運用規(guī)律解決幾何問題

王勇安

(安徽省蕪湖市鳩江區(qū)馬渡學(xué)校 安徽蕪湖 241000)

姚敬東先生主編的《學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)下的課堂教學(xué)指南》中指出，有效的歸納能激發(fā)學(xué)生主動構(gòu)建，反推法、綜合法就是讓學(xué)生學(xué)會如何根據(jù)眾多幾何知識的組合，探求知識點之間的本質(zhì)特征、內(nèi)部聯(lián)系，并在解題過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，思維的發(fā)散能力，促進學(xué)生主動有序探索，吸納構(gòu)建。下面我針對自己的教學(xué)，對如何在解題過程中運用好反推法、綜合法，淺談自己的幾點看法[1]。

一、什么是分析方法

（一）反推法

數(shù)學(xué)的反推法與警察破案十分相似，都是要逆向推理，從題目要證明的結(jié)論出發(fā)往回推理，從未知看需知，逐步靠近已知，在此過程中有兩點需要對學(xué)生重點培養(yǎng)：

1.做題時在草稿紙上畫分析引導(dǎo)圖

學(xué)習(xí)畫數(shù)學(xué)引導(dǎo)圖可以有效鍛煉學(xué)生的思維能力。在不斷畫圖的中過程，學(xué)生的思維會越來越清晰，做幾何題越來越快，從而增強學(xué)習(xí)自信心。

2.注重幾何語言的培養(yǎng)

在完成數(shù)學(xué)引導(dǎo)圖以后，要讓學(xué)生反過來把引導(dǎo)圖翻譯成幾何語言。幾何教學(xué)中存在不同形式的語言，大致有圖形語言、文字語言和符號語言三種。教師在教學(xué)過程中，首先要讓學(xué)生理解、掌握這三種不同的語言，繼而還需培養(yǎng)學(xué)生將這三種語言相互轉(zhuǎn)化的能力。不同語言在幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著不同的作用。圖形語言一般較為直觀，能夠形象地向?qū)W生展示問題；而文字語言則是概括和抽象的，重點是對圖形或圖形本身中蘊含的深層關(guān)系予以準(zhǔn)確的描述，對幾何的定義、定理、題目等予以精確的表述；符號語言則是對語言文字的再次抽象，它具有簡化作用，有更深的抽象性，也是最難掌握的一種，是邏輯推理必備的能力基礎(chǔ)。

（二）綜合法

綜合法是針對一些無法用反推法解決的難題，從已知條件猜測考點，結(jié)合圖形進行解答。綜合法是幾何題目解題中通常會用到的邏輯思維方法。其特點在于從已知推可知，逐步再推出未知，在較為復(fù)雜的問題中，需要良好地運用綜合分析法，從已知出發(fā)，從結(jié)論入手，形成完整的體系，尋求最后解決問題的接洽點，進而達到解決問題的目的。用綜合法解決幾何題比反推法要難的多。在此過程中，需要重點培養(yǎng)學(xué)生同類知識的歸納積累習(xí)慣，從而增加猜測的準(zhǔn)確度。如證明角相等的方法有：對頂角相等，平行線里同位角相等，內(nèi)錯角相等，余角、補角定理，角平分線定義，等腰三角形、全等三角形的對應(yīng)角等方法。

二、分析方法解題案列

興趣是最好的老師，興趣也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最佳營養(yǎng)品和興奮劑，對于學(xué)困生來說，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣尤為重要。讓學(xué)生產(chǎn)生興趣的課堂最大的特點就是老師少說學(xué)生多做、多思考，但現(xiàn)在從小學(xué)開始的教學(xué)模式就是讓學(xué)生大量重復(fù)地進行題海戰(zhàn)術(shù)，學(xué)生雖然在做但真正自己思考的時間卻很少，思維得不到有效鍛煉，這樣學(xué)生到了初中根本無法有效審題和思考。所以，在七年級一開始我就有意識地訓(xùn)練學(xué)生運用反推法和綜合法的能力，早期有一次教學(xué)內(nèi)容如下：

