一類等價商范疇的構(gòu)造

畢夢凡 ，何濟(jì)位

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 311121)

0 引言

設(shè)K為特征是零的域, 設(shè)A=A0⊕A1⊕A2⊕…為諾特分次K-代數(shù).記grA為有限生成的分次右A-模構(gòu)成的范疇, 記torA為有限維分次右A-模構(gòu)成的grA的全子范疇.由于torA是grA的Serre子范疇, 故有商范疇qgrA=grA/torA.在非交換射影幾何中, 商范疇qgrA通常被稱為非交換射影概形[1].事實(shí)上, 若A=K[x0,x1,...,xn]為多項式代數(shù), 則qgrA等價于射影空間Pn的凝聚層范疇[2].

在非交換射影代數(shù)幾何的研究中, 需要將一個諾特分次代數(shù)的商范疇用其他代數(shù)的商范疇來刻畫.比如, 任意一個諾特連通分次代數(shù)A的商范疇qgrA必定等價于其Veronese子代數(shù)A(n)的商范疇qgrA(n)[1,3-4],而代數(shù)A(n)具有良好的同調(diào)性質(zhì),當(dāng)n足夠大時,A(n)是一個Koszul代數(shù).在非交換奇點(diǎn)解消理論中,需要將Gorenstein代數(shù)的商范疇用某個自反模的自同態(tài)代數(shù)的商范疇來刻畫[5-6].在文獻(xiàn)[7]和[8]中,本文通信作者與其合作者建立了商范疇的Galois理論,從而為非交換奇點(diǎn)解消提供一類工具.特別地,對于Gorenstein商奇點(diǎn)是2維時,其所有奇點(diǎn)解消都是Morita等價于斜群代數(shù)[5].

本文的主要目的是通過矩陣方法,由一個給定諾特分次代數(shù)A來構(gòu)造一類新的代數(shù),而這類新構(gòu)造的代數(shù)與分次代數(shù)A的商范疇是等價的.在新構(gòu)造的代數(shù)中,有一類具有Koszul性質(zhì).Koszul代數(shù)是一類具有很好同調(diào)性質(zhì)的分次代數(shù),其在量子群、代數(shù)幾何、代數(shù)表示理論等領(lǐng)域有重要應(yīng)用[9-11].在非交換射影幾何的研究中,需要應(yīng)用非連通的Koszul代數(shù)(即A0不是半單代數(shù)[12]).本文通過矩陣方法,從已有連通Koszul代數(shù)構(gòu)造了一類A0不是半單的Koszul代數(shù).

1 準(zhǔn)備知識

令K為特征是0的域.本文所討論的分次代數(shù)都是指分次空間A=⊕n≥0An上具有一個代數(shù)結(jié)構(gòu),并且其乘積滿足:對于任意元素aAi,b∈Aj,都有ab∈Ai+j,其中i,j≥0.稱一個分次代數(shù)是局部有限的,如果對于任意i≥0,dim(Ai)<∈.稱分次代數(shù)A是右諾特的,如果A的分次右理想滿足升鏈條件.如果A0=K,則稱分次代數(shù)A為連通分次代數(shù).

一個分次右A-模M是一個分次空間⊕n∈ZMn以及右A-作用滿足:對于任意m∈Mi,a∈Aj都有ma∈Mi+j,其中,i∈Z,j∈N.一個分次模同態(tài)是指一個右A-模同態(tài)f:M→N,滿足f(m)∈Ni,?m∈Mi,i∈Z.

令A(yù)為局部有限的右諾特分次代數(shù).記grA為有限生成的分次右A-模構(gòu)成的范疇,其態(tài)射為分次模同態(tài).令torA為有限維分次右A-模構(gòu)成grA的全子范疇.定義商范疇:

qgrA=grA/torA.

由于A是諾特分次代數(shù),商范疇qgrA是Abel范疇.

