水平荷載下拉索非線性剛度及拉線塔側(cè)向變形特性

吳 玲， 張大長

(南京工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院， 江蘇 南京 211800)

拉線塔是一種兼具力學(xué)性能和經(jīng)濟(jì)效應(yīng)的結(jié)構(gòu)，能以較少的耗材承受較大的荷載，被廣泛應(yīng)用于通訊、氣象及電力行業(yè)。拉線塔是由與地鉸接的剛性塔身和柔性拉索組成的“剛?cè)峤Y(jié)合”結(jié)構(gòu)，側(cè)向拉索為塔身提供較好的水平抗側(cè)剛度、抗扭剛度。

拉索不同于彈性拉桿，豎向有較大弧垂，表現(xiàn)出高柔度、強(qiáng)非線性的力學(xué)行為。文獻(xiàn)[1]基于拉索彈性懸鏈線的精確解析式，通過迭代得到了考慮自重和初應(yīng)力影響的拉索單元剛度矩陣，并研究了懸索式鋼格構(gòu)塔架在斷線荷載下的響應(yīng)。文獻(xiàn)[2]基于廣義變分原理推導(dǎo)了拉索等效彈性模量，根據(jù)結(jié)構(gòu)受力特點得到了立柱在線路方向的剛度。文獻(xiàn)[3]將桅桿拉索簡化為彈簧，利用ANSYS軟件進(jìn)行模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)自振頻率及振型。

拉索參數(shù)及垂直于拉索弦向荷載的變化，都將會對拉線塔的水平剛度產(chǎn)生影響，其中拉索拉力是影響拉線塔結(jié)構(gòu)靜力、動力特性的主要因素[4]。ANSI/TIA-222-G《Structural Standard for Antenna Supporting Structures and Antennas》[5]規(guī)定拉索初應(yīng)力應(yīng)取斷裂應(yīng)力的7%～15%，GB 50135—2006《高聳結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》[6]規(guī)定，拉索初應(yīng)力應(yīng)綜合考慮立柱變形、桿身的內(nèi)力和穩(wěn)定以及拉索承載力等因素，宜在100～250 N/mm2范圍內(nèi)選用。拉索對地傾角一般在30°～60°，傾角過大，會導(dǎo)致拉索內(nèi)力、塔身軸力、塔身水平位移增加，造成拉線塔整體受壓失穩(wěn)；傾角過小，造成占地面積過大。拉線塔結(jié)構(gòu)的拉索在平面內(nèi)一般為中心對稱布置，常見的為三方、四方拉索布置。水平風(fēng)荷載作用方向的變化將引起結(jié)構(gòu)內(nèi)力和桿件位移的變化，文獻(xiàn)[7]利用SAP2000軟件分析得到了四方格構(gòu)式桅桿在不同風(fēng)向角下的塔身位移曲線，研究表明：在風(fēng)向角為0°時各層拉索拉力和塔身位移同時達(dá)到最大，在風(fēng)向角為45°時兩者最小。

拉線塔分析及設(shè)計的復(fù)雜性在于拉索的幾何非線性以及拉線塔立柱不可忽略的二階效應(yīng)。目前求解主要采用有限元法及簡化模型法，用有限元法進(jìn)行結(jié)構(gòu)離散后的單元分析，最終可歸結(jié)為求解一組非線性方程[8]。拉線塔結(jié)構(gòu)可簡化為兩種模型[9,10]：(1)將拉線塔立柱簡化為三維格構(gòu)式桁架，拉索簡化為索單元；(2)將拉線塔整體簡化為非線性彈性支承的梁柱模型。前者在運算中將產(chǎn)生較多自由度，運算復(fù)雜，后者運算簡便，同時也能提供較為合理的求解[11]。本文綜合了上述兩種模型，在三維格構(gòu)式拉線塔求解結(jié)果的基礎(chǔ)上，采用非線性彈性支承梁柱模型進(jìn)行結(jié)構(gòu)校核。

