仿貓腿部跳躍機構(gòu)設(shè)計與仿真分析

趙鐵軍， 袁振宇

（沈陽工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，沈陽110870）

0 引 言

在當(dāng)下的機器人運動中，輪式驅(qū)動、爬行運動及履帶式運動為機器人運動的主要方式。而隨著時代發(fā)展和科技進步，機器人被應(yīng)用到更加復(fù)雜的環(huán)境當(dāng)中，尤其是復(fù)雜的地形條件對機器人運動提出了更高的要求。為了適應(yīng)這種環(huán)境，跳躍運動隨之被應(yīng)用到機器人運動形式中。機器人在運動過程中，常受到地形地勢的限制，尤其是在障礙較大甚至遠(yuǎn)超出機器人自身的大小時，機器人如果采用輪式驅(qū)動等運動形式，就會導(dǎo)致運動失效。而跳躍機器人的跳躍運動則能夠很有效地避開地形障礙的限制，從而實現(xiàn)其運動的功能。由于跳躍機器人的跳躍運動形式帶來的優(yōu)良越障功能，使跳躍機器人具備較為可觀的研究應(yīng)用前景。

國內(nèi)外對于機器人的研究已有很長的歷史，而對于跳躍機器人的研究工作更為豐富。瑞士洛桑聯(lián)邦理工大學(xué)曾經(jīng)研究開發(fā)出仿蚱蜢跳躍機器人，該機構(gòu)采用并聯(lián)彈性驅(qū)動設(shè)計，從而能夠?qū)崿F(xiàn)連續(xù)跳躍[1]。加州大學(xué)伯克利分校利用平面八桿機構(gòu)來模仿夜猴腿部，開發(fā)出跳躍機器人[2]。哈爾濱工業(yè)大學(xué)的余杭杞等[3]設(shè)計研究出仿蝗蟲跳躍機器人，并在試驗成功后最終制造出基于電磁鐵驅(qū)動的實物樣機。

貓作為生活中常見的貓科動物之一，跳躍能力很強，其跳躍高度可達到自身的5 倍。本文將貓作為所研究的對象。通過查閱資料來分析貓的生理結(jié)構(gòu)，觀察貓的生物運動習(xí)性，總結(jié)其跳躍運動機理，模擬貓?zhí)S運動，建立貓?zhí)S運動模型，從而在運動學(xué)和動力學(xué)兩方面進行研究，并且對研究結(jié)果進行分析。結(jié)合仿生設(shè)計的基本原理及參考仿生設(shè)計成功典例的經(jīng)驗，模仿貓的后腿，根據(jù)家貓的后腿結(jié)構(gòu)，設(shè)計出一種仿貓腿部跳躍機構(gòu)。在機構(gòu)設(shè)計之后，對該機構(gòu)分別在運動學(xué)和動力學(xué)兩方面開展仿真分析。

1 貓骨骼結(jié)構(gòu)及跳躍機理分析

貓科動物作為動物界四足動物中的高等類群，它們具備一些共同的生物特征，如盆骨與脊椎骨的連接可以使貓能夠更好地承受身體重力；脊椎和腰帶的連接能夠使貓的后肢可以承受較大跳躍力及更好地承受身體重力負(fù)擔(dān)[4]。通過對貓的運動研究，分析其后腿的結(jié)構(gòu)特征（如貓的后腿腿骨結(jié)構(gòu)、腿部的肌肉肌腱分布等），分析其生理運動特性（如骨骼支撐、肌肉伸縮及關(guān)節(jié)連接和轉(zhuǎn)動等）。同時分析貓在起跳時其軀干和腿部的運動特點（如脊柱彎曲、腰部肌肉收縮及后腿蹬地實現(xiàn)跳躍等特性），解析貓?zhí)S時跳躍運動和生理組織分布的關(guān)系，從而使仿貓腿部跳躍機構(gòu)在設(shè)計時，提供了充分的生物學(xué)支持。

