基于混合測量模式的壓縮感知研究

楊云仙,梁衛(wèi)文

(深圳技師學(xué)院 信息與通信學(xué)院，廣東 深圳，518000)

壓縮感知理論自從2006年問世以來[1，2]，引起了全世界學(xué)者的極大關(guān)注。其打破了傳統(tǒng)的對模擬信號幅值進行等間隔逐點采樣的方法，將對信號的采樣變成了對信息的采樣，突破了奈奎斯特采樣定理所要求的最低采樣頻率下界，使得人們可以用極低的采樣頻率對模擬信號進行采樣。并且，壓縮感知理論表明，當信號具有K稀疏性時，原信號可以通過測量值以高概率精確恢復(fù)。該理論的出現(xiàn)無論對于理論研究還是實踐應(yīng)用都具有極大的吸引力。例如，對于目前常用的數(shù)碼相機，像素值動輒達到上千兆，然而實際更多使用的是經(jīng)過JPEG壓縮之后的圖片。這種對模擬信號進行過采樣，再使用壓縮算法進行壓縮以丟棄冗余采樣點的采樣方式極大地浪費了硬件及軟件資源，為信號的存儲、傳輸帶來極大的不便。

壓縮感知理論的出現(xiàn)，為上述問題的解決提供了一條有效的途徑。然而，對于自然世界中的信號而言，一般是不滿足稀疏性這個壓縮感知理論應(yīng)用的大前提的，若原始信號不稀疏或在某一正交基下也不稀疏，則利用壓縮感知理論對信號進行測量后恢復(fù)出來的信號與原信號誤差較大，這使得壓縮感知理論的應(yīng)用受到了極大的限制。對于此，文獻[3]、[4]針對信號的稀疏表示提出了一些解決算法，從而提升壓縮感知算法的恢復(fù)效果。另外，文獻[5]中根據(jù)小波變換高頻系數(shù)和低頻稀疏的特性提出了基于單層小波變換的壓縮感知算法，較大地提升了壓縮感知對圖像的恢復(fù)質(zhì)量。本文在文獻[5]的基礎(chǔ)上，進一步將基于單層小波變換的壓縮感知算法改進為混合模式的壓縮感知算法，使得算法具有更好的靈活性及實用性。最后，還將對小波分解層次、測量值數(shù)量的選取進行詳盡的實驗分析，為進一步的工程實踐應(yīng)用提供可靠的依據(jù)。

1 壓縮感知理論簡介

設(shè)x∈R×1為一維信號，ψ={ψ1,…,ψN}為一組正交基，則x可由ψ線性表出，即

(1)

其中αk=

由(1)式可知，若信號不稀疏，其經(jīng)過正交變換后，可以得到稀疏的系數(shù)，這即滿足了壓縮感知理論所需的前提，我們可以利用測量矩陣對稀疏系數(shù)進行測量，得到測量值(采樣值)，然后對測量值進行熵編碼以便于數(shù)據(jù)的存儲及傳輸。在解碼時，只需對編碼值進行熵解碼，然后根據(jù)壓縮感知的理論，利用凸優(yōu)化算法即可得到系數(shù)的稀疏逼近，再利用正交逆變換重構(gòu)原信號。設(shè)Φ={φ1，…，φN}為一M×N，M?N的測量矩陣，則對于稀疏的系數(shù)進行測量可得到M個測量值，即：

y=φα=φψHX

(2)

由此可以看到，壓縮感知將N維信號x降維為M維信號y。由于式(2)中未知數(shù)的個數(shù)N大于方程個數(shù)M，因此若直接求解式(2)來重構(gòu)信號x不能得到確切解。但系數(shù)α是K稀疏的，即至多有K個非零系數(shù)，且K

min‖α‖l0,s.t.φα=y

(3)

而l0范數(shù)的求解是個NP-hard問題，因此可以將問題轉(zhuǎn)換為[10]：

min‖α‖l1,s.t.φα=y

(4)

