淺談初中數(shù)學中“非負數(shù)”的應用策略

摘?要：在初中數(shù)學中，”非負數(shù)”和方程是一個不可缺少的重要組成部分，從七年級的絕對值開始，非負數(shù)一直貫穿到九年級;同時，歷屆中考試題或平時的測試中，非負數(shù)和方程既是命題注重的難點又是重點。那么什么是非負數(shù)？所謂”非負數(shù)”，顧名思義，就是不是負數(shù)的數(shù)，也就是零和正數(shù)或是≥0的數(shù);在數(shù)軸上，原點和原點右邊的點所表示的數(shù)以及數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離都是“非負數(shù)”，這是非負數(shù)的幾何意義。

關鍵詞：初中;數(shù)學;非負數(shù);應用

在初中數(shù)學的教學過程中存在很多影響教學效果的問題，大部分教師將目光放在學生的學習成績上，而忽略培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，沒有發(fā)揮數(shù)學教育對培養(yǎng)學生綜合素質(zhì)的重要作用。初中數(shù)學教材中“非負數(shù)”知識是在數(shù)軸、絕對值、二次根式、方程、方差等概念的教學中建立起來的，非負數(shù)的性質(zhì)在解題中既非常重要又頗為實用。“非負數(shù)”的知識設計內(nèi)容之廣，時間之長是眾所周知的。在教學中必須遵循學生的認知特征和數(shù)學學科特性，充分發(fā)揮學生學習的主觀能動性，幫助學生積累總結(jié)解題規(guī)律，提高解決綜合問題的能力，使學生在解題的過程中提高對“數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，應用意識，創(chuàng)新意識”這十個核心概念的再認識再消化。在教學中教師要樹立新的基礎教育觀、學生觀、教學觀、課程觀、質(zhì)量觀，幫助學生學會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考世界，會用數(shù)學語言表達世界，切實落實數(shù)學育人的目標?，F(xiàn)就初中數(shù)學中常見“非負數(shù)”的應用淺談幾點自己的看法，供大家參考。

所謂”非負數(shù)”，是指零和正數(shù)?！胺秦摂?shù)”的性質(zhì)在解題中頗有用處。常見的非負數(shù)有四種：有理數(shù)的偶數(shù)次冪、有理數(shù)的絕對值和非負實數(shù)的偶次方根，用二次根式表示的數(shù)。

一、?初中數(shù)學中常用的非負數(shù)

1.?任意一個實數(shù)的絕對值是非負數(shù);我們知道一個正數(shù)的絕對值等于它本身;0的絕對值等于0;一個負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，也就是在這個數(shù)的前面加個“-”號。即：|a|=a（a≥0）-a（a≤0）

2.?任意一個實數(shù)的偶次方是非負數(shù)，即：a2n≥0（n是整數(shù)）。

3.?任意一個非負數(shù)的算術平方根是非負數(shù)，即：a≥0（a≥0）;a2=|a|=a（a≥0）-a（a≤0）

4.?一元二次方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根時，根的判別式是非負數(shù)，反過來也成立。

若二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個實數(shù)根，則b2-4ac≥0。

若b2-4ac≥0（a≠0），則二次方程有兩個實數(shù)根。

5.?數(shù)軸上，原點和它的右邊所表示的數(shù)是非負數(shù)，幾何中的距離，圖形中的線段、面積、體積的量數(shù)也都是非負數(shù)。

6.?樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差，都是非負數(shù)。

7.?非負數(shù)的性質(zhì)：

（1）非負數(shù)集合里，有一個最小值，它就是零。

（2）如果一個數(shù)和它的相反數(shù)都是非負數(shù)，則這個數(shù)就是零。

（3）有限個非負數(shù)的和或積仍是非負數(shù)。

（4）若幾個非負數(shù)的和等于零，則每一個非負數(shù)也都只能是零。

二、?非負數(shù)的運用

（一）在方程中非負數(shù)的直接應用

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有實數(shù)根的條件是Δ=b2-4ac≥0，此時為一個非負數(shù)。

【例1】?若關于y的一元二次方程ky2-4y-3=3y+4有實根，則k的取值范圍是（）

A.?k>-74B.?k≥-74且k≠0

C.?k≥-74D.?k>74且k≠0

分析：要確定k的取值范圍，必須先要把方程整理成一元二次方程的一般形式ky2-7y-7=0，再利用一元二次方程有實根的非負數(shù)條件Δ=b2-4ac≥0去確定，故答案是B。

【例2】?求證：方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根。

證明：把方程左邊分組配方，得

（x4+2x2+1）+（x2+2x+1）+4=0

即（x2+1）2+（x+1）2=-4;

∵（x2+1）2>0，（x+1）2≥0，

∴（x2+1）2+（x+1）2>0。

但右邊是-4。

∴不論x取什么實數(shù)值，等式都不能成立。

∴方程x4+3x2+2x+6=0沒有實數(shù)根。

（二）在化簡與計算題中的直接應用

【例3】?a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|c-a|-（b-a）2-|c-b|=。

分析：要化簡代數(shù)式，必須根據(jù)絕對值和算術平方根的非負性來解。根據(jù)數(shù)軸看出a<00，b-a>0，c-b<0，所以，原式=c-a-（b-a）+（c-b）=2（c-b）。

