芻議高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的生長點(diǎn)

趙 波

南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué) (215000)

1.問題提出

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實(shí)踐活動(dòng).因其關(guān)注學(xué)生參與，有效促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，是提升學(xué)生核心素養(yǎng)的重要載體，故在課堂教學(xué)中備受推崇.能否成功開展探究性教學(xué)也成為衡量數(shù)學(xué)課優(yōu)劣的重要方面.當(dāng)下，課堂教學(xué)中廣大教師有意識(shí)地開展探究性教學(xué)已成常態(tài)，令人備受鼓舞.但在實(shí)施探究性教學(xué)的過程也出現(xiàn)了令人堪憂的各種“偽探究”現(xiàn)象：認(rèn)為讓學(xué)生多討論就是探究，認(rèn)為課堂氣氛熱烈就是探究，以熱鬧代替深思；有的固化認(rèn)為只有某些課型適合探究，有的狹隘認(rèn)為探究就需要長時(shí)間……．

在一次課題為“點(diǎn)到直線的距離”(蘇教版《數(shù)學(xué)2》第二章第101頁第一課時(shí))縣級(jí)同課異構(gòu)的優(yōu)質(zhì)課比賽活動(dòng)中，12位參賽選手“八仙過海，各顯神通”都采用探究性教學(xué)方式.然而，有的選手忽視探究的前提條件，不顧學(xué)生的基礎(chǔ)、無視學(xué)生的真實(shí)感受，在遇到學(xué)生不同見解時(shí)不是去合理引導(dǎo)探究，而是硬生生地將課堂“拽回”課前預(yù)設(shè)的教學(xué)路線．例如有位參賽教師(以下簡稱“教師1”)在教學(xué)伊始運(yùn)用從特殊到一般的方法進(jìn)行教學(xué)，在學(xué)生自主解決點(diǎn)D(2,4)到直線AB:5x+4y-7=0的距離，并得到教材上的方法1與方法2(由于學(xué)生課前事先預(yù)習(xí)，容易理解方法1與方法2)后，教師1拋出課題“如何能快速地推導(dǎo)出點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離？”(教師的追問想讓學(xué)生選擇方法2，摒棄方法1)但有些學(xué)生偏偏提出：方法2好是好，但不容易想到，能否類比方法1，先求出過定點(diǎn)與定直線垂直的直線方程；并與定直線方程聯(lián)立方程組，求垂足的坐標(biāo)；最后求兩點(diǎn)間距離．學(xué)生的話還沒有說完，教師1回答道：方法1容易想到，但計(jì)算量太大，不信，大家可以課后嘗試一下！我們來探討方法2——等面積法，在講解方法2后，教師1又“馬不停蹄”地引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)更加靈活的二次函數(shù)求最值法和向量投影法．顯然，教師1沒有很好對(duì)接學(xué)生思維，學(xué)生心理的需求是什么，特別是引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)后面兩種證明方法時(shí)，由于教學(xué)時(shí)間緊張，教師1采用邊講授邊用多媒體展示的方法直接“塞”給學(xué)生，致使學(xué)生疲于奔命、茫然四顧，教學(xué)效果可想而知．筆者認(rèn)為探究性教學(xué)應(yīng)根據(jù)課堂實(shí)際情況捕捉到探究性教學(xué)的最佳生長點(diǎn)，這樣的探究教學(xué)才會(huì)更加生動(dòng)、流暢、有趣、高效.本文筆者摭談一些認(rèn)識(shí)與思考，以期拋磚引玉．

2.芻議探究性教學(xué)的生長點(diǎn)