對于式(4)中l(wèi)1最小范數(shù)下的最優(yōu)化問題，目前的求解算法有匹配追蹤法[6]、正交匹配追蹤法(OMP)[7]，梯度投影法(GP)[8]、鏈式追蹤法[9]等。

2 基于混合測量模式的壓縮感知算法

在文獻[5]中，由于圖像進行小波變換后，低頻系數(shù)不稀疏，高頻系數(shù)稀疏，若對全部的低頻和高頻系數(shù)利用測量矩陣Φ一起進行測量，則由于低頻稀疏的不稀疏性會導(dǎo)致壓縮感知重構(gòu)效果較差，因此需要盡可能增大對圖像的小波變換層數(shù)。這一方面帶來了運算量的增大，另一方面，即使是使用了最大的小波分解層數(shù)，壓縮感知重構(gòu)的圖像質(zhì)量也不能滿足實際的需要。由于低頻系數(shù)是原圖像的逼近，其在小波重構(gòu)中具有重要的作用，因此[5]中僅對圖像進行一層小波變換，且僅對高頻小波系數(shù)進行測量，而保持低頻系數(shù)不變，從而提升圖像重構(gòu)質(zhì)量。這便存在一個問題，即該方法會極大地限制了壓縮感知算法對高維信號的降維作用，例如，對于一個256×256的圖像，其經(jīng)過一層小波變換后，得到{LH1, HL1, HH1, LL1}四個小波子帶系數(shù)，LL1為低頻子帶，其大小為64×64，因此，測量值M必然要滿足M>64×64，即對原圖像的壓縮率至多為1/4。若對于一維信號采用此方法，則壓縮率至多為1/2。因此，在本文中，將單層小波分解進一步拓展為多層小波分解，結(jié)合文獻[6]中保留低頻系數(shù)的思想，使得測量值M的選取具有更大的靈活性，在保證一定的信號重構(gòu)質(zhì)量的同時進一步增大壓縮率。

我們改進的混合模式的壓縮感知算法思想為：首先對原信號進行J層小波變換，得到各層高頻系數(shù)及第J層低頻系數(shù){aJ,dJ,dJ-1,…,d1}，其中aJ為第J層低頻系數(shù)，dj，1≤j≤J為j第層高頻系數(shù)。由于低頻子帶系數(shù)對于信號的小波重構(gòu)起到了很重要的作用，因此對低頻子帶系數(shù)不進行測量，以避免由于壓縮感知算法而帶來的誤差；對于{dJ,dJ-1,…,d1}，利用測量矩陣進行測量。這樣對低頻不測量僅對各層高頻進行測量的混合測量模式能進一步增大壓縮感知算法對信號的壓縮率，且由于保持了低頻系數(shù)不變，與經(jīng)典的壓縮感知算法相比，重構(gòu)信號質(zhì)量也能得到有效提升。對一維信號而言，算法具體實現(xiàn)步驟如下：

步驟1， 對N(N=2L)點信號x進行J層小波變換，得到各層高頻系數(shù)及第J層低頻系數(shù){aJ,dJ,dJ-1,…,d1}，則aJ有2L-J個低頻系數(shù)點，各層高頻系數(shù)共有N-2L-J個系數(shù)點。

步驟2，選擇合適的M值，構(gòu)造M×N-2L-J大小的服從(0,1/N)高斯分布的測量矩陣Φ對{dJ,dJ-1,…,d1}進行測量，得到M×1的測量值向量y。低頻子aJ帶系數(shù)則保持不變。

3 仿真結(jié)果

從圖1可以看出，當小波分解層次大于等于2層以后，本文算法對各個信號的重構(gòu)質(zhì)量基本相同，但是這樣可以使得測量值M取小于原信號長度的一半以下，增大了壓縮感知算法對信號的壓縮率。通常，小波分解層次取為4～6層即可。圖2給出了當小波分解層次為5層時，隨著測量值M的增大，各個信號重構(gòu)的SNR圖，小波函數(shù)同樣使用sym8小波。此處為了敘述方便，對于本文提出的基于混合測量模式的壓縮感知算法而言，M值指的是原信號經(jīng)過J層小波分解后第J層低頻系數(shù)個數(shù)及對各層高頻系數(shù)測量值個數(shù)之和。圖1和圖2中明顯看出，由于實測地震信號非常復(fù)雜，其經(jīng)過小波變換后稀疏度較差，重構(gòu)信號的質(zhì)量較差。