1.1 貓腿部結(jié)構(gòu)分析

通過對貓的運動習(xí)性進行觀察，研究貓的跳躍運動規(guī)律，總結(jié)出貓?zhí)S運動機理：與諸多具備良好跳躍能力的動物相似，貓在跳躍時，其腳掌施加給地面壓力，同時腰部肌肉收縮，通過地面的接觸反作用力，以及腰部的肌肉收縮后釋放出的能量來提供跳躍運動所需的動力。通過能量釋放，獲得跳起時所需能夠支持跳起的速度，同時獲得所需的起跳加速度。貓的后腿可劃分成3 個部分，這3 部分分別為大腿、小腿和腳掌。在貓的大腿部分中，主要組成部分為大腿骨和與之相連的股肌。貓的小腿部分主要組成部分包括脛腓骨和其上的腓腸肌，此外，腓腸肌可視為與脛骨和腓骨平行組成。貓的腳掌部分主要組成結(jié)構(gòu)包括跗骨和趾骨等骨骼結(jié)構(gòu)。在后腿結(jié)構(gòu)中，后腿上各段骨骼之間為各個關(guān)節(jié)，通過關(guān)節(jié)連接各處骨骼。肌肉和肌腱的收縮產(chǎn)生拉力，拉力作用于各骨骼之上，從而使后腿中的各個骨骼能夠相對于其各自連接的關(guān)節(jié)進行旋轉(zhuǎn)運動。貓骨骼結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 貓骨骼結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)對貓的觀察及解剖資料分析，得到貓后腿骨骼結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示。

表1 貓后腿結(jié)構(gòu)參數(shù)表

1.2 機器人腿部機構(gòu)建模

貓在跳起時，貓的跳躍能量主要由后腿上的肌肉收縮所產(chǎn)生的拉力提供。股肌及其彈性肌腱組織可以等效為彈簧處理，從而可視為股肌等肌肉組織共同構(gòu)成了串聯(lián)彈性驅(qū)動器。股肌收縮時牽引脛骨和腓骨繞膝關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)，將力傳遞給小腿、腳掌和腳趾，最后傳到地面，通過反作用力起跳。在貓的后腿結(jié)構(gòu)中，其髖關(guān)節(jié)、膝關(guān)節(jié)、踝關(guān)節(jié)及趾關(guān)節(jié)均可視為轉(zhuǎn)動副。在起跳過程中，股肌只做收縮運動，對骨骼施加拉力作用，因此可將股肌等效為拉簧。此外，在起跳時，貓的脊椎彎曲并配合前肢的支撐作用，調(diào)整起跳角度和起跳方向。同時腰部肌肉收縮儲能，在跳躍瞬間釋放能量，因此可視為彈性驅(qū)動器。應(yīng)用三維建模軟件SolidWorks 建立仿生模型，如圖2所示。

在此機構(gòu)中，后腿部分包括大腿、小腿、腳掌和腳趾等4 個部分。其中，大腿末端與軀干部分通過髖關(guān)節(jié)軸相連，由髖關(guān)節(jié)的電動機驅(qū)動；大腿和小腿部分之間為膝關(guān)節(jié)軸及膝關(guān)節(jié)驅(qū)動電動機，同時，膝關(guān)節(jié)驅(qū)動電動機負(fù)責(zé)為跳躍提供驅(qū)動力矩及跳躍能量；機構(gòu)中小腿部分和腳掌部分之間安裝有踝關(guān)節(jié)軸及電動機；腳掌和小腿之間安裝有趾關(guān)節(jié)軸。軀干部分通過彈簧對地面施加作用力；膝關(guān)節(jié)驅(qū)動電動機在膝關(guān)節(jié)處施加轉(zhuǎn)矩，使大腿相對小腿產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，從而帶動拉簧伸長，對腳掌施加拉力作用；腳掌與腳趾之間存在扭簧，從而使腳趾部分對地面施加作用力；最后通過地面的反作用力，使機構(gòu)實現(xiàn)跳躍功能。

由于所設(shè)計的跳躍機構(gòu)中，各關(guān)節(jié)軸均與地面平行，因此實現(xiàn)的跳躍運動在豎直平面內(nèi)完成，并且在起跳時，兩只后腿運動形式相同且保持同步，因此取單腿作為研究對象。趾尖在起跳前與地面剛性接觸并以壓力形式給地面施加作用力；趾尖末端與地面剛性接觸，即可將腳趾視為繞著趾尖末端與地面接觸點作旋轉(zhuǎn)運動，因此，本文所述的仿貓?zhí)S機構(gòu)模型可以簡化為一種在二維平面中的連桿機構(gòu)，從而模擬跳躍機構(gòu)的運動。通過分析貓腿部各部分的結(jié)構(gòu)，以及跳躍時各部分組織的運動特征，將所建立的模型抽象化處理。通過分析研究抽象化之后的結(jié)果，建立貓做跳躍運動時貓后腿的生物結(jié)構(gòu)模型，如圖3 所示。

