一道數(shù)列題錯(cuò)解的剖析、修正與再運(yùn)用

陶炳宏

江蘇省海門(mén)中學(xué) (226100)

在數(shù)學(xué)考試中，壓軸題一般有一定的難度.學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)與解法有可能存在考慮不全面，認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的問(wèn)題，所以經(jīng)常出現(xiàn)一些看似正確的錯(cuò)誤解法.對(duì)于這類(lèi)錯(cuò)誤的解法，教師應(yīng)該給予深入的分析，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤的原因，肯定解法中的可取之處，尋找修正的解決辦法.下面從一道調(diào)研試題學(xué)生的錯(cuò)解出發(fā)，對(duì)解法進(jìn)行剖析，修正與再運(yùn)用.

題目(江蘇南京鹽城2020屆高三第二次模擬考試)已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，記Tn為數(shù)列{an}的前an項(xiàng)和，即Tn=a1+a2+…+aan．

(1)若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1=1，S4=5S2，求T3的值；

1.錯(cuò)解展示

解：(3)第一步：假設(shè)存在n∈N*使得an≤an-1，則Tn=a1+a2+…+aan≤a1+a2+…+aan+aan+1+…+aan-1=Tn-1，這與Tn>Tn-1矛盾，所以?n∈N*,an>an-1.

2.錯(cuò)在何處

1.第一步表述上存在問(wèn)題，這一步想要證明數(shù)列{an}單調(diào)遞增，即?n∈N*,an>an-1.采用反證法證明時(shí)，假設(shè)的應(yīng)該為存在某一項(xiàng)不滿足an>an-1，這里的n表示的是任意的正整數(shù)，而假設(shè)的應(yīng)該是存在某一確定的項(xiàng)，所以應(yīng)假設(shè)存在n0∈N*滿足an0≤an0-1更為嚴(yán)謹(jǐn).反映了學(xué)生對(duì)于含有全稱(chēng)量詞命題的否定掌握的不扎實(shí)；

3.解法亮點(diǎn)

雖然解法存在一定的問(wèn)題，但是存在閃光點(diǎn).由已知條件可猜想{an}為等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an=n.最主要的難點(diǎn)是當(dāng)ak>k時(shí)，前面的k-1項(xiàng)與相應(yīng)的下標(biāo)的大小關(guān)系如何確定？突破點(diǎn)還是在假設(shè)上，應(yīng)該先找到第一個(gè)使得ak≠k的項(xiàng)，這樣的話前面k-1項(xiàng)就滿足ai=i(1≤i≤k-1)，然后關(guān)于的矛盾的說(shuō)明就合理了.

4.解法修正

解：假設(shè)存在n0∈N*使得an0≤an0-1，則Tn0=a1+a2+…+aan≤a1+a2+…+aan+aan+1+…+aan-1=Tn0-1.這與Tn0>Tn0-1矛盾，所以?n∈N*,an>an-1；因?yàn)?=T1=a1+a2+…+aa1≥a1，又a1≥1，所以a1=1.

假設(shè)存在an≠n的項(xiàng)，且設(shè)滿足an≠n的最小正整數(shù)為n=k+1,k∈N*，即a1=1,a2=2,…,ak=k,ak+1≠k+1.

5.方法再運(yùn)用

上述假設(shè)方法在與正整數(shù)有關(guān)的命題證明中有很多的應(yīng)用，下面是該方法在2019年上海與北京的高考題中的運(yùn)用.

例1 (2019上海高考) 數(shù)列{an}有100項(xiàng)，a1=a，對(duì)任意n∈[2,100]，存在an=ai+d,i∈[1,n-1].若ak與前n項(xiàng)中某一項(xiàng)相等，則稱(chēng)ak具有性質(zhì)P.

辣椒去籽，粉碎，稱(chēng)取5.0 g，加入40 mL蒸餾水和0.3%(W/W)的纖維素酶，50 ℃反應(yīng)2 h后進(jìn)行離心分離，取上清液，殘?jiān)眉状寂c四氫呋喃的混合溶液(1∶1，V/V)進(jìn)行超聲提取，溫度60 ℃，功率70 W，提取時(shí)間1 h，過(guò)濾，得到包含辣椒堿和辣椒二氫堿的濾液。

(1)若a1=1，求a4可能的值；

(2)若{an}不為等差數(shù)列，求證：{an}中存在滿足性質(zhì)P；

(3)若{an}中恰有三項(xiàng)具有性質(zhì)P，這三項(xiàng)和為C，使用a,d,c表示a1+a2+…+a100.

分析：第(2)問(wèn)中數(shù)列{an}不為等差數(shù)列如何使用，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).根據(jù)等差數(shù)列定義可知{an}中必存在一項(xiàng)滿足an≠an-1+d，關(guān)鍵是找出其中的第一個(gè)，就可以在找到滿足性質(zhì)P的項(xiàng).

解：(1)略；(2)證明：因?yàn)閍2=a1+d，又因?yàn)閧an}不為等差數(shù)列，則存在滿足an≠an-1+d(n≥3)的項(xiàng)，設(shè)滿足an≠an-1+d的項(xiàng)數(shù)n的最小正整數(shù)為n0，n0≥3，即a2=a1+d,a3=a2+d,…,an0-1=an0-2+1,an0≠an0-1+d.又?n∈[1,100]，存在an=ai+d,i∈[1,…,n-1]，所以存在i∈[1,…,n0-2]，使得an0=ai+d=ai+1，所以an0具有性質(zhì)P.(3)略.

例2 (2019北京理)已知數(shù)列{an}，從中選取第i1項(xiàng)、第i2項(xiàng)、…、第im項(xiàng)(i1

(1)寫(xiě)出數(shù)列1，8，3，7，5，6，9的一個(gè)長(zhǎng)度為4的遞增子列；

(2)已知數(shù)列{an}的長(zhǎng)度為p的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為am0，長(zhǎng)度為q的遞增子列的末項(xiàng)的最小值為an0.若p

(3)設(shè)無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且任意兩項(xiàng)均不相等.若{an}的長(zhǎng)度為s的遞增子列末項(xiàng)的最小值為2s-1，且長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有2s-1個(gè)(s=1，2，…)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．

分析：第三問(wèn)的證明思路可分為三步：先證明若偶數(shù)是若2m是{an}中的項(xiàng)，則2m必排在2m-1之前，m∈N*.可以采用反證法找到與已知矛盾的地方，第二步證明所有的偶數(shù)都是{an}中的項(xiàng)，采用反證法時(shí)可以假設(shè)不在{an}中的最小的正偶數(shù)為2m，從找到與條件“長(zhǎng)度為s末項(xiàng)為2s-1的遞增子列恰有2s-1個(gè)(s=1，2，…)”矛盾的點(diǎn).

結(jié)語(yǔ)試題的錯(cuò)解中隱藏了學(xué)生知識(shí)的薄弱點(diǎn)、體現(xiàn)了學(xué)生的第一想法、展現(xiàn)了學(xué)生的思維過(guò)程，通過(guò)對(duì)學(xué)生錯(cuò)解的剖析與修正，可以幫助學(xué)生厘清知識(shí)的盲點(diǎn)、增強(qiáng)學(xué)生的自信心、積累數(shù)學(xué)探究的經(jīng)驗(yàn).教師應(yīng)該重視學(xué)生的錯(cuò)解，利用好錯(cuò)解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).