首先建立了拉索微元受力平衡方程，通過積分并求解平衡方程得到拉索的拋物線索形；基于靜力平衡狀態(tài)下拉索的變形增量，推導(dǎo)得出單根拉索對立柱的支撐剛度，從影響拉索水平靜力剛度的初始預(yù)拉力、對地夾角、拉索自重及所受風(fēng)荷載大小三個方面進(jìn)行了參數(shù)化分析；推導(dǎo)了不同風(fēng)向角下水平剛度的變化規(guī)律；最后，通過格構(gòu)式模型與彈性支承模型的側(cè)向變形對比，驗證了拉索非線性靜力剛度推導(dǎo)的準(zhǔn)確性，并探究了拉索參數(shù)及風(fēng)向角對結(jié)構(gòu)受力變形的影響規(guī)律。

1 拉索非線性靜力剛度推導(dǎo)

1.1 拉索拋物線模型

某等高拉索的受力模型如圖1所示，圖中：拉索弦向為x軸；垂直于弦向為y軸；拉索原長為L；軸向拉力為TA；弦向拉力為TH；拉索受垂直于弦向的均布荷載為q；跨中垂直度為f。

圖1 拉索靜力模型

對圖示微元進(jìn)行求解分析可得拉索拋物線方程及其對應(yīng)弧長Sg分別為[12]：

(1)

(2)

拉索具有“大位移小應(yīng)變”的幾何特征[13]，工作階段處于彈性狀態(tài)，滿足虎克定律。因此，由拉索拉力引起的變形增量為：

(3)

式中：E,A分別為拉索彈性模量和截面面積。

由式(2)(3)可求得拋物線模型對應(yīng)的拉索總伸長量ΔS為：

(4)

本文給定某一拉索具體參數(shù)如表1所示，拉索初應(yīng)力以100 MPa為基準(zhǔn)，40 MPa為增量分別得到六種初應(yīng)力大小。繪制不同拉線初應(yīng)力下弦向應(yīng)力隨伸長量變化如圖2所示，其中拉索原長為L，受拉伸長量為ΔL。

表1 某拉索參數(shù)

圖2 拉索弦向應(yīng)力隨伸長量變化

由圖2可知，拉索弦向應(yīng)力隨伸長量的增大呈現(xiàn)非線性增大趨勢，六種初應(yīng)力情況下，拉索原長對應(yīng)的弦向應(yīng)力由小到大分別為：62，80，96，110，126，142 MPa，即在拉索具有相同伸長量時，初應(yīng)力越大的拉索，弦向應(yīng)力越大。

1.2 平面單索模型

1.2.1非線性剛度求解

平面拉線塔拉索受力體系如圖3所示，拉索弦向長度為L，對地傾角為α。拉線塔立柱受力而產(chǎn)生彎曲變形，拉線掛點由C移動到C′，拉索平面水平位移為u，豎向位移為w，左側(cè)拉索受拉伸長，右側(cè)拉索收縮索力減小。

圖3 平面拉線塔拉索受力模型

拉索受到弦向應(yīng)力TH、豎向重力均布荷載qg，以及水平風(fēng)荷載的作用，通過自身變形協(xié)調(diào)為拉線塔立柱提供非線性剛度。將倒三角風(fēng)荷載等效為均布荷載qw，并基于以下基本假定推導(dǎo)拉索水平靜力剛度。

基本假定：(1)拉索處于彈性，滿足虎克定律；(2)不考慮拉索伸長前后拉索對地夾角變化；(3)拉索垂度較小，可采用拋物線模型；(4)忽略拉索受力在弦向的分量[14]。

由于拉線塔結(jié)構(gòu)位移主要由彎曲變形和剛性運動組成，拉索節(jié)點豎向位移w是水平位移u的二階極小值，可忽略[15]，因此根據(jù)圖3所示幾何關(guān)系及剛度求解公式，可推導(dǎo)得出拉索水平靜力剛度K為：

(5)

式中：T為索力水平分量。

分別代入式(3)(4)可求解得到單根拉索線性剛度Ke、幾何剛度Kg及非線性靜力剛度K：

(6)

(7)

(8)

qG=qgcosα+qwsinα

(9)

1.2.2 拉索相對剛度影響因素分析

為探究拉索拉應(yīng)力σ及對地夾角α對拉索i的剛度Ki的影響，分別以α=15°，σ0=300 MPa的線性剛度為Keα,Keσ，繪制各拉索相對剛度Ki/Keα,Ki/Keσ曲線圖如圖4，5所示。