12.如圖，已知a∥b，∠1=70o，∠2=40o，則∠3= 。

學(xué)生看到圖后積極嘗試，這道題本身不難，但學(xué)生剛涉及幾何學(xué)習(xí)，除了少數(shù)數(shù)學(xué)天賦好的同學(xué)很快算出答案，大部分同學(xué)幾分鐘后還是沒有做出來，為了鍛煉學(xué)生的口語，我就請了最先做出來的孫同學(xué)給大家講解過程，但他只是把答題步驟讀了一遍，底下還是有多人眼神很迷茫，于是我先表揚了孫同學(xué)，讓底下聽懂了的同學(xué)舉手，結(jié)果還是有一半人沒舉手，于是我在這部分人中點了成績中下的王同學(xué)和我一起進行反推法的演練：

師：請問什么角等于∠3？

生：∠ABC。

師：所以我們可先求∠ABC，那么求∠ABC可以先求什么角？

生：可以用內(nèi)角和先求∠ACB。

師：那么∠ACB又可以由什么角求得？

生：∠2是它的對頂角，可以由∠2得來。

師：說的很好。

我一邊問一邊畫引導(dǎo)圖，這種分析方法和直觀的引導(dǎo)圖立馬被很多學(xué)生接受，在后面的幾何教學(xué)中，一直讓學(xué)生采用這種分析方法和畫引導(dǎo)圖的解題方法，讓他們主動發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題。學(xué)生課堂參與度越來越高，數(shù)學(xué)興趣非常濃厚，后來我將例題的解題直接分割成三部分，審題找已知，已知析思路，思路化步驟，其中課堂講題時重點訓(xùn)練一二兩部分，特別是第二步分析方法，果然在后來的教學(xué)中同學(xué)們給了我驚喜。一次公開課就出現(xiàn)了這樣的情況。

教學(xué)內(nèi)容如下（多媒體出示）：

例2：已知：如圖所示，AD=BC。求證：AB=CD。

在那次的九年級數(shù)學(xué)公開課上，我和同學(xué)們一題多解，同學(xué)們用綜合法竟然找到多達5種證明方法，特別是龔?fù)瑢W(xué)不僅思路清晰，語言分析有條理，方法也最簡。他開始從結(jié)果出發(fā)：

AB=CD

↑

弧AB=弧CD

↑

發(fā)現(xiàn)不好推以后又從已知猜測AD=BC

↓

弧AB=弧CD

↓

弧AB+弧AC=弧CD+弧AC

↓

弧AB=弧CD

這節(jié)課后，很多聽課老師都說我們班的同學(xué)對問題的分析非常老到，而且都非常自信。實際上，幾何分析法不僅是一種解題方法，也是學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與老師之間最簡單直接的溝通方式，更是我們優(yōu)化課堂、培養(yǎng)師生感情的重要方法。

三、研究分析方法的目的是讓放手成為習(xí)慣

初中一節(jié)數(shù)學(xué)課不管是習(xí)題課還是新授課容量都非常大，要學(xué)的內(nèi)容多，每節(jié)課都有許多知識點要求學(xué)生學(xué)習(xí)掌握，因為怕學(xué)生通過自主探究分析完成不了教學(xué)內(nèi)容，又怕學(xué)生學(xué)得不夠深、不夠細，同時頂著中考的壓力，導(dǎo)致許多教師不敢將課堂還給學(xué)生，不敢放手讓學(xué)生去自主分析探究解題思路?！疤铠喪健钡恼n堂教學(xué)應(yīng)運而生，一節(jié)課下來教師累的疲憊不堪，怎奈“落花有意付流水，流水無情葬落花”，老師講得累，學(xué)生聽得暈，我想我們是時候精簡題數(shù)，細化題型，放手讓學(xué)生在反推、綜合法的借鑒下自由發(fā)揮了[2]。