借助幾何畫(huà)板促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展

■天津市咸水沽第三中學(xué) 張宗玲

2014 年教育部發(fā)布的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》要求，把核心素養(yǎng)落實(shí)到學(xué)科教學(xué)中去，促進(jìn)學(xué)生全面而有個(gè)性的發(fā)展?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出，信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容以及教學(xué)方式等多方面都具有很大的作用。數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施，應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實(shí)效性。在課堂教學(xué)中怎樣運(yùn)用信息技術(shù)，以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為主線，將課程內(nèi)容有效地落地，并從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)落實(shí)中揭示知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，再進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，這是我們一線教師不斷研究的問(wèn)題。本文主要淺談一下幾何畫(huà)板在學(xué)生數(shù)學(xué)思維形成中的作用。

一、縱向拉伸學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力

根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求在課堂教學(xué)中促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。這就要求教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，尋找具體有效的教學(xué)方法和策略，使學(xué)生達(dá)到相應(yīng)水平的要求。數(shù)學(xué)內(nèi)容中的數(shù)學(xué)概念部分的教學(xué)，要講清楚其內(nèi)涵和外延，而有些內(nèi)容對(duì)于內(nèi)涵的詮釋用語(yǔ)言描述清楚比較費(fèi)時(shí)費(fèi)力，有些學(xué)生很難想象出來(lái)，可這些內(nèi)容又是有助于學(xué)生縱向思維拉伸的關(guān)鍵點(diǎn)，這就需要借助于信息技術(shù)的介入，幫助學(xué)生提升思維的空間，起到事半功倍的作用。

例如：在反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)這一節(jié)課中，對(duì)于圖象的畫(huà)法以及圖象形成的過(guò)程，由于學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)過(guò)一次函數(shù)和二次函數(shù)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的作圖步驟已經(jīng)很清楚，但是由于前面兩種函數(shù)的自變量取值范圍是全體實(shí)數(shù)，決定了函數(shù)圖象的連續(xù)性，或一條直線或一條曲線。但反比例函數(shù)y=k/x（k≠0）的自變量取值范圍為x≠0，這樣就決定了函數(shù)圖象是間斷的、不連續(xù)的，與x軸和y軸的關(guān)系是怎樣的呢？這就需要學(xué)生的想象力來(lái)支撐。但對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于前面知識(shí)的負(fù)遷移，很容易產(chǎn)生思維障礙，出現(xiàn)各種問(wèn)題：畫(huà)成折線、畫(huà)成連續(xù)的、畫(huà)成與x軸、與y 軸相交的……而利用幾何畫(huà)板的點(diǎn)追蹤和圖象的無(wú)限性，將無(wú)數(shù)點(diǎn)的發(fā)展趨勢(shì)很直觀地展現(xiàn)出來(lái)，將圖象的無(wú)限趨近于x 軸或y 軸，但不與之相交，讓學(xué)生很清晰地有了認(rèn)識(shí)。這就是信息技術(shù)的強(qiáng)大功能，填補(bǔ)了思維能力較難達(dá)到的空白，助推了學(xué)生的思維向前邁了一步，使學(xué)生的空間觀念和抽象思維建立起完整的構(gòu)架。

二、橫向拉伸學(xué)生的思維，提升對(duì)幾何直觀和空間想象能力

數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)學(xué)生思維能力的學(xué)科，在課堂教學(xué)中經(jīng)常需要一題多變，一題多解來(lái)促進(jìn)學(xué)生思維的橫向發(fā)展。對(duì)于數(shù)學(xué)題目之間的發(fā)展的內(nèi)在聯(lián)系，要依靠學(xué)生的想象力去發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系與規(guī)律，但是，有些規(guī)律比較隱蔽，學(xué)生單靠想象力是難以達(dá)到的，初中學(xué)生具有依靠直觀性來(lái)發(fā)展思維能力的特點(diǎn)，因此，就需要信息技術(shù)的力量將抽象的問(wèn)題具體化，直觀化，加速學(xué)生觀察圖形、理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的步伐。

問(wèn)題1：已知等邊△ADE 和等邊△ABC，如圖1，當(dāng)點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，探究下列問(wèn)題：有幾對(duì)全等三角形？還有什么結(jié)論呢？如果將三角形旋轉(zhuǎn)就可以得到圖2情形下，圖1中發(fā)現(xiàn)的結(jié)論是否還成立？

圖1

圖2

利用幾何畫(huà)板的度量功能可以度量出相關(guān)的角度，度量相關(guān)線段長(zhǎng)度，驗(yàn)證線段關(guān)系的成立，從而可以驗(yàn)證學(xué)生觀察、猜想出的結(jié)論的正確性，增強(qiáng)了學(xué)生繼續(xù)研究問(wèn)題的信心，對(duì)學(xué)生的數(shù)感、幾何直觀的培養(yǎng)都起到了很好的作用。還可以利用幾何畫(huà)板的填充功能將全等三角形或等邊三角形很清晰地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，可以幫助學(xué)生比較直觀地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、形象化，有利于解決問(wèn)題的思路探索，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的幾何直觀能力和思維能力的提升。

