含參集值向量均衡問題有效解下半連續(xù)的最優(yōu)條件

張傳美, 孟旭東

(南昌航空大學科技學院 文理學部, 南昌 330034)

集值向量均衡問題在最優(yōu)控制和經(jīng)濟管理等領域應用廣泛. 目前, 關于集值向量均衡問題的研究已取得許多成果[1-18]： Huang等[1]研究了含參隱向量均衡問題解集映射的連續(xù)性; Chen等[2]在拓撲向量空間中給出了含參集值弱向量均衡問題解映射連續(xù)性定理; 在文獻[2]的基礎上, 借助標量化技巧, Chen等[3]討論了含參廣義向量均衡問題解集映射的下半連續(xù)性; Chen等[4]在實局部凸Hausdorff拓撲向量空間中得到了含參弱向量均衡問題各種真有效解集映射的連續(xù)性定理; Peng等[5-6]用標量化方法給出了含參廣義系統(tǒng)弱有效解映射、 強有效解映射和全局有效解映射的下半連續(xù)性; Han等[7]在賦范線性空間中分析了一類廣義向量均衡問題弱有效解和強有效解下半連續(xù)的最優(yōu)條件; Xu等[8]提出了近似錐-次類凸集值映射的概念, 證明了近似錐-次類凸性是目前更廣義的凸性, 并在此條件下給出了強有效解的Kuhn-Tucker型最優(yōu)性條件和超有效解的Lagrange型最優(yōu)條件; Xu等[9]給出了集值映射的f-性, 并討論了含參廣義強向量均衡問題有效解映射下半連續(xù)性定理； 孟旭東等[10]在實Hausdorff拓撲向量空間中討論了一類含參廣義集值向量均衡問題弱有效解與有效解映射的下半連續(xù)性, 在近似錐-次類凸條件下, 運用標量化方法得到了弱有效解的標量化結果, 并在集值映射的弱f-性條件下, 得到了含參廣義集值向量均衡問題弱有效解與有效解映射下半連續(xù)性定理. 本文在文獻[7,9-10]的基礎上, 在實Hausdorff拓撲向量空間中討論一類含參集值向量均衡問題有效解的最優(yōu)條件, 推廣了文獻[7,9-10]中的相關結論.

1 預備知識

設X,Y為實Hausdorff拓撲向量空間,Z,W為實拓撲空間,X,Y,Z,W中的零向量皆記為0.Y的拓撲對偶空間為Y*,Y中的閉凸點錐C滿足其拓撲內(nèi)部intC≠?, 錐C的共軛錐C*及C*的擬內(nèi)部C#分別定義為

C*∶={f∈Y*:f(y)≥0, ?y∈C},

C#∶={f∈Y*:f(y)>0 ,?y∈C{0}}.

記Y中非空子集D的閉包和錐包分別為cl(D)和cone(D), 且cone(D)={td:t≥0,d∈D}.

設B為凸錐C的非空凸子集, 如果C=cone(B)且0?cl(B), 則稱B為C的基. 易知,C#≠?當且僅當C存在基. 根據(jù)文獻[11]知, intC*?C#當且僅當intC*≠?. 設B為C的基, 定義

CΔ={f∈C#: 對任意的b∈B, 存在t>0, 使得f(b)≥t},

由凸集分離定理知,CΔ≠?, 且CΔ?C#. 又0?cl(B), 則存在f∈Y*{0}, 有r=inf{f(b):b∈B}>f(0)=0. 因此VB={y∈Y: |f(y)|

對任意零元凸鄰域U?VB,B+U為凸集且0?cl(B+U), 則CU(B)∶=cone(B+U)為點凸錐, 且滿足C{0}?intCU(B).