數(shù)學(xué)探究性教學(xué)是指教師針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)中的某個(gè)教學(xué)內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)能引發(fā)學(xué)生積極探索的教學(xué)過程，使學(xué)生在體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程中培養(yǎng)獨(dú)立思考、合情推理等方面的能力[1]．要注意的是，探究性教學(xué)重在引導(dǎo)學(xué)生大膽“探究”，自主學(xué)習(xí)，而不僅是重在探究的“結(jié)果”．作為探究性教學(xué)的對(duì)象可以是某個(gè)重要內(nèi)容，可以是教學(xué)中的某個(gè)難點(diǎn)，可以是學(xué)生解題的疑惑點(diǎn)，可以是某次作業(yè)或考試中錯(cuò)誤率較高的試題等．因此，探究性教學(xué)的形式是靈活的、多變的，它不拘囿于整堂課都以“探究”為主線.有時(shí)僅在一個(gè)教學(xué)片斷中體現(xiàn)探究性教學(xué)，并且是一個(gè)不露痕跡的引人入勝的“微電影”．要想讓這些“微電影”的“劇情”跌宕起伏、吸引“觀眾”，那就要抓住“劇情”發(fā)展的生長點(diǎn)．

2.1 以學(xué)生的現(xiàn)有基礎(chǔ)或?qū)嶋H需求為探究性教學(xué)的生長點(diǎn)，發(fā)展學(xué)生的思維

數(shù)學(xué)家懷特尼說：“創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)工作并非少數(shù)天才所專有，它可以是我們之中有強(qiáng)烈意愿與充分自主性的任何人的順乎自然的行動(dòng)”.探究性教學(xué)比其他教學(xué)法更加關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，它實(shí)質(zhì)是一種創(chuàng)造性地對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行“再加工”學(xué)習(xí)，大多數(shù)學(xué)生都可以接受這種學(xué)習(xí)方式．眾所周知，從學(xué)生的實(shí)際情況、個(gè)別差異與個(gè)性特點(diǎn)出發(fā)，有的放矢地進(jìn)行有區(qū)別的教學(xué)是因材施教的教學(xué)原則[2]．從學(xué)生的現(xiàn)有基礎(chǔ)出發(fā)進(jìn)行探究性教學(xué)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生思維的啟動(dòng)；反正，忽視學(xué)生的基礎(chǔ)和真實(shí)感受進(jìn)行探究性教學(xué)必然會(huì)造成綆短汲深的尷尬局面．

在教師1的教學(xué)過程中，當(dāng)有學(xué)生提出：“方法2好是好，但不容易想到，能否類比方法1推出一般情況下的點(diǎn)到直線距離公式？”其實(shí)由方法1求出一般情況下的點(diǎn)到直線距離公式是大多數(shù)學(xué)生正常能夠想到的，但教師1卻沒有顧及學(xué)生的真實(shí)感受，“照搬教材”斷然否定學(xué)生現(xiàn)有的想法，著實(shí)令人扼腕嘆息．學(xué)生的想法有如下三個(gè)閃光點(diǎn)：第一，思路是自然的；第二，方法是科學(xué)的；第三，操作是可行的．只要具備扎實(shí)的計(jì)算推理能力，不難推出點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式．推導(dǎo)過程如下：

幫助與鼓勵(lì)學(xué)生完成上述的推導(dǎo)過程，既能及時(shí)解開困擾學(xué)生的“心結(jié)”，又能給學(xué)生提供一次培養(yǎng)運(yùn)算推導(dǎo)能力的契機(jī)，更能讓學(xué)生收獲成功的愉悅感．這正如教育家愛默生所說：“教育成功的秘訣在于尊重學(xué)生．”尊重學(xué)生的思維，可以使學(xué)生樹立堅(jiān)定的學(xué)好數(shù)學(xué)的信念．

