用PBL建構(gòu)基于探究性理解的教學(xué)

卞明星

【摘要】以蘇教版《函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理》教學(xué)為例，嘗試用PBL建構(gòu)基于探究性理解的定理教學(xué)，以期發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】PBL教學(xué)法? 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理

【中圖分類號(hào)】G633.6?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A?【文章編號(hào)】2095-3089（2020）33-0106-02

一、背景介紹

近期筆者有幸觀摩了4節(jié)江蘇省南京市四星級(jí)初高中的觀摩展示課，獲學(xué)員一致好評(píng)的是南京一中張老師的這節(jié)課，教學(xué)內(nèi)容是蘇教版高一下冊(cè)“函數(shù)的零點(diǎn)”。這節(jié)課是基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法（PBL），因勢(shì)利導(dǎo)，注重知識(shí)的“自然生長(zhǎng)”的一節(jié)優(yōu)課。好的數(shù)學(xué)問(wèn)題能夠幫助學(xué)生增進(jìn)對(duì)知識(shí)的理解，使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)式思維，使其成為一個(gè)優(yōu)秀的問(wèn)題解決者。

二、PBL教學(xué)法的相關(guān)理論

PBL是Problem-Based Learning的簡(jiǎn)稱，即基于問(wèn)題的學(xué)習(xí)。PBL教學(xué)法可以理解為一種教學(xué)方法，也可以理解為一種教學(xué)策略。陶行知先生也說(shuō)過(guò)“發(fā)明千千萬(wàn)，起點(diǎn)是一問(wèn)，智者問(wèn)得巧，愚者問(wèn)得笨”。善教者，必善問(wèn)。我們不難發(fā)現(xiàn)，PBL正是這些教學(xué)思想的體現(xiàn)。以PBL進(jìn)行教學(xué)能激發(fā)學(xué)生求知欲，活躍其思維，促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展。

問(wèn)題設(shè)計(jì)是PBL教學(xué)法的核心，“好”的問(wèn)題設(shè)計(jì)是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。那么什么是好的數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？美國(guó)數(shù)學(xué)家匈菲爾德給出了“好的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的五條原則：（1）基礎(chǔ)性強(qiáng)，兼具挑戰(zhàn)性（接受性、障礙性）;（2）解題思路多樣，易發(fā)散（開(kāi)放性）;（3）蘊(yùn)含了重要的數(shù)學(xué)思想方法（啟發(fā)性）;（4）有針對(duì)性，不故意設(shè)置陷阱（情景性）;（5）問(wèn)題可進(jìn)一步拓展和引申（探究性）。

基于以上PBL教學(xué)法的相關(guān)理論，現(xiàn)將課題“方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)及聽(tīng)課感悟整理成文，與同行交流研討。

三、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）環(huán)節(jié)1：趣味情景（方程解法史話引入）

本節(jié)引入采取生活情境，告知學(xué)生，挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯首次完整給出了高于四次的一般代數(shù)方程沒(méi)有一般形式的代數(shù)解的證明。教者理解學(xué)生已備的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”，提出研究方程解的問(wèn)題，有“解不出”的方程，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出問(wèn)題，明確任務(wù)。營(yíng)造核心問(wèn)題的問(wèn)題情境，借助外部問(wèn)題情境，形成一種懸而未決、又力圖解決的認(rèn)知沖突狀態(tài)。促進(jìn)學(xué)生內(nèi)部問(wèn)題情境的生成。

如何想到函數(shù)上去？是主動(dòng)尋找研究方法的關(guān)鍵！用函數(shù)來(lái)研究方程，事實(shí)上不是做不到，而是想不到。（一層很薄的“窗戶紙”，一捅就破，但由誰(shuí)來(lái)捅破？）

面對(duì)方程求解不能問(wèn)題，如何引入函數(shù)，這是滲透函數(shù)思想的重要契機(jī)。

（二）環(huán)節(jié)2：?jiǎn)栴}探究

1.思考三個(gè)問(wèn)題：

（1）求x的值，使x2-2x-3=0;

（2）求x的值，使x3+2x-3=0;

（3）求x的值，使lgx+x-3=0.