圖1 不同信號在不同小波分解層次下使用本文算法得到的重構(gòu)信號SNR，M=1024

圖2 不同信號在不同測量值點數(shù)下使用本文算法得到的重構(gòu)信號SNR

圖3 不同信號在不同小波分解層次下使用經(jīng)典壓縮感知法得到的重構(gòu)信號SNR，M=1024

圖4 不同信號在不同測量值點數(shù)下使用經(jīng)典壓感知算法得到的重構(gòu)信號SNR

為了便于比較，我們還給出了經(jīng)典基于小波變換的壓縮感知算法對此5種信號的仿真比較圖。在經(jīng)典的壓縮感知算法中，對原信號進行J層小波分解，然后對包括低頻系數(shù)在內(nèi)的所有小波系數(shù)利用測量矩陣進行測量，得到M個測量值點，最后再利用凸優(yōu)化算法恢復(fù)。其中小波函數(shù)仍然選用sym8小波，圖3給出了不同的小波分解層次下各個信號的重構(gòu)SNR，其中測量值點數(shù)為1024點?？梢钥闯觯敺纸鈱哟未笥诘扔?層以后，重構(gòu)信號SNR基本保持不變。當分解層次為5層時，在不同的測量值點數(shù)下，5個信號的重構(gòu)信號SNR如圖4所示。

比較圖1和圖3可以看出，當小波分解層次大于等于5層之后，本文算法與經(jīng)典的壓縮感知算法重構(gòu)信號質(zhì)量差別不大，這是因為對于2048個點的原信號，若進行5層分解，則第5層的低頻系數(shù)只有64個，而5層高頻系數(shù)共有1984個點，低頻系數(shù)個數(shù)已經(jīng)遠小于高頻系數(shù)個數(shù)，因此本文算法中保留低頻系數(shù)的方法不會對SNR有很大的提高。但是在分解層次小于等于4層時，由圖1和3可以看到，本文算法重構(gòu)信號質(zhì)量與經(jīng)典壓縮感知算法相比有很大的提高。

對于圖2和圖4，可以看到，當測量值點數(shù)M較小時，例如M<500時，由于本文算法保留了低頻系數(shù)，對于重構(gòu)信號起到了很重要的作用，避免了由于隨機矩陣測量和凸優(yōu)化算法帶來的重構(gòu)誤差，因此重構(gòu)信號質(zhì)量大大優(yōu)于經(jīng)典壓縮感知算法。當M值較大時，使用經(jīng)典壓縮感知算法也能較好的獲取原信號的信息，因此信號重構(gòu)質(zhì)量與本文算法相當。

圖4給出了在地震信號在小波分解層次為3層、M=1400情況下重構(gòu)的地震信號與原始信號的比較圖。圖5給出了同樣條件下doppler信號的時域比較圖，可以看出，對于doppler信號，已經(jīng)幾乎完全恢復(fù)了原信號。

(a)利用本文算法對實測地震信號重構(gòu)結(jié)果

(b) 圖3(a)中400～600點放大圖

圖6 利用本文算法對Doppler信號重構(gòu)結(jié)果與原信號比較

4 結(jié)語

本文提出了基于混合測量模式的壓縮感知算法，利用本文算法，可以克服文獻[5]中對于測量值點數(shù)的限制，使得算法更具有實用性。并且，將經(jīng)典的壓縮感知算法結(jié)合[5]中保留低頻系數(shù)的思想，得到了本文提出的混合測量模式，即對最大低頻層系數(shù)保持不變，只對各層高頻系數(shù)進行測量，從而提高壓縮感知算法的壓縮比及重構(gòu)質(zhì)量。最后對算法進行了詳細的仿真，仿真結(jié)果表明本文算法可以較好地對信號進行壓縮采樣，且能獲得較好的信號恢復(fù)質(zhì)量。