2.2 以學(xué)生的作業(yè)批改或考試反饋為探究性教學(xué)的生長點(diǎn)，提升學(xué)生的思維

對(duì)作業(yè)或試卷中需要教師重點(diǎn)評(píng)講的問題，最忌諱的是教師只是按照自己事先所準(zhǔn)備的解題思路、方法與策略展示給學(xué)生，甚至讓學(xué)生對(duì)答案、對(duì)題型、套模式、練套路．而對(duì)學(xué)生解題中的困難及錯(cuò)誤產(chǎn)生的緣由很少關(guān)注，結(jié)果只能是教師講得精彩，學(xué)生聽得無趣，教學(xué)發(fā)生錯(cuò)位，這樣的講評(píng)只能勞而無功，收獲寥寥[3]．為了摸清學(xué)生錯(cuò)誤的原因，還原學(xué)生解題時(shí)的思維軌跡，提高講評(píng)的針對(duì)性．一是做好作業(yè)或閱卷統(tǒng)計(jì)，對(duì)重點(diǎn)題型，錯(cuò)誤解法等有詳細(xì)地了解；二是充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.俗話說得好“解鈴還須系鈴人”，在講評(píng)試題時(shí)教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生成為研究問題與解決問題的決策者及探索者．

(1)試題分析

此題為填空題的壓軸題，它從常見的求三角形面積最大值問題入手，通過對(duì)三角形的形狀及其邊長滿足的條件加以包裝和打造，提高了試題的難度，增加了思維含量．既突出了數(shù)學(xué)新課標(biāo)“四基”的要求，又著重考查了學(xué)生的分析問題、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算推理、等價(jià)轉(zhuǎn)化等能力[3]．

(2)考情統(tǒng)計(jì)

(3)教學(xué)片段

教師：哪位學(xué)生愿與大家分享你解題時(shí)的想法？

圖1

教師：請(qǐng)同學(xué)們分析上述幾位同學(xué)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因．

生5：學(xué)生1是先由等號(hào)條件出發(fā)求最值，故學(xué)生1的解法是錯(cuò)誤的．運(yùn)用基本不等式求最值分三步驟進(jìn)行：一正二定三相等．這三個(gè)步驟應(yīng)逐一實(shí)現(xiàn)，且順序不能交換．

(生6質(zhì)疑在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若出現(xiàn)和(積)不為定值，怎么辦？常規(guī)的處理策略是什么？學(xué)生6的追問引起其他學(xué)生的深思和激烈的討論)

生7：運(yùn)算推理能力是其他能力的載體，因此它是最基礎(chǔ)、最重要的一種能力．如學(xué)生2因計(jì)算失誤沒有把正確的思路轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)．

生8：學(xué)生2的解法有點(diǎn)舍近求遠(yuǎn)、避簡求繁，其實(shí)通過換元法可轉(zhuǎn)化我們熟悉的二次函數(shù)在定區(qū)間上求最值問題，這樣就可以大大降低因計(jì)算帶來的錯(cuò)誤風(fēng)險(xiǎn)．

生10：使和為定值的依據(jù)是什么呢？

教師：嘗試從條件中找找！

教師：從學(xué)生10的解法中，我們不難得知，通過等價(jià)變形使和(積)為定值，是靈活運(yùn)用基本不等式的切入點(diǎn)．那我們?nèi)绾瓮ㄟ^等價(jià)變形使和(積)為定值[3]？

生10：通過乘以一個(gè)項(xiàng)與除以一個(gè)項(xiàng)使和為定值；通過加上一個(gè)項(xiàng)與減去同一個(gè)項(xiàng)使積為定值．

再請(qǐng)學(xué)生8展示你的解法．

教師：由此可見，換元法起到的等價(jià)轉(zhuǎn)化作用，不僅僅體現(xiàn)在把復(fù)雜問題簡單化、陌生問題熟悉化，還能規(guī)避繁瑣的運(yùn)算帶來的風(fēng)險(xiǎn)！何樂而不為呢[3]！

教育家第斯多惠說過：“一個(gè)壞老師奉送給學(xué)生真理，一個(gè)好老師則教學(xué)生發(fā)現(xiàn)真理．”講評(píng)問題時(shí)應(yīng)著力于啟發(fā)學(xué)生分析題干可能允許的解題范圍、角度與方法，認(rèn)清題干中的側(cè)重點(diǎn)，辨析題目中設(shè)置的迷惑點(diǎn)，重點(diǎn)評(píng)析學(xué)生解答中的錯(cuò)誤，要讓學(xué)生在錯(cuò)誤中學(xué)會(huì)思考，在失敗中積累經(jīng)驗(yàn)[3]．教師要在學(xué)生思維卡殼處提供“腳手架”，為學(xué)生創(chuàng)造更多的自我解決問題的契機(jī)，激發(fā)學(xué)生更大問題的糾正欲、探究欲、解決欲，提升學(xué)生的分析問題能力與解決問題能力[3]．