從圖3 可以看出，機器人腿部可抽象為四連桿機構(gòu)。圖中，l1、l2、l3、l4分別代表機器人腿部的腳趾、腳掌、小腿、大腿的長度。各構(gòu)件之間為鉸接轉(zhuǎn)動副，桿件1 與桿件2 之間為趾關(guān)節(jié)，桿件2 與桿件3 之間為踝關(guān)節(jié)，桿件3 與桿件4 之間為膝關(guān)節(jié)，桿件4 與機架之間為髖關(guān)節(jié)。

圖2 仿貓?zhí)S機構(gòu)三維模型圖

圖3 貓后腿結(jié)構(gòu)抽象模型

2 跳躍機構(gòu)運動學(xué)建模與分析

2.1 腿部跳躍機構(gòu)工作空間

采用機器人運動分析中常用到的D－H 矩陣來分析機器人腿部運動。本文通過D－H 法在機構(gòu)的大腿、小腿、腳掌和腳趾分別建立其各自的一個運動坐標(biāo)系。在相鄰兩個部件之間，進行齊次變換矩陣。通過矩陣的演算和變換，描述相鄰兩個構(gòu)件之間坐標(biāo)系的變化關(guān)系，從而得出位置關(guān)系的變化。此外，將每個坐標(biāo)系變換矩陣逐個相乘，所得到的結(jié)果即為機器人的總坐標(biāo)變換矩陣。通過研究機器人的總坐標(biāo)變換矩陣，從而推導(dǎo)出機構(gòu)在基坐標(biāo)系下的位姿和機構(gòu)末端在基坐標(biāo)系下的空間位置，進而建立機器人的運動學(xué)方程。

其中，Px、Py代表趾尖的空間坐標(biāo)位置。

生物身體質(zhì)量與其特征尺寸的立方成正比的前提下，相對于尺寸較大的動物來說，動物的整體尺寸越小，其肌肉輸出力相對于自身質(zhì)量的倍數(shù)越高[5]。即越小的動物跳躍效率越高。根據(jù)這一生物學(xué)現(xiàn)象，結(jié)合貓的骨骼結(jié)構(gòu)及其腿部各骨骼的長度和比例，給定結(jié)構(gòu)參數(shù)為：l1=30 mm，l2=55 mm，l3=75 mm，l4=105 mm。設(shè)定約束條件為：105°≤θ1≤235°，35°≤θ2≤180°，0°≤θ3≤180°，-90°≤θ4≤180°。給定初始位姿的關(guān)節(jié)角度為：θ1=180°，θ2=75°，θ3=65°，θ4=-35°。根據(jù)位置方程的描述，結(jié)合約束條件的限制，運行MATLAB仿真程序，通過程序繪制腿部機構(gòu)的工作空間，所得結(jié)果如圖4所示。

由仿貓?zhí)S機構(gòu)腿部機構(gòu)跳躍姿態(tài)分布及工作空間可以看出，此腿部機構(gòu)的工作空間范圍符合仿貓腿部機構(gòu)模擬貓在實際跳躍時其腿部因不同姿態(tài)所需的運動空間及不同跳躍方式時所需的不同運動范圍。

圖4 腿部機構(gòu)工作空間圖

2.2 機器人腿部運動學(xué)仿真分析

對機器人腿部進行運動學(xué)分析之前，先對機構(gòu)建立空間運動方程，即建立機構(gòu)的質(zhì)心運動方程。機器人機構(gòu)以拋物線軌跡形式進行跳躍，因此可得到機構(gòu)的質(zhì)心運動方程為：

式中(x0,y0)為趾尖位置。

由前文可知，機器人在起跳時，可將機器人趾尖與地面的約束視為鉸接轉(zhuǎn)動副約束。將機器人運動的絕對運動姿態(tài)以qs表示，qs={q1,q2,q3,q4}。其中：q1為構(gòu)件1與基坐標(biāo)系之間的絕對位姿角度；q2為構(gòu)件2相對構(gòu)件1的運動位姿角度；q3為構(gòu)件3相對構(gòu)件2的運動位姿角度；q4為構(gòu)件4相對構(gòu)件3的運動位姿角度。第i個桿件質(zhì)心位置為(Xci,Yci)。在機構(gòu)起跳時，此時的質(zhì)心位置方程為：