2.問(wèn)題探究：

（1）這樣的x存在嗎？

（2）若存在，有幾個(gè)？為什么？

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)生活情境和對(duì)問(wèn)題情境的探討來(lái)求lgx+x-3=0解的問(wèn)題。環(huán)節(jié)2設(shè)置問(wèn)題情境，發(fā)現(xiàn)和提出命題，分析和解決問(wèn)題，尋找研究方法。教師通過(guò)3個(gè)有層次性的問(wèn)題形成問(wèn)題鏈引發(fā)學(xué)生思考，學(xué)生從已有知識(shí)入手，思維不斷發(fā)散，最終發(fā)現(xiàn)有“解不出”的方程，明確本節(jié)課的任務(wù)和方向。但此處提出的三次方程、對(duì)數(shù)方程有些復(fù)雜，教者引導(dǎo)學(xué)生從熟悉的二次函數(shù)著手討論，即從“數(shù)”的角度行不通，應(yīng)該考慮從“形”的角度求解——借助圖像。通過(guò)這樣激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，由直觀過(guò)渡到抽象，更符合學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程，借此引入函數(shù)的零點(diǎn)。

看似簡(jiǎn)單的問(wèn)題探究，卻兼具挑戰(zhàn)性。不僅能將學(xué)生的求知欲激發(fā)，而且為后續(xù)的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)埋下伏筆，屬鋪墊性問(wèn)題。

（三）環(huán)節(jié)3：探究新知

1.探究一：函數(shù)零點(diǎn)

練習(xí)：畫出二次函數(shù)y=x2-2x-3=0的圖像，并求出方程x2-2x-3=0的根。

問(wèn)題1：二次函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸（x軸）的交點(diǎn)與方程的根有什么關(guān)系？

問(wèn)題2：當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點(diǎn)、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與二次方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根有什么關(guān)系？

點(diǎn)評(píng)：想到函數(shù)上去之后，憑什么較為自然地引入二次函數(shù)與一元二次方程？它其實(shí)是初中兩個(gè)“二次”的再現(xiàn)，從簡(jiǎn)單出發(fā)，從已知入手，從學(xué)生已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”想開(kāi)去（一次函數(shù)也可以在其中）。從一般二次函數(shù)出發(fā)，抽象出一般概念，并據(jù)二次函數(shù)結(jié)論，得到一般結(jié)論（三種形式等價(jià)）。

從熟知的二次函數(shù)入手，數(shù)形結(jié)合探究函數(shù)與方程的關(guān)系。在原有初中二次函數(shù)認(rèn)知基礎(chǔ)上，使知識(shí)自然“向上生長(zhǎng)”。先讓學(xué)生理解了簡(jiǎn)單函數(shù)（二次函數(shù)）的零點(diǎn)，再進(jìn)一步理解其他復(fù)雜的函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題自然就容易些了。

只是再現(xiàn)，最多是重新發(fā)現(xiàn)、察覺(jué)，但要回歸任務(wù)取向，聚焦研究對(duì)象。就一般的二次函數(shù)作討論，既是上述研究的一般化過(guò)程，又研究了所有可能的情形。通過(guò)幾個(gè)問(wèn)題追問(wèn)，邏輯推理，嘗試將結(jié)論一般化。這是數(shù)學(xué)研究的一般方法。學(xué)生的邏輯思維隨之逐步深入，逐步完善，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

2.探究二? 零點(diǎn)存在性定理（此環(huán)節(jié)附課堂實(shí)錄）

例1：求證：二次函數(shù)f（x）=2x2+3x-7有兩個(gè)不同的零點(diǎn)。（讓學(xué)生做，讓學(xué)生講）

師：思考：有沒(méi)有其它方法？

生：還可以根據(jù)圖像，函數(shù)圖像穿過(guò)x軸。

師：很好，那請(qǐng)問(wèn)怎么判斷二次函數(shù)f（x）=2x2+3x-7在區(qū)間（1，2）上是否有零點(diǎn)？

生：直接考查函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)端點(diǎn)值，因?yàn)閒（10）=? -2<0，f（2）=7>0且函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞增，所以……