圖4 拉索相對剛度隨拉應(yīng)力變化

圖5 拉索相對剛度隨對地夾角變化

由圖4可知，拉索靜力剛度隨拉應(yīng)力的增加呈現(xiàn)出非線性先快后慢的增長趨勢，并最終趨于其線性剛度。五種不同對地夾角情況下，當(dāng)拉索初始拉應(yīng)力大于220 MPa時，拉索靜力剛度與線性剛度的差值均小于5%；五種不同對地夾角情況下，拉索相對剛度比值為：1 ∶ 0.806 ∶ 0.541 ∶ 0.265 ∶ 0.071。

由圖5可知，拉索相對剛度隨對地夾角增大而由1逐漸減小并趨于0；六種不同預(yù)應(yīng)力情況下，最大相對剛度比值為：1 ∶ 0.998 ∶ 0.994 ∶ 0.987 ∶ 0.970 ∶ 0.918。

從以上分析可知，拉索拉應(yīng)力大于220 MPa時，拉索非線性靜力剛度趨近于線性剛度，且受預(yù)應(yīng)力影響減小；拉索對地夾角從15°到75°，每15°的角度增量使拉索最終相對剛度減小26%左右；拉索初應(yīng)力大小對相對剛度的影響，在拉索對地夾角較小時更加明顯。

由式(9)可知，拉索自重及水平風(fēng)荷載可等效為垂直于拉索弦向的均布荷載qG；拉索在qG作用下，會產(chǎn)生較大弧垂，從而引起拉索非線性剛度的變化。拉索對地夾角為45°時，不同初應(yīng)力下qG對拉索相對剛度的影響如圖6所示，其中相對剛度為非線性剛度與線性剛度比值。

圖6 相對剛度隨垂直于弦向均布荷載的變化

由圖6可知，隨著qG從0逐漸增大，相對剛度由1逐漸減??；當(dāng)qG=60 N/m時，六種不同初應(yīng)力情況下，相對剛度數(shù)值由大到小為：0.988，0.982，0.972，0.949，0.899，0.764，當(dāng)qG=120 N/m時，相對剛度數(shù)值由大到小為：0.956，0.934，0.896，0.825，0.689，0.447；當(dāng)qG對拉索非線性剛度影響小于5%時，可忽略此種情況下的拉索荷載，初應(yīng)力由100 MPa增大到300 MPa，拉索靜力剛度與其線性剛度差值小于5%所對應(yīng)的qG數(shù)值分別為：20，40，60，80，100，120 N/m。

從以上分析可知，當(dāng)qG大小為0時，初應(yīng)力大小不影響拉索非線性剛度；隨著qG逐漸增大，初應(yīng)力的大小對相對剛度的影響逐漸增大。

綜上所述，拉索剛度隨初應(yīng)力σ0、對地夾角α及風(fēng)荷載與拉索自重qG的變化而非線性變化。原因在于，當(dāng)初應(yīng)力σ0增大、qG減小時，拉索弧垂將會隨之減小，幾何非線性特征隨幾何剛度增大而逐漸消失，拉索剛度增大，最終趨近于拉索線性剛度，此時拉索可近似等效為彈性桿。當(dāng)夾角α逐漸增大，拉索對塔身約束力的水平分量減小，拉索剛度呈現(xiàn)減小趨勢。

1.3 任意風(fēng)向角下三方拉索剛度

為推導(dǎo)不同風(fēng)向角下，各個方向拉索為立柱提供抗側(cè)剛度的大小，建立三方拉線塔簡化模型，如圖7所示，規(guī)定從拉索錨地點到立柱錨地點的方向向量與風(fēng)荷載方向向量的夾角為單根拉索風(fēng)向角βi，已知單根拉索沿拉索平面的非線性剛度為K。

圖7 三方拉線塔在β風(fēng)向角下拉索簡化模型

迎風(fēng)面、背風(fēng)面拉索伸長量ΔS1,ΔS2,ΔS3分別為：

ΔS1=ucosαcosβ1

(10)

ΔS2=ΔS3=-ucosαcosβ2

(11)