設A?X為非空子集,F:A×A→2Y{?}為集值映射,h:A×A→A為向量值映射. 考慮如下集值向量均衡問題(簡稱問題(SVEP)), 存在點x0∈A, 使得

F(x0,h(x0,y))∩(-K)=?, ?y∈A,

其中K∪{0}為Y中的凸錐. 設Λ?Z,Ω?W為非空指標集,M:X×Λ→2X{?},F:E×E×Ω?X×X×W→2Y{?}為集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)為向量值映射. 考慮如下含參集值向量均衡問題(簡稱問題(PSVEP)), 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω, 存在點x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-K)=?, ?y∈A(λ),

定義1設Λ?Z,Ω?W為非空指標集,F:E×E×Ω?X×X×W→2Y{?}為給定的集值映射,h:A(Λ)×A(Λ)→A(Λ)為向量值映射, 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω, 有下列定義:

1) 如果存在點x0∈A(λ), 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intC)=?, ?y∈A(λ),

則稱點x0是問題(PSVEP)的弱有效解, 此時, 將問題(PSVEP)所有弱有效解的全體記為VW(λ,μ), 則

VW(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=?, ?y∈A(λ)};

2) 如果存在點x0∈A(λ)及零點的鄰域U?VB, 使得

F(x0,h(x0,y),μ)∩(-intCU(B))=?, ?y∈A(λ),

則稱點x0是問題(PSVEP)的Henig有效解, 此時, 將問題(PSVEP)所有Henig有效解的全體記為VH(λ,μ), 則

VH(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-intCU(B))=?, ?y∈A(λ)};

3) 如果存在點x0∈A(λ)及點凸錐H?Y, 滿足C{0}?intH, 使得

F(x0,h(x0,y),λ)∩(-H{0})=?, ?y∈A(λ),

則稱點x0是問題(PSVEP)的Global有效解, 此時, 將問題(PSVEP)所有Global有效解的全體記為VG(λ,μ), 則

VG(λ,μ)={x∈A(λ):F(x,h(x,y),μ)∩(-H{0})=?, ?y∈A(λ)};

4) 如果存在點x0∈A(λ), 且對零點的每個鄰域V?Y, 都存在零點的鄰域U?Y, 使得

cone(F(x0,h(x0,y),μ))∩(U-C)?V, ?y∈A(λ),

則稱點x0是問題(PSVEP)的超有效解, 此時, 將問題(PSVEP)所有超有效解的全體記為VS(λ,μ), 則

VS(λ,μ)={x∈A(λ): cone(F(x,h(x,y),μ))∩(U-C)?V, ?y∈A(λ)};

5) 對每個f∈C*{0Y*}, 如果存在點x0∈A(λ), 使得?y∈A(λ)及?z∈F(x0,h(x0,y),μ),f(z)≥0， 則稱點x0是問題(PSVEP)的f-有效解, 此時, 將問題(PSVEP)所有f-有效解的全體記為Vf(λ,μ), 則

注1問題(PSVEP)有下列4種特殊情形:

3) 若Λ=Z,Ω=W,h(x,y)=y, 則問題(PSVEP)即為文獻[7]中分析的一類廣義向量均衡問題, 即對每個(λ,μ)∈Λ×W, 都存在點x0∈A(λ), 使得?y∈A(λ),F(x0,y,μ)∩(-C{0})=?, 其中A:Λ→2X{?},F:X×X×W→2Y{?}為給定集值映射;

4) 若W=Z=Λ=Ω,h(x,y)=y,λ=μ, 則問題(PSVEP)即為文獻[14]中討論的廣義強向量均衡問題, 即對每個μ∈Λ, 都存在點x0∈A(μ), 使得?y∈A(μ),F(x0,y,μ)?-C{0}, 其中A:Λ→2X{?},F:X×X×Λ→Y為給定向量值映射.

定義2[15]設X,Y為實Hausdorff拓撲向量空間,G:X→2Y{?}為給定集值映射, 點x0∈X給定.