師：非常好，這就是零點(diǎn)存在定理。接下來(lái)我問(wèn)大家?guī)讉€(gè)問(wèn)題。

問(wèn)題1：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a， b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a， b）上有零點(diǎn)，則f（a） f（b）<0一定成立嗎？

生：不一定，例如二次函數(shù)圖像與x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)論就不成立了。

問(wèn)題2：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a ， b] 上滿足f（a） f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a， b）上一定有零點(diǎn)嗎？

問(wèn)題3：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a， b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a） f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a， b）上一定只有一個(gè)零點(diǎn)嗎？

學(xué)生通過(guò)上臺(tái)畫圖檢驗(yàn)了問(wèn)題的結(jié)論是錯(cuò)誤的。

問(wèn)題4：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a ， b）上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a） f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a ， b）上一定有零點(diǎn)嗎？

學(xué)生陷入沉思。

過(guò)了一會(huì)兒，一位男同學(xué)（學(xué)生10）非常激動(dòng)地舉手發(fā)言：“不能改為開(kāi)區(qū)間，我可以舉反例……”他大踏步上黑板畫了一個(gè)分段函數(shù)（見(jiàn)圖）。

教師：“非常好！”

意義建構(gòu)：（零點(diǎn)存在性的一種判定方法）一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）·f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點(diǎn)。

點(diǎn)評(píng)：此環(huán)節(jié)是本節(jié)課最精彩的部分，教師通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)，層層遞進(jìn)，深入探究，啟發(fā)學(xué)生深度思考，歸納出函數(shù)零點(diǎn)存在性定理。教者在這里將教材中例1、例2進(jìn)行整合，呈現(xiàn)兩種解法，是教者處理教材的巧妙之處，彰顯教學(xué)智慧。提出有“數(shù)學(xué)味”的問(wèn)題，并在探究過(guò)程中又重新產(chǎn)生新的、有思維價(jià)值的問(wèn)題，由此得出一連串的直擊問(wèn)題本質(zhì)的數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈，使學(xué)生感悟“數(shù)學(xué)式”的思維。整個(gè)環(huán)節(jié)特別關(guān)注：用函數(shù)研究方程的方法觀點(diǎn)，經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)。

3.小結(jié)：?jiǎn)l(fā)學(xué)生主動(dòng)提出小結(jié)的問(wèn)題;讓學(xué)生自己小結(jié);教師點(diǎn)撥。

四、關(guān)于聽(tīng)課的感悟：

（一）用PBL深度引領(lǐng)學(xué)生參與對(duì)定理?xiàng)l件的探究性理解過(guò)程

“善問(wèn)者如攻堅(jiān)木，善待問(wèn)者如撞鐘。”一個(gè)好問(wèn)題往往勝過(guò)千言萬(wàn)語(yǔ)的講解，有問(wèn)題才有思考。本課張老師課堂提問(wèn)精妙，圍繞函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)，不斷啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，用PBL深度引領(lǐng)學(xué)生參與學(xué)習(xí)過(guò)程。尤其在探究二環(huán)節(jié)，四個(gè)問(wèn)題的設(shè)置將教學(xué)推向了高潮。啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出問(wèn)題：嘗試將結(jié)論一般化，進(jìn)行邏輯推理。這是數(shù)學(xué)研究的一般方法。不是匆忙給出定理后，讓學(xué)生舉反例，說(shuō)明每一個(gè)條件必不可少;而是讓學(xué)生主動(dòng)嘗試表征一般化結(jié)論，探究出結(jié)論成立的充分條件來(lái)。當(dāng)學(xué)生給出，要追問(wèn)：為什么、非要這么多嗎？怎么想到的，還有別的想法……當(dāng)學(xué)生概括不夠全面時(shí)，要啟發(fā)引導(dǎo)：還有什么補(bǔ)充，有這些就夠嗎？說(shuō)明理由。一個(gè)學(xué)生也許給不全，給全了也不意味著所有學(xué)生都已明白。要引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑：這樣歸納而來(lái)的結(jié)果可靠嗎？然后告知明確定理。在展示與追問(wèn)過(guò)程中，帶給學(xué)生的都是對(duì)零點(diǎn)存在問(wèn)題本質(zhì)的不斷追問(wèn)與方法思考;在這個(gè)問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生思維得到提升，能感知并理解定理的嚴(yán)謹(jǐn)性;在這個(gè)探究過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)知識(shí)的建構(gòu)過(guò)程，很好地培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維和直觀想象核心素養(yǎng)。