風(fēng)向角βi下，單根拉索為立柱提供的剛度ki為：

(12)

則三方拉線塔所受水平風(fēng)荷載可表示為：

(13)

因此可得三方拉索為拉線塔立柱提供的等效剛度keq為：

(14)

2 拉線塔計算理論

2.1 風(fēng)荷載計算

塔身所受風(fēng)荷載為：

Wk=βzμsμzW0Ak

(15)

式中：Wk為塔身風(fēng)荷載標(biāo)準(zhǔn)值(kN)；βz為高度z處的風(fēng)振系數(shù)；μs，μz分別為風(fēng)荷載體型系數(shù)及風(fēng)壓高度變化系數(shù)；W0為基本風(fēng)壓(kN/m2)；Ak為塔身承受風(fēng)壓的投影面積(m2)。以上參數(shù)均按照文獻(xiàn)[16]進(jìn)行選取計算。

2.2 拉線塔等效靜力模型及計算理論

通過理論計算得到拉線塔各層三方拉索為塔身提供的抗側(cè)剛度keq-i，將拉線塔立柱等效為連續(xù)梁，拉索等效為彈簧，建立彈性支座連續(xù)梁模型，如圖8所示，其中水平風(fēng)荷載等效為n段均布荷載qi，彈性支座內(nèi)力計算如圖9所示。

圖8 拉線塔簡化彈性支座連續(xù)梁模型

圖9 彈性支座連續(xù)梁內(nèi)力計算

因此可得下式：

(16)

求解柔度系數(shù)可得：

(17)

用靜力法可解得彈性支座連續(xù)梁彎矩及彈簧反力，進(jìn)而對拉線塔等效模型側(cè)向位移進(jìn)行求解。

3 拉線塔模擬分析

3.1 拉線塔模型

選取某100 m高的三方四層格構(gòu)式拉線塔，塔身采用鋼管截面，拉索采用索單元，材料采用Q235鋼材，塔底與拉索對地均為鉸接，建立有限元分析模型。迎風(fēng)面弦桿標(biāo)記為A，背風(fēng)面兩弦桿標(biāo)記為B，C，為探究拉線塔各部位受力及變形，選取6處典型高度的18個節(jié)點，分別為JA1～JA6,JB1～JB6,JC1～JC6，以及4處典型高度的12根弦桿，分別為EA1～EA4,EB1～EB4,EC1～EC4，進(jìn)行分析。桿件、節(jié)點位置及拉線塔相關(guān)參數(shù)如圖10所示。

圖10 拉線塔規(guī)格及參數(shù)/m

3.2 拉線塔內(nèi)力及變形研究

3.2.1 側(cè)向變形

對三方四層拉線塔建立初始預(yù)應(yīng)力分別為100，140，180，220，260，300 MPa的模型，利用有限元分析軟件對模型進(jìn)行求解，繪制其在風(fēng)荷載作用下的側(cè)向變形，如圖11所示。

圖11 不同初應(yīng)力下塔身側(cè)向變形

在風(fēng)荷載下拉索預(yù)應(yīng)力為180 MPa的拉線塔變形如圖12所示，在橫向風(fēng)荷載作用下，拉線塔產(chǎn)生沿荷載方向的彎曲變形，塔頂產(chǎn)生水平及豎向位移。迎風(fēng)面拉索受拉增長，背風(fēng)面兩根拉索收縮索力減小，盡管此時材料仍處于彈性階段，但結(jié)構(gòu)整體位移較大，表現(xiàn)出大位移小應(yīng)變的非線性特征。

圖12 風(fēng)荷載下三方四層拉線塔的變形

由圖11可知，塔身側(cè)向位移受拉索初應(yīng)力及高度影響，六種不同初應(yīng)力情況下，塔頂位移由大到小依次為：126，101，91，87，85，84 mm，因此可得：當(dāng)拉索初應(yīng)力較小時，提升拉應(yīng)力能有效控制側(cè)向位移；隨著高度增加，側(cè)向變形圖斜率逐漸降低，變形更加明顯。