對于一個分次代數(shù)A,可以將A0看成是分次右A-模.稱A是Koszul代數(shù),如果分次模A0有一個投射模分解:

…→Pn→…→P1→P0→A0→0,

其中,對于任意n≥0,分次模Pn是由n次元生成的.比如,多項式代數(shù)與外代數(shù)都是連通Koszul代數(shù).本文將構(gòu)造一類非連通的Koszul代數(shù).

2 矩陣代數(shù)

設(shè)A是諾特分次代數(shù),設(shè)I為A的分次雙邊理想.稱I為余有限的,如果A/I是有限維的.

任意給定A的分次雙邊理想I,構(gòu)作矩陣代數(shù)

(1)

引理1設(shè)A為分次代數(shù),I為A的余有限的雙邊理想.令B為如上定義的代數(shù),

證明eBe?A是顯然的.另一方面,

由于I是余有限的，故B/BeB是有限維的.證畢.

引理2若A為右諾特分次代數(shù),則矩陣代數(shù)B也是右諾特分次代數(shù).

證明作映射

f:A→B,a

則f是一個分次代數(shù)同態(tài),并且f是單射.因此可以將A看作是B的子代數(shù),由此B是分次右A-模.作為右A-模,B可以寫作

由于A是右諾特的,上述等式右邊的每一個直和項都是有限生成的,故B是有限生成的右A-模.再由A是右諾特代數(shù),可得出B也是右諾特代數(shù).證畢.

命題1設(shè)A為諾特分次代數(shù),I為A的余有限的雙邊理想.設(shè)B為式子(1)定義的矩陣代數(shù).則有Abel范疇等價qgrA?qgrB.

證明由引理2,B是右諾特分次代數(shù).故qgrB也是Abel范疇.令M=Be,則M是分次B-A-雙模,并且作為左B-?；蛘哂褹-模都是有限生成的.類似地,令N=eB,則N是分次A-B-雙模,且作為左A-?；蛘哂褺-模都是有限生成的.于是可以構(gòu)造如下函子

F=-?BM:grB→grA,G=-?AN:grA→grB.

由于eBe?A,對于任意分次A-模X,

FG(X)=X?AN?BM=X?eBeeB?BBe=X?eBeeBe?X.

(2)

故FG自然等價于恒等函子.

由于M是投射B-模,故函子F是正合函子,并且F將有限維模對應(yīng)到有限維模.因此,F誘導(dǎo)了商范疇之間的函子

另一方面,由于N是有限生成左A-模,則對于任意有限維右A-模Y,Y?AN必定也是有限維的.設(shè)f:Y→Y′為分次右A-模同態(tài),且kerf和cokerf都是有限維的.由張量函子的右正合性,態(tài)射f?AN的余核也是有限維的.由于kerf?AN是有限維的,且態(tài)射f?AN的核是右B-模kerf?AN的同態(tài)像,故kerf?AN也是有限維的.于是由商范疇的泛性質(zhì),G誘導(dǎo)了如下商范疇之間的函子[13]

記π:grB→qgrB為投影函子(grA到商范疇qgrA的投影函子也記作π).以下證明類似于[14,Lemma 2.9].

考察正合序列

由于B/BeB是有限維的,Z?B(B/BeB)也是有限維的.

證明由于A是局部有限的,A≥n是余有限的雙邊理想.由命題1,即可得到結(jié)論.證畢.

3 主要結(jié)論

設(shè)A是右諾特分次代數(shù),在這一節(jié)中,我們將考察n-階矩陣代數(shù),并且將上一節(jié)的結(jié)論推廣至n-階矩陣情況.構(gòu)造矩陣代數(shù)如下

(3)

其中,Iij(1≤i

引理3設(shè)A為右諾特分次代數(shù),B為如上定義的矩陣代數(shù).則B也是右諾特分次代數(shù).

證明由于A是右諾特分次代數(shù),雙理想Iij都是有限生成的右A-模.類似于引理2的證明過程,可以將A中元素對應(yīng)到B的主對角線元素,從而將A看作是B的子代數(shù).由此,B是一個分次右A-模,并且作為右A-模,B是一些有限生成的右A-模的直和,故B作為右A-模是有限生成的,因此B是右諾特分次代數(shù).證畢.