（二）用PBL建構(gòu)基于探究性理解的教學(xué)

整節(jié)課教學(xué)主線清晰，銜接自然，盡顯知識(shí)的發(fā)展過(guò)程;教學(xué)進(jìn)程探究精細(xì)，經(jīng)驗(yàn)積淀及時(shí);教學(xué)立意高遠(yuǎn)，方法滲透自然。用PBL教學(xué)法建構(gòu)基于探究性理解的教學(xué)，重視體驗(yàn)，突出過(guò)程;著力問(wèn)題、發(fā)展思維。

1.創(chuàng)設(shè)情境，問(wèn)題導(dǎo)學(xué)

本節(jié)課張老師通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)習(xí)者認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感覺(jué)到學(xué)習(xí)新知的必要性，以問(wèn)題導(dǎo)學(xué)，激發(fā)學(xué)生的探究熱情。問(wèn)題鏈的設(shè)置，梯度明顯，層層深入，為學(xué)生思維的活躍和拓展提供了階梯式的幫助，讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展階段，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.重視體驗(yàn)，突出過(guò)程

整個(gè)課堂以學(xué)生為主體，把課堂還給學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的積極體驗(yàn)。在師生和諧的交流氛圍中，一起經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生發(fā)展，落實(shí)核心素養(yǎng)實(shí)踐層面?！皾?rùn)物細(xì)無(wú)聲”式地滲透并讓學(xué)生自然地獲取數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題的能力，也發(fā)展了學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)。

3.著力問(wèn)題，發(fā)展思維

課堂上幾個(gè)問(wèn)題的設(shè)計(jì)精妙，逐層鋪墊，由特殊到一般，啟發(fā)學(xué)生深度思考、啟迪智慧，讓學(xué)生的思維在相互討論中碰撞、在相互學(xué)習(xí)中完善。恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題設(shè)置、適度的策略指導(dǎo)，能引領(lǐng)學(xué)生深度的思考，進(jìn)行暢所欲言的交流。而明確問(wèn)題真相后的修正，觸及問(wèn)題本質(zhì)后的感悟，達(dá)成共識(shí)后的愉悅。這一切不正是高認(rèn)知的思維活動(dòng)所具備的重要特征嗎？

數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程是數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程。讓學(xué)生動(dòng)起來(lái)是產(chǎn)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的關(guān)鍵，而學(xué)生活動(dòng)的驅(qū)動(dòng)力來(lái)源于問(wèn)題。新課標(biāo)引領(lǐng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)十分強(qiáng)調(diào)以數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決為價(jià)值取向，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)該以實(shí)現(xiàn)“教是為了不教”的目標(biāo)，要讓學(xué)生從“模仿”走向“有思考的學(xué)習(xí)”，以提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力為重要目標(biāo)。如何設(shè)計(jì)有“數(shù)學(xué)味的“好問(wèn)題”，設(shè)計(jì)能培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)式”的思維的問(wèn)題，應(yīng)以全面系統(tǒng)地把握教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生、教師四者之間的關(guān)系為基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]孫紹榮主編.高等教育方法概論 修訂版.華東師范大學(xué)出版社，2010.12.

[2]文艷平.秦國(guó)杰編著 PBL的理論和實(shí)踐.中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，2007.02.