拉線塔立柱相當(dāng)于外伸懸臂梁，三方拉索可看作為塔身提供側(cè)向剛度的彈簧，在水平風(fēng)荷載作用下，塔身產(chǎn)生較大彎矩，進(jìn)而彎曲變形。拉索初應(yīng)力越大，其為塔身提供的抗側(cè)剛度越大，塔身側(cè)向變形越小；隨著高度增加，塔身風(fēng)荷載增大，變形增大，索力的豎向分量會使得塔身軸力變大，二階效應(yīng)使得沿荷載方向的位移更加明顯。

不同初應(yīng)力下，拉線塔局部節(jié)點變形影響曲線如圖13所示，圖中節(jié)點Ji的位移為節(jié)點JAi,JBi,JCi位移均值。

圖13 不同初應(yīng)力下塔身節(jié)點位移變化

由圖13可知，當(dāng)初應(yīng)力為100 MPa時，節(jié)點J1～J6的橫向位移依次為：9，26，36，53，89，126 mm，當(dāng)初應(yīng)力為300 MPa時，節(jié)點J1～J6的橫向位移依次為：9，23，31，43，63，84 mm；隨著初應(yīng)力的增大，各節(jié)點位移逐漸減小，并最終趨于不變；節(jié)點位移隨高度增大而增大。

分析其原因，塔身所受風(fēng)荷載隨立柱高度增加而增大，在較高處的節(jié)點將產(chǎn)生更大的橫向變形；當(dāng)拉索弧垂較大時，增大拉索初應(yīng)力可有效增大拉索幾何剛度，從而使得節(jié)點橫向位移減小，當(dāng)拉索弧垂較小時，拉索非線性剛度趨近于線性剛度，增大初應(yīng)力對節(jié)點位移影響不大；由于上層拉索與下層拉索相比，長度更長，在相同的預(yù)應(yīng)力作用下，弧垂更大，幾何非線性更加明顯，因此位于上部的節(jié)點J4～J6受拉索預(yù)應(yīng)力影響變化大且迅速，而位于下部的節(jié)點J1～J3，在較低的初應(yīng)力作用下，拉索提供的水平靜力剛度已接近于拉索線性剛度，水平位移隨預(yù)應(yīng)力的增大變化小且緩慢。

3.2.2 主材內(nèi)力

不同初應(yīng)力下拉線塔桿件軸力隨塔身高度的變化如圖14所示，其中迎風(fēng)面、背風(fēng)面弦桿軸力變化如圖15所示，軸力均為絕對值。由于B，C處弦桿關(guān)于風(fēng)荷載方向?qū)ΨQ，其軸力差距很小，因此僅提取B處弦桿軸力進(jìn)行對比。

圖14 桿件軸力沿塔身高度的變化

圖15 不同初應(yīng)力下迎風(fēng)面、背風(fēng)面桿件軸力變化

由圖14可知，桿件軸力隨高度變化呈現(xiàn)“階梯型”變化趨勢，在拉索掛點處，桿件軸力發(fā)生突變；隨著初應(yīng)力增大，桿件軸力逐漸增大；在塔頂部懸臂端，桿件軸力與初應(yīng)力的變化無關(guān)。

由圖15可知，當(dāng)初應(yīng)力為100 MPa時，桿件EA1～EA4軸力依次為：231，115，78，26 kN，桿件EB1～EB4軸力依次為：185，98，39，17 kN；當(dāng)初應(yīng)力為300 MPa時，桿件EA1～EA4軸力依次為：449，235，137，26 kN，桿件EB1～EB4軸力依次為：396，194，87，17 kN；桿件EA1～EA3,EB1～EB3軸力隨初應(yīng)力增大而增大，桿件EA4,EB4軸力不隨初應(yīng)力變化而變化。

原因在于，拉線塔在拉索與風(fēng)荷載作用下，塔身整體發(fā)生彎曲變形及軸向壓縮。位于塔頂懸臂段中部的桿件EA4,EB4由于不受拉索拉力影響，軸力非常小，位于底端的桿件EA1,EB1軸向壓縮受各層拉索拉力的豎向分量及塔身自重的影響，因此軸力最大，且隨拉索預(yù)應(yīng)力增大變化最快。同時，迎風(fēng)面拉索受拉，索力變大，背風(fēng)面拉索收縮，索力減小，在迎風(fēng)面桿件在拉索作用下，其軸力大于同高度背風(fēng)側(cè)的桿件軸力。

