透系數(shù)K、入滲強度ε等參數(shù)。

(3)有關(guān)Dupuit假設(shè)對所建方程的影響做了初步討論，對抽水試求取水文地質(zhì)參數(shù)的觀測孔部署也提出建議。

(4)至于新模型要求入滲是均勻穩(wěn)定的，在應(yīng)用中怎么考慮？這個問題是解析模型的一個普遍問題，不僅限于這個新模型。例如，經(jīng)典的具有入滲的河間地區(qū)模型[3]，它的入滲也是均勻穩(wěn)定的。然而在自然界，一般入滲是不均勻，不穩(wěn)定的，應(yīng)用中怎么辦？至今沒有見到討論。實際上，當(dāng)今已經(jīng)廣泛使用的數(shù)值模擬是可以用來研究此問題的，即做大量的不同尺度和不同參數(shù)的組合進(jìn)行模擬研究，以此可以得出解析方程近似應(yīng)用的條件。但此項研究是下個課題的任務(wù)。

地下水井流問題，這是當(dāng)今地下水動力學(xué)理論和應(yīng)用最主要的課題之一。從1863年的Dupuit穩(wěn)定井流模型問世到今天的150多年里，發(fā)展了Theis 不穩(wěn)定井流模型、越流系統(tǒng)井流模型、各類潛水井流模型、二元結(jié)構(gòu)含水系統(tǒng)井流模型等，這么重要的井流問題，尚沒見到一個已考慮自然界地下水系統(tǒng)不可或缺的入滲補給條件的。因此，作為初次研究有入滲補給的井流問題，我們是從Dupuit穩(wěn)定井流模型，而且其入滲是均勻且穩(wěn)定的簡單條件開始。后續(xù)還有多個課題有待學(xué)者們研究。筆者期待更多創(chuàng)新成果出現(xiàn)。