（三）在“0+0=0”模式中的應用

由于任何一個實數(shù)的絕對值和平方（偶次方）是非負數(shù)，一個非負數(shù)的算術平方根也是非負數(shù)，因此我把“|a|+b2+c=0”就定義為“0+0+0=0”的模式。

1.?在“0+0=0”模式中的直接應用

【例4】?（1）已知|a+3|+b-2=0，求ab的值;

（2）|x+y-1|+（2x-y-5）2=0，求（x+y）2015的值;

（3）已知實數(shù)a，b，且（a+b-3）2與2-ab互為相反數(shù)，請你求出以a，b為根的一個一元二次方程。

分析：（1）欲求ab的值，必須先要求出a，b的值。因為|a+3|≥0，b-2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有a+3=0，b-2=0，即a=-3，b=2，ab=（-3）2=9。

（2）欲求（x+y）2015的值，必須先要求出x，y的值。因為|x+y-1|≥0，（2x-y-5）2≥0，故滿足“0+0=0”模式，所以就有x+y-1=02x-y-5=0，利用方程組的解法，求出x=2，y=-1，（x+y）2015=1。

（3）欲求出以a，b為根的一元二次方程，必須先要求出“兩個根的和與兩個根的積”即a+b和ab的值。因為（a+b-3）2≥0，2-ab≥0，故滿足“0+0=0”的模式，所以就有a+b-3=0，2-ab=0，即a+b=3，ab=2，以a，b為根的一個一元二次方程是x2-3x+2=0。

2.?先將問題轉(zhuǎn)化成兩個（或有限個）非負數(shù)的和再應用

【例5】?（1）已知三角形的三條邊x，y，z滿足x2+y2+z2+338=10x+24y+26z，則這個三角形是什么形狀的三角形？

（2）已知△ABC的三邊a，b，c滿足|a+b-7|+2a-b-2=10c-25-c2，求△ABC的面積。

（3）若a，b，c是△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，試判斷△ABC的形狀。

分析：要得出三角形的形狀和面積，必須要解出三角形各邊的長，這就要根據(jù)已知條件想辦法化成“0+0=0”的模式。

（1）移項得x2-10x+y2-24y+z2-26z+338=0，此時等號的右邊等于0了，下面用完全平方公式的特點“首平方，尾平方，首尾積的2倍放中央”把338分解成25+144+169，等號左邊就化成了（x2-10x+25）+（y2-24y+144）+（z2-26z+169）=0，即（x-5）2+（y-12）2+（z-13）2=0，再用“0+0+0=0”的模式解得x=5，y=12，z=13，因為52+122=132，所以這個三角形是直角三角形。

（2）移項得|a+b-7|+2a-b-2+c2-10c+25=0，利用完全平方公式把c2-10c+25寫成（c-5）2的形式，這時就得到了|a+b-7|+2a-b-2+（c-5）2=0，根據(jù)“0+0+0=0”的模式得出a+b-7=02a-b-2=0c-5=0，解得a=3，b=4，c=5，因為3，4，5是最簡單的勾股數(shù)，所以，以a，b，c為邊的三角形是直角三角形，面積就等于6。

（3）在a2+b2+c2-ab-ac-bc=0中有平方項和乘積項，根據(jù)完全平方公式的特點缺少了2倍，因此我們就想到兩邊同時乘2得，2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，再用拆項法得到（a2-2ab+b2）+（a2-2ac+c2）+（b2-2bc+c2）=0，這時可以化成（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，根據(jù)“0+0+0=0”的模式得出a-b=0，a-c=0，b-c=0，從而解得a=b=c，這樣就有三角形是等邊三角形。

總之，“非負數(shù)”在初中數(shù)學中的應用范圍十分廣泛，在教學中，老師應引起足夠重視，善于總結(jié)，切忌碎片化的教學。根據(jù)學生的知識結(jié)構(gòu)分階段進行針對性的輔導，培養(yǎng)學生的數(shù)感和符號意識，特別強調(diào)有些題目中非負數(shù)比較明顯，有些題目中比較隱蔽，需要化簡、整理，要學會靈活應用。保障學生能夠在不斷的數(shù)學實踐以及活動參與的過程之中提高個人的數(shù)學核心素養(yǎng)，真正地掌握良好的數(shù)學思維能力，實現(xiàn)數(shù)學理論知識學習與實踐研究之間的緊密結(jié)合，提升學生發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題的能力。教師在教學過程中要以發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)為追求，根據(jù)學生的認知規(guī)律，螺旋上升地安排教學內(nèi)容，特別是要使學生得到反復理解重要的數(shù)學概念、思想方法的機會。教師要真正做到理解數(shù)學、理解學生、理解教學，夯實學生的“四基”，通過多種教學手段和方法，努力把學生培養(yǎng)成為知識豐富，思維深刻，人性善良，品格正直，心靈自由的人。

作者簡介：

倪永國，新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)，沙雅縣第五中學。