1) 如果對任意開集V?Y, 都滿足G(x0)?V, 且存在點x0的鄰域U?Y, 使得對任意的點x∈U, 都有G(x)?V, 則稱集值映射G在點x0處上半連續(xù)；

2) 如果對任意開集V?Y, 均滿足G(x0)∩V≠?, 且存在點x0的鄰域U?Y, 使得對任意的點x∈U, 都有G(x)∩V≠?, 則稱集值映射G在點x0處下半連續(xù)；

3) 如果集值映射G在點x0處既上半連續(xù)又下半連續(xù), 則稱集值映射G在點x0處連續(xù)；

4) 如果集值映射G在X上的每一點處都連續(xù), 則集值映射G在X上連續(xù).

定義3[16-17]設X,Y為實Hausdorff拓撲向量空間,G:Λ?X→2Y{?}為給定的集值映射.

1) 如果對任意的點x1,x2∈Λ,λ∈[0,1], 都有

λG(x1)+(1-λ)G(x2)?G(λx1+(1-λ)x2)+C,

則稱G在Λ上為C-凸集值映射;

2) 如果存在點θ∈intC, 對任意的點x1,x2∈Λ,λ∈[0,1],α>0, 存在點x3∈Λ, 使得

αθ+λG(x1)+(1-λ)G(x2)?G(x3)+C,

則稱G在Λ上為近似C-次類凸集值映射, 且G在Λ上為近似C-次類凸集值映射當且僅當clcone(G(Λ)+C)為Y中的凸集.

注2根據(jù)定義3知, 若G在Λ上為C-凸集值映射, 則G在Λ上為近似C-次類凸集值映射. 反之不然(參見文獻[16]中例3.1).

(1)

則稱集值映射H在點x0處具有弱f-性. 如果H在每點x∈E處都具有弱f-性, 則稱集值映射H在E上具有弱f-性.

2) 根據(jù)定義4, 如果H在X上具有f-性, 則H在X上具有弱f-性. 但反之不然(參見文獻[10]中例2.1).

引理1[18]設X,Y為實Hausdorff拓撲向量空間,G:X→2Y{?}為給定集值映射, 點x0∈X給定, 則下列結論成立:

1) 集值映射G在點x0處下半連續(xù)當且僅當對任意的網(wǎng){xα}?X,xα→x0及任意的點y0∈G(x0), 存在點yα∈G(xα), 使得yα→y0.

2) 如果G為緊值的(即對每個點x∈X,G(x)均為緊集), 則集值映射G在點x0處上半連續(xù)當且僅當對任意的網(wǎng){xα}?X,xα→x0及任意的點yα∈G(xα), 存在點y0∈G(x0)和子網(wǎng){yβ}?{yα}, 使得yβ→y0.

2 下半連續(xù)性

引理3設B為C的基, 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω及點x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上近似C-次類凸, 則下列結論成立：

證明： 1) 先證

(2)

再證

(3)

事實上, 對任意的點x∈VW(λ,μ), 均有點x∈A(λ), 且?y∈A(λ),F(x,h(x,y),μ)∩(-intC)=?, 因此

F(x,h(x,A(λ)),μ)∩(-intC)=?.

(4)

從而必有

cone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=?.

(5)

若存在t≥0及點y0∈A(λ), 使得

t(F(x,h(x,y0),μ)+C)∩(-intC)≠?,

(6)

則根據(jù)0?-intC知,t>0, 注意到C為凸錐, 結合式(6)得F(x,h(x,y0),μ)∩(-intC)≠?. 與式(4)矛盾, 故式(5)成立.

由-intC為開集, 并結合式(5)有

clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)∩(-intC)=?.

(7)

注意到已知條件, 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω及點x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上為近似C-次類凸的, 則clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)為凸集. 根據(jù)凸集分離定理知, 存在f∈Y*{0Y*}, 使得

(8)

又由clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C)為錐, ?z∈clcone(F(x,h(x,A(λ)),μ)+C), 有f(z)≥0, 因此

f(z)≥0, ?z∈F(x,h(x,A(λ)),μ)+C.

(9)

由0∈C知

f(z)≥0, ?z∈F(x,h(x,A(λ)),μ),

(10)

故

(11)

最后證f∈C*. 事實上, 根據(jù)式(10)知

f(z)≥0, ?x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ).