對式（2）求導(dǎo)，得到x方向速度為：

對式（3）求導(dǎo)，得到y(tǒng)方向速度為：

機構(gòu)各部件相對于趾尖的速度為：

式中：mi(i=1,2,3,4)為各部件的質(zhì)量；Ji(i=1,2,3,4)為各部件的質(zhì)心轉(zhuǎn)動慣量。由式（6）得到機器人腿部機構(gòu)運動雅克比矩陣：

則各關(guān)節(jié)角速度通解為

將前文給定的腿部關(guān)節(jié)角度初始值代入式（1）～式（8），同時將空間位姿分布中的各位姿關(guān)節(jié)角度，通過MATLAB仿真得到機構(gòu)各關(guān)節(jié)角速度變化曲線，如圖5 所示。同時得到機構(gòu)的時間-位移曲線，如圖6 所示。

圖5 關(guān)節(jié)角速度變化曲線

圖6 時間-位移曲線

由機構(gòu)各關(guān)節(jié)與質(zhì)心速度變化曲線和時間位移關(guān)系曲線可以看出，機器人腿部機構(gòu)在運動過程中，角速度變化平穩(wěn)，同時部件及質(zhì)心位移的范圍均處于工作空間中。通過仿真結(jié)果可知，在仿真過程中無速度突變及奇異點位置出現(xiàn)，驗證了腿部機構(gòu)的運動合理性。

3 仿生跳躍機構(gòu)設(shè)計與仿真

根據(jù)前文分析驗證，對機器人腿部建立簡化模型并將模型導(dǎo)入ADAMS 中，各關(guān)節(jié)均添加轉(zhuǎn)動副，膝關(guān)節(jié)添加驅(qū)動力矩為100 N·mm，給定拉簧剛度系數(shù)為3，趾關(guān)節(jié)處扭簧剛度系數(shù)為0.5，阻尼系數(shù)為0.02；同時由于軀干與地面接觸，因此給定沿軀干向上的彈簧釋放瞬間作用力為70 N；仿真跳躍過程截圖如圖7 所示。

圖7 跳躍機構(gòu)運動過程仿真

通過仿真分析，對趾尖與平臺之間的接觸力，以及趾尖在豎直方向上的位移進行后處理，得到趾尖與平臺之間的接觸力在豎直方向上的變化曲線如圖8 所示。

圖8 趾尖接觸力變化曲線圖

同時得到趾尖坐標(biāo)在Y方向上的分布曲線如圖9所示。

圖9 趾尖坐標(biāo)分布曲線圖

從圖8 可知，腿部機構(gòu)在0.01 s 時實現(xiàn)起跳，趾尖與平臺作用力變化平穩(wěn)，先經(jīng)歷儲能過程中的壓力增大，再逐漸釋放能量壓力逐漸減小直至起跳后作用力變化為零。由圖9 仿真結(jié)果可知，趾尖在豎直方向上實現(xiàn)最大跳躍高度為15 cm。

機器人跳躍仿真過程中，總結(jié)并近似歸納其多次仿真模擬跳躍過程質(zhì)心在空間中的運動路徑，得出整體近似跳躍路徑曲線，如圖10 所示。從圖10 中曲線可知，機構(gòu)在空間跳躍過程中以拋物線形式完成跳躍過程。

圖10 跳躍仿真運動路徑圖

4 結(jié) 論

通過對貓的腿部及軀干部分的生理結(jié)構(gòu)和運動機理進行分析，建立生物運動模型。通過MATLAB 進行運動學(xué)分析，得到起跳階段各關(guān)節(jié)的速度變化曲線。通過ADAMS 在虛擬樣機中進行仿真，得到起跳階段所需的驅(qū)動力矩及起跳能量，同時驗證初始起跳姿態(tài)的可行性。通過對各仿真結(jié)果分析，對比貓實際運動的姿態(tài)、運動方式，對比目前現(xiàn)有的貓?zhí)S資料中貓實際起跳高度與貓自身的比例，可知該機構(gòu)模型設(shè)計符合實際跳躍要求，為整體仿生機構(gòu)提供設(shè)計理論依據(jù)，從而仿生設(shè)計一種柔性跳躍機構(gòu)。通過虛擬樣機仿真分析，證明該機構(gòu)能夠模仿貓的跳躍特性，為進一步研究仿貓機器人運動機構(gòu)和未來研究跳躍機構(gòu)跳躍穩(wěn)定性奠定基礎(chǔ)。