高中數(shù)學(xué)正余弦定理在日常生活中的應(yīng)用

江西省南昌市第十二中學(xué)

1 概述

正弦定理和余弦定理搭建了三角形邊和角的橋梁，實(shí)現(xiàn)了邊角之間的轉(zhuǎn)化，直接運(yùn)用它，可以直接求解三角形，靈活地變形并與其他知識(shí)結(jié)合，可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。

2 利用正余弦定理解決平面幾何問題

圖1 三角形

在解決平面幾何問題時(shí)，尤其是涉及到三角形，經(jīng)常會(huì)同時(shí)利用正余弦定理與其他數(shù)學(xué)知識(shí)，利用正余弦定理解決平面幾何問題的題目常常在高考中進(jìn)行考查。

2.1 判斷三角形的形狀

結(jié)語：判斷三角形的形狀，本題使用的是余弦定理，我們?cè)诮鉀Q這類問題的時(shí)候，需要觀察表達(dá)式，正確選擇正弦定理或者余弦定理，甚至兩者均使用。

2.2 三角形解的個(gè)數(shù)

對(duì)于這個(gè)問題，是初學(xué)正弦定理的難點(diǎn)，解決這類問題，我們一般采用數(shù)形結(jié)合的思想，并利用大角對(duì)大邊的原理來解決，如圖2，就是三角形解的四種情況。

圖2 三角形解的情況

3 正余弦定理在測(cè)量中的應(yīng)用

3.1 測(cè)量距離問題

在解決距離問題時(shí)，需要先選取合適的輔助測(cè)量點(diǎn)，然后構(gòu)造出三角形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成三角形的邊角關(guān)系，最后利用正余弦定理來解決。測(cè)量距離的問題一般分為兩點(diǎn)間不可通也不可達(dá)、兩點(diǎn)間可視但不可通和兩點(diǎn)可視但均不可達(dá)三種情況。

如圖6，是底部可達(dá)的情況，可求得高度：

圖3

圖4

按照解決測(cè)量問題的方法，我們可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，構(gòu)造出一個(gè)三角形，再通過正余弦定理求解。

3.1.3 兩點(diǎn)可視但均不可達(dá)。最后一種情況是較為復(fù)雜的一種，即兩點(diǎn)可視但均不可達(dá)，如圖5所示，仍然假設(shè)這是一條小河，則在小河的一邊任意選擇點(diǎn)C、D，構(gòu)造出兩個(gè)三角形。其中可以通過測(cè)量儀器測(cè)出的數(shù)據(jù)有：CD=a，∠ADB=α，∠BDC=β，∠ACB=θ，∠ACD=γ。

圖5

3.2 測(cè)量高度問題

對(duì)于高度問題一般可以轉(zhuǎn)化為三角形的邊角問題，有時(shí)候還需要結(jié)合幾何知識(shí)，而對(duì)于高度問題，可以分為底部可達(dá)和不可達(dá)兩種情況。

圖6

圖7

4 正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用

在生產(chǎn)和社會(huì)生活中，很多地方都會(huì)測(cè)量距離、高度和角度等數(shù)學(xué)量，尤其是在物理、航海和工程技術(shù)方面，均有解三角形的運(yùn)用，正確使用正余弦定理就顯得十分重要。對(duì)于這類題目，本文已經(jīng)將常見的題型做出了總結(jié)，對(duì)高考復(fù)習(xí)也有一定的幫助。