(12)

再由式(9)得

f(z+δc)≥0, ?x∈A(λ),y∈A(λ),z∈F(x,h(x,y),μ),δ≥0,c∈C.

(13)

從而必有

f(c)≥0, ?c∈C.

(14)

若不然, 則存在點c0∈C, 使得f(c0)<0, 取δ充分大, 存在點x0∈A(λ),y0∈A(λ),z0∈F(x0,h(x0,y0),μ), 使得

δf(c)<-f(z0),

(15)

與式(13)矛盾, 故式(14)成立, 從而f∈C*. 再結合式(11), 有

(16)

故式(3)成立. 因此

類似1)的證明方法, 易證2),3),4)成立.

注4當h(x,y)=y時, 根據(jù)引理3中1)可得文獻[10]中引理2.2, 且借助于弱f-性代替文獻[9]中的f-性, 并推廣了文獻[9]中引理3.2.

為討論問題(PSVEP)的有效解在Λ×Ω上的下半連續(xù)性, 下面給出Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性.

引理4設f∈C*{0Y*}, 如果下列條件成立：

1)A(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

2)h(·,·)在A(Λ)×A(Λ)上連續(xù)；

3)F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上有弱f-性.

則Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

證明： 如果存在點(λ0,μ0)∈Λ×Ω, 使得Vf(·,·)在點(λ0,μ0)處不是下半連續(xù)的, 則存在網(wǎng){(λα,μα)}?Λ×Ω, 滿足(λα,μα)→(λ0,μ0), 且點x0∈Vf(λ0,μ0), 對任意的點xα∈Vf(λα,μα), 有xα→/x0. 由點x0∈Vf(λ0,μ0)知, 點x0∈A(λ0). 于是,

(17)

(18)

(19)

與式(18)矛盾, 從而Vf(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

注5當h(x,y)=y時, 即可得文獻[10]中引理2.1, 并借助于弱f-性代替文獻[9]中的f-性, 推廣了文獻[9]中引理3.1.

結合Vf(·,·)在Λ×Ω上的下半連續(xù)性, 可得問題(PSVEP)的弱有效解在Λ×Ω上的下半連續(xù)性的最優(yōu)條件.

為方便敘述， 給出如下假設條件：

(H1)A(·)在Λ上連續(xù)且具有非空緊值；

(H2)h(·,·)在A(Λ)×A(Λ)上連續(xù)；

(H3)F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上有弱f-性；

(H4) 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω及點x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上近似C-次類凸;

(H5) 對每個(λ,μ)∈Λ×Ω及點x∈A(λ),F(x,h(x,·),μ)在A(λ)上C-凸.

定理1設f∈C*{0Y*}且intC≠?, 如果假設條件(H1)～(H4)成立, 則VW(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

注6當h(x,y)=y時, 即可得文獻[10]中定理2.1. 此外, 將文獻[7]中定理4.1的條件F(·,·,·)在A(Λ)×A(Λ)×Ω上具有連續(xù)性弱化為具有弱f-性, 結論仍然成立.

結合注2可得:

推論1設f∈C*{0Y*}且intC≠?, 如果假設條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VW(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

類似定理1的證明, 結合引理2～引理4及注2, 可得問題(PSVEP)的Henig有效解、 Global有效解和超有效解在Λ×Ω上下半連續(xù)性最優(yōu)條件的相關結論.

定理2設f∈CΔ, 如果假設條件(H1)～(H4)成立, 則VH(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論2設f∈CΔ, 如果假設條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VH(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

定理3設f∈C#, 如果假設條件(H1)～(H4)成立, 則VG(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論3設f∈C#, 如果假設條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VG(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

定理4設B為C的有界基, 且f∈intC*, 如果假設條件(H1)～(H4)成立, 則VS(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).

推論4設B為C的有界基, 且f∈intC*, 如果假設條件(H1)～(H3),(H5)成立, 則VS(·,·)在Λ×Ω上下半連續(xù).