有上述引理,若A是右諾特分次代數(shù),則B也是右諾特分次代數(shù),故商范疇qgrB是Abel范疇.

定理1設(shè)A是局部有限的右諾特分次代數(shù),設(shè)B為形如等式(3)中構(gòu)造的矩陣代數(shù).

(ii)若A的右整體維數(shù)是有限的,且對于所有i,j都有Iij=A≥1,則B的右整體維數(shù)也是有限的.

證明(i) 對矩陣代數(shù)B的階數(shù)n作數(shù)學(xué)歸納.當(dāng)n=2時,即為命題1情況.

現(xiàn)假設(shè)結(jié)論(i)對于小于n時的情況都成立.將B寫作如下形式

其中I=(I12…,I1n),J=(A,…,A)T,

由歸納假設(shè),有Abel范疇等價 qgrA?qgrC.

(4)

由結(jié)論(i)的條件,I1是余有限的,故B/BeB是有限維的.再由命題1的證明可得Abel范疇等價qgrB?qgrC.結(jié)合式子(4),得到Abel范疇等價qgrB?qgrA.

(ii) 由于A的右整體維數(shù)是有限的,則代數(shù)A0的右整體維數(shù)必定也是有限的.事實(shí)上,任意一個右A0-單模S都可以看成是一個分次右A-模.假設(shè)A的右整體維數(shù)為d,設(shè)0→Pd→…→P1→P0→S→0是S作為分次右A-模的投射分解.由于A是非負(fù)分次代數(shù),則前述投射分解的0次部分構(gòu)成了S作為右A0-模的投射分解.故A0的右整體維數(shù)必定不大于d.又由于所有雙邊理想都有Iij=A≥1(1≤i

例1設(shè)A=K[x1…,xn]為多項式代數(shù),則A是諾特代數(shù)且右(或左)整體維數(shù)為d.令

其中n≥2.則由定理1以及文獻(xiàn) [15],B的整體維數(shù)等于d,但C的右整體維數(shù)為無限.

注記1 滿足定理1 (iii)條件的矩陣代數(shù)B都具有無限整體維數(shù),假如分次代數(shù)A的右整體維數(shù)是有限的,則Abel范疇等價qgrA?qgrB在一定意義上說明分次代數(shù)A是分次代數(shù)B的非交換奇點(diǎn)解消[5].

4 Koszul性質(zhì)

這一節(jié)將證明一類特殊的矩陣代數(shù)是Koszul代數(shù),從而給出構(gòu)造非連通Koszul代數(shù)的方法.

設(shè)A=K⊕A1⊕A2⊕…為連通Koszul代數(shù),設(shè)平凡模KA有如下極小投射分解:

(5)

其中,對于n≥1,Vn是有限維分次向量空間,并且Vn的非零元素都集中于n次.對于任意n≥1,定義線性映射

φn:Vn→Vn-1?A1

為φn=dn|Vn,這里V0=K.于是對于任意v∈Vn,a∈A有dn(v?a)=φn(v)a.

都是投射右B-模.

其中,δ0為自然投影映射,

其中,?0為自然投影映射,

引理4上述構(gòu)造的序列(7)和(8)分別是右B-模e1B0和e2B0的投射分解.

證明只要證明序列(7)是正合的,序列(8)的正合性類似.

(9)

其中,fn(v?a,u?b)=(φn(v)a,φn(u)a),?v,u∈V,a∈A.

(10)

由于A是Koszul代數(shù),序列(9)是正合的,故序列(10)正合,進(jìn)而序列(7)是正合的.證畢.

證明由引理4,得到e1B0與e2B0的右B-模投射分解.注意到e1B0⊕e2B0=B0,并且引理4中構(gòu)造的投射模分解的第n個投射模是由n次元素生成的(n≥0),因此,B是Koszul代數(shù).