3.2.3 風(fēng)向角

為驗證本文1.3節(jié)推導(dǎo)的拉索剛度隨風(fēng)向角變化的規(guī)律，利用有限元分析軟件對三方四層拉線塔不同風(fēng)向角位移進(jìn)行求解。選取對地傾角α=45°，風(fēng)向角β從0°到360°，以30°為增量，如圖16所示，分析得到塔頂位移變化規(guī)律如圖17所示。

圖16 風(fēng)向角示意

圖17 不同風(fēng)向角塔頂位移變化規(guī)律

由圖17可知，隨著風(fēng)荷載方向的360°變化，拉線塔塔頂位移數(shù)值連線形成類似于“三葉草”的曲線，風(fēng)向角β為0°，120°，240°時，塔頂位移最小，風(fēng)向角β為60°，180°，300°時，塔頂位移最大；曲線隨初應(yīng)力增大而逐漸變圓，不同風(fēng)向角下，當(dāng)拉索初應(yīng)力大于220 MPa時，可得塔頂最大位移與最小位移之間差值小于5%，曲線接近圓形。

對于單軸對稱的三方拉線塔結(jié)構(gòu)，當(dāng)風(fēng)荷載沿對稱軸施加時，塔身將沿荷載方向偏移，當(dāng)風(fēng)荷載沿非對稱軸施加時，塔身位移將與荷載施加方向產(chǎn)生θ角偏移，以β=30°為例，繪制偏移角θ隨預(yù)應(yīng)力變化規(guī)律如圖18所示。

圖18 偏移角θ隨初應(yīng)力變化

由圖18可知，拉索初應(yīng)力由100 MPa增長到300 MPa，塔身位移產(chǎn)生的與荷載方向的偏移角θ由11°降低到0.3°。

風(fēng)荷載與拉索對稱平面夾角越小時，拉索的初始預(yù)應(yīng)力越能最大限度提高對塔身的支撐剛度，從而減小水平位移。拉索初應(yīng)力增大使拉索幾何非線性特性逐漸消失，風(fēng)向角對拉索提供的水平剛度的影響降低，偏移角迅速減小，拉線塔在各個方向的剛度趨于一致。

3.3 有限元與理論結(jié)果對比

基于本文推導(dǎo)得出的拉索非線性靜力剛度，利用2.2節(jié)的計算理論，對彈性支座連續(xù)梁側(cè)向位移進(jìn)行求解，求解結(jié)果與有限元計算結(jié)果對比如圖19所示。

圖19 理論結(jié)果與有限元結(jié)果對比

由圖19可知，彈性支座連續(xù)梁的理論解和有限元模擬的結(jié)果最大差值小于1%，由此說明本文推導(dǎo)出的非線性靜力剛度能夠模擬出拉索在自重及風(fēng)荷載作用下的非線性行為，計算相對簡單且具有較高精度。

4 結(jié) 論

基于上述理論研究和有限元分析，可以得到如下幾條結(jié)論：

(1)基于拉索變形增量和三方拉線塔幾何關(guān)系推導(dǎo)得出拉索非線性剛度，能準(zhǔn)確模擬出拉索在自重、風(fēng)荷載作用下的非線性行為。

(2)將拉線塔立柱等效為連續(xù)梁，三方拉索等效為彈簧支座進(jìn)行求解，能減少結(jié)構(gòu)自由度，并快速精確地求解出拉線塔位移。

(3)拉索水平靜力剛度隨初應(yīng)力的增大、對地夾角的減小而非線性增大，最終都趨近于其線性剛度。當(dāng)拉索靜力剛度與線性剛度差值小于5%時，拉索初應(yīng)力大于220 MPa，此時若拉索自重及所受風(fēng)荷載在拉索弦向的分量小于80 N/m，則可忽略拉索荷載對剛度的影響。

(4)風(fēng)向角從0°到360°變化，結(jié)構(gòu)側(cè)向位移曲線將呈現(xiàn)“三葉草”形狀；隨著拉索初應(yīng)力增加，各風(fēng)向角剛度趨于一致。