為了進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，將問(wèn)題深入探究下去，進(jìn)而更加接近數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，因此，將本題的數(shù)學(xué)背景圖形進(jìn)行改變。

問(wèn)題2：將原來(lái)題目中的等邊三角形改成等腰直角三角形，如圖3，上述問(wèn)題的結(jié)論，哪些依然成立？當(dāng)△ADE 繞點(diǎn) A 旋轉(zhuǎn)至圖 4 時(shí)，連接 CE、BD 相交于點(diǎn)F，連接FA。問(wèn)：圖3中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

圖3

圖4

利用幾何畫(huà)板將上述問(wèn)題動(dòng)起來(lái)，從兩個(gè)等邊三角形的特殊位置，到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一般位置；從等邊三角形變形為等腰直角三角形的特殊位置，再到旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一般位置，讓學(xué)生充分觀察圖形之間的聯(lián)系，充分體驗(yàn)圖形變化過(guò)程中，數(shù)學(xué)問(wèn)題的神奇變化，學(xué)生去猜測(cè)、思考圖形在變化過(guò)程中不變因素和變化的因素。在這一探究中充分體現(xiàn)出信息技術(shù)的優(yōu)勢(shì)，使得數(shù)學(xué)問(wèn)題中抽象，難以想象的問(wèn)題，通過(guò)幾何畫(huà)板的強(qiáng)大功能，變得容易理解、容易想象了。這也符合初中學(xué)生的心理發(fā)展的特點(diǎn)，借助直觀發(fā)展想象。經(jīng)過(guò)幾何畫(huà)板的助力，讓學(xué)生的思維不僅增加了寬度，而且拉伸了深度，提升了學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)的思維特征——數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)。

三、揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，提升學(xué)生的空間觀念

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)遇到有一類題無(wú)論怎樣冥思苦想，都很難發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的途徑。而直觀想象是依靠幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化，利用圖形的直觀性來(lái)理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維過(guò)程。一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有當(dāng)把這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀含義和思路想明白，才能真正解決。因此，借助于信息技術(shù)詮釋數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)涵，揭示其內(nèi)在的規(guī)律，是教師要用心挖掘的問(wèn)題。

如圖5，已知等邊三角形ABC，邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)P 為邊BC上的點(diǎn)，點(diǎn)M為直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，∠MPN=90°，PM=PN，求BN的最小值。

圖5

圖6

這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題是求線段最小值的問(wèn)題，運(yùn)用最短原理去探討最小值，關(guān)鍵是點(diǎn)N 的軌跡是什么不好想象，幾何畫(huà)板的點(diǎn)追蹤問(wèn)題將此題中的本質(zhì)展示出來(lái)（如圖6），點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條垂直于直線AC的直線，點(diǎn)B到軌跡直線的最小距離就是垂線段（垂足為N）BN的長(zhǎng)度。

諸如這一類的問(wèn)題，都可以用幾何畫(huà)板探究數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)在所蘊(yùn)含的規(guī)律，揭示事物的本質(zhì)，同時(shí)也拓展了學(xué)生思考問(wèn)題的方法，將最值問(wèn)題又可以提升出一種方法，點(diǎn)B 是固定點(diǎn)，點(diǎn)M 為直線上的動(dòng)點(diǎn)，在三角形PMN形狀不變的條件下，考慮點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)軌跡是什么圖形，當(dāng)思維發(fā)展到這里，就抓住了解決問(wèn)題的關(guān)鍵。幾何畫(huà)板恰恰彌補(bǔ)了思維有些難以達(dá)到的不足，有效地解決數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維障礙，將問(wèn)題真相展示在學(xué)生面前，將學(xué)生的直觀想象和空間觀念又提升了一個(gè)高度，這就是信息技術(shù)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)帶來(lái)的驚喜。

課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主渠道，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)不是一蹴而就的，而是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的積累才能達(dá)到的。尤其在課堂中運(yùn)用信息技術(shù)為學(xué)生搭建思維平臺(tái)，用信息技術(shù)助推思維向深、向?qū)拑蓚€(gè)方面發(fā)展，基于信息技術(shù)提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是近幾年教育教學(xué)中不斷研究的課題，教師對(duì)信息技術(shù)的有效運(yùn)用，使得學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，更加關(guān)注依附在知識(shí)之上的數(shù)學(xué)思想方法，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)的提升，也是今后數(shù)學(xué)教學(xué)中恒抓不懈的課題。