2.3 以變式題組或問題延伸為探究性教學(xué)的生長點(diǎn)，拓深學(xué)生的思維

習(xí)題教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)探究性教學(xué)效果與如何設(shè)計(jì)變式題組或問題延伸有著密不可分的關(guān)系，設(shè)計(jì)時(shí)要遵循以某個(gè)重點(diǎn)或難點(diǎn)問題為線索，將知識(shí)點(diǎn)轉(zhuǎn)變?yōu)樘剿餍詥栴}串，以設(shè)疑質(zhì)疑的方式展現(xiàn)出來．橫向通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的梳理鞏固學(xué)生的“四基”；縱向通過對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深挖，瞄準(zhǔn)學(xué)生思維的薄弱環(huán)節(jié)強(qiáng)打“補(bǔ)丁”，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究．

案例2 已知f(x)=-2x+4,g(x)=2x,h(x)=min{f(x),g(x)}(x∈R).求h(x)的最大值．

問題延伸1 已知a≥3,函數(shù)

(Ⅰ)求使得等式F(x)=x2-2ax+4a-2成立x的取值范圍；

(Ⅱ)(1)求F(x)得最小值m(a)；(2)求F(x)在區(qū)間[0,6]上的最大值M(a)．

(Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線y=f(x)的切線；(Ⅱ)用min{m,n}表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

考查新定義問題是高考數(shù)學(xué)的一大亮點(diǎn)，是學(xué)生比較發(fā)憷的一種題型．在進(jìn)行有關(guān)新定義教學(xué)時(shí)，要遵循由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的螺旋式上升的原則．筆者在設(shè)置含新定義“min{m,n}”的函數(shù)壓軸題教學(xué)時(shí)就是遵循了這樣的原則，首先設(shè)置一個(gè)學(xué)生比較熟悉的試題，便于學(xué)生“納故接新”，緊接又借助兩道復(fù)雜的試題，把學(xué)生的思維逐步引向深入，讓學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)研究的過程，逐漸形成發(fā)現(xiàn)問題的知識(shí)及拓深學(xué)生思維的深刻度．

2.4 以教學(xué)預(yù)設(shè)或“教學(xué)意外”為探究性教學(xué)的生長點(diǎn)，優(yōu)化學(xué)生的思維

葉瀾教授說：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒有激情的行程．”在教學(xué)中教師在關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程、結(jié)果、理解問題的深刻、情感態(tài)度的變化等時(shí)要學(xué)會(huì)打破教學(xué)預(yù)設(shè)，審時(shí)度勢(shì)地設(shè)計(jì)教學(xué)的路線．對(duì)于學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)、疑難點(diǎn)、“意外點(diǎn)”，教師要根據(jù)教學(xué)的實(shí)際需求創(chuàng)設(shè)“元認(rèn)知沖突”的問題情境，揭示學(xué)生在認(rèn)知上矛盾，使之處于一種“元認(rèn)知失衡”的憤悱狀態(tài)，促使學(xué)生“刨根究底”剖析形成錯(cuò)誤的緣由，并給出正確的解法，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的“元認(rèn)知平衡”．

圖2

經(jīng)過短暫的思考后，有位學(xué)生指出此題的結(jié)論是錯(cuò)誤的．他的理由如下：

圖3

學(xué)習(xí)的“金字塔”理論告訴我們：“讓我看僅能掌握問題的百分之二十，讓我參與活動(dòng)能掌握問題的百分之五十，讓我講給別人聽能掌握問題的百分之九十．”鑒于此，筆者并沒有采取直接說教的教學(xué)方式，而是抓住學(xué)生在證明過程中暴露出來的諸多問題，運(yùn)用“先行組織者”策略設(shè)置多個(gè)連續(xù)的局部探究點(diǎn)，適時(shí)、適當(dāng)?shù)亟o予追問與點(diǎn)撥，促使學(xué)生說出困惑，探討錯(cuò)誤根源，預(yù)測解題方向，甄別解題方法，真正讓學(xué)生“知其然，知其所以然和所以不然”．

3.幾點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)家迪厄多內(nèi)說過：“任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無疑是使學(xué)生對(duì)他所要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠的‘直覺’．”毋庸置疑，高質(zhì)量的探究性教學(xué)能夠幫助學(xué)生找到這個(gè)‘直覺’．要想順利實(shí)施探究性教學(xué)，我們必須做好以下幾點(diǎn)：

3.1 理解問題是實(shí)施探究性教學(xué)的前提

試題是數(shù)學(xué)問題最重要的載體之一，試題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一道重要工序，做好試題教學(xué)有助于師生更好地理解數(shù)學(xué)．從解題角度出發(fā)，理解數(shù)學(xué)可分三個(gè)層次：初級(jí)理解在于就題論題，從試題層面找到解決問題的方法，并能夠順利解決問題，甚至可以探尋一些一題多解問題；中級(jí)理解在于解題后的反思，領(lǐng)悟蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法，并能夠比較解法的優(yōu)劣，領(lǐng)悟用“有限”的數(shù)學(xué)思想方法來解決“無限”道題目的機(jī)智；高級(jí)理解不僅能用“有限”的數(shù)學(xué)思想方法來統(tǒng)領(lǐng)無限道題目，而且能夠通過搜集、加工、類比、整合、遷移，自主設(shè)計(jì)一些有教育價(jià)值的試題，積極地進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，并作適當(dāng)?shù)貧w納與提煉，以此達(dá)到“解一題、會(huì)一類、通一片”的效果[4]．

3.2 理解學(xué)生是實(shí)施探究性教學(xué)的關(guān)鍵

無論何種教學(xué)方式，授課的對(duì)象都是學(xué)生，教學(xué)效果的優(yōu)與劣，直接體現(xiàn)在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握的程度．探究性教學(xué)實(shí)施的關(guān)鍵要理解學(xué)生，貼近學(xué)生的實(shí)際，才算是真正意義上的探究．理解學(xué)生首先要關(guān)注學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，讓學(xué)生能夠“踮著腳，摸的著”；其次還要關(guān)注學(xué)生潛在的思維發(fā)展區(qū)，結(jié)合學(xué)生思考的大致方向，引導(dǎo)學(xué)生探討解決問題的策略、確立解決問題的方法、強(qiáng)化解題思路、拓展變化關(guān)系、挖掘問題本源、尋求通性通法；最后通過同化與順應(yīng)幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)體系，通過溝通知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的遷移力、求異力及創(chuàng)新力．

3.3 理解教學(xué)是實(shí)施探究性教學(xué)的保障

探究性教學(xué)需要教師盡量多給學(xué)生留想一想、悟一悟的時(shí)間，但這決不是放手不問讓學(xué)生盲目地去學(xué)，而是需要教師發(fā)揮應(yīng)有的主導(dǎo)作用教給學(xué)生方法，激活、調(diào)整學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生自己學(xué)的主動(dòng)、思的積極、探的清晰．德海納特在《教師的創(chuàng)造性教學(xué)》中指出：“所有有活力的思想都有一個(gè)緩慢發(fā)展的過程，應(yīng)給學(xué)生足夠的時(shí)間，而向?qū)W生預(yù)示結(jié)果或解決方法，都會(huì)阻礙學(xué)生努力研究．”因此，探究性教學(xué)是一種“慢”教育，更是一種“慢”藝術(shù)，它需要教師孜孜不倦的灌溉和嘔心瀝血的呵護(hù)，才會(huì)有郁郁蔥蔥的繁盛景色！