從概率論到隨機(jī)過程的銜接教學(xué)

摘?要：隨機(jī)過程這門課程具有理論性強(qiáng)且較難入門的特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討了從概率論到隨機(jī)過程的銜接教學(xué)，從而讓學(xué)生平穩(wěn)過渡到隨機(jī)過程的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)過程;特征函數(shù);獨(dú)立性

一、 與隨機(jī)變量對比聯(lián)系

概率論是隨機(jī)過程的先修課程，主要研究隨機(jī)現(xiàn)象在完全相同的條件下重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出來的某種規(guī)律性，我們稱這種規(guī)律性為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論的基礎(chǔ)理論是重點(diǎn)圍繞著建立在概率空間上的隨機(jī)變量而展開。隨機(jī)變量是指從樣本空間Ω到取值空間Rn的一個(gè)可測函數(shù)，用以描述靜態(tài)的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。給出隨機(jī)變量的定義及其分布函數(shù)之后，可用于描述隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律。由于概率論的研究范圍限于一個(gè)或有限個(gè)隨機(jī)變量，即一維隨機(jī)變量和多維隨機(jī)向量，那么就不足以刻畫現(xiàn)實(shí)中隨機(jī)現(xiàn)象的動態(tài)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，所以產(chǎn)生了隨機(jī)過程成為彌補(bǔ)這個(gè)空白的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)分支。

隨機(jī)過程研究隨機(jī)現(xiàn)象變化過程的概率規(guī)律性，觀測的是一族隨著時(shí)間推移而變化的隨機(jī)變量，這些隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)可以是無窮多個(gè)。一個(gè)隨機(jī)過程{X（w，t）}是關(guān)于樣本點(diǎn)w和參數(shù)t的二元函數(shù)，其中t一般取為時(shí)間。當(dāng)t固定時(shí)，它是取值于狀態(tài)空間的隨機(jī)變量。當(dāng)w固定時(shí)，它是取值于狀態(tài)空間的一個(gè)關(guān)于t的函數(shù)。隨機(jī)變量描述方法包括：數(shù)字特征、特征函數(shù)以及累積分布函數(shù)由連續(xù)型對應(yīng)概率密度函數(shù)和離散型通過分布律來描述。而隨機(jī)過程描述的方法有三種，有限維分布函數(shù)族、數(shù)字特征和有限維特征函數(shù)族，是對隨機(jī)變量描述的一個(gè)擴(kuò)展。

另一方面，概率論與隨機(jī)過程對一些概念內(nèi)涵的本質(zhì)又是相通的，對應(yīng)著均值、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)，有均值函數(shù)、方差函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)，它們在定義方式和運(yùn)算性質(zhì)上都是一致的。在講解這些知識點(diǎn)時(shí)，讓學(xué)生把已經(jīng)熟知的概念嫁接遷移過來，進(jìn)行一定的歸納類推，從而做到融會貫通、靈活掌握。教師可以啟發(fā)提示學(xué)生，理清之間的聯(lián)系，又能分辨二者的區(qū)別。

二、 強(qiáng)化特征函數(shù)的運(yùn)用

在一些情況下，想了解隨機(jī)變量的分布并不是輕而易舉的事情，這時(shí)候如果能借助特征函數(shù)可使過程得到簡化。當(dāng)特征函數(shù)存在時(shí)，它唯一地確定分布，因此可用來描述隨機(jī)變量的概率分布。通過引入復(fù)值隨機(jī)變量的特征函數(shù)具有很多優(yōu)良性質(zhì)，幫助我們從新的角度突破思路，更加方便地解決問題。

特征函數(shù)的妙用很多。例如，利用特征函數(shù)的線性變換作用，可以很快從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征函數(shù)得到一般正態(tài)分布的特征函數(shù)，省去了煩瑣的推導(dǎo)。利用如下性質(zhì)，即n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的特征函數(shù)等于各自特征函數(shù)之積，可以迅速得到隨機(jī)變量之和所服從的分布。如若不然，記n個(gè)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的分布為F，要計(jì)算這n個(gè)隨機(jī)變量之和的分布函數(shù)，則需要計(jì)算F的n重卷積，這是非常困難的。然而由這個(gè)性質(zhì)能輕松得到很多有益結(jié)論，二項(xiàng)分布關(guān)于參數(shù)n具有可加性，Poisson分布、正態(tài)分布具有可加性，Γ分布關(guān)于參數(shù)α有可加性，Pascal分布關(guān)于參數(shù)r也有可加性，以及對服從幾何分布的隨機(jī)變量求和的結(jié)果將服從Pascal分布等等，這里可以讓學(xué)生作為練習(xí)來證明，體會特征函數(shù)的運(yùn)用技巧。特征函數(shù)還能直接得到各階原點(diǎn)矩，讓求期望、方差變的直接高效。否則，對于服從幾何這種離散型變量，要求其期望和方差需要用到逐項(xiàng)求導(dǎo)公式來得到冪級數(shù)的和函數(shù)，對于服從指數(shù)分布的這種連續(xù)型變量，要得到其期望和方差需要用分部積分公式來求反常積分，無論如何這些都比通過特征函數(shù)來計(jì)算要復(fù)雜得多。利用特征函數(shù)求隨機(jī)變量的k階矩只需要計(jì)算特征函數(shù)的k階導(dǎo)在0處的取值，再除以虛數(shù)單位的k次方即可直接得到。教師在授課中，應(yīng)重點(diǎn)介紹特征函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生做到能夠理解掌握，并熟練應(yīng)用。

三、 加深對獨(dú)立性的鞏固

對一個(gè)隨機(jī)過程截取任意n個(gè)時(shí)間點(diǎn)，如果得到的n個(gè)隨機(jī)變量它們彼此獨(dú)立，就稱是獨(dú)立隨機(jī)過程。在講到獨(dú)立增量過程這一章節(jié)時(shí)，就需要學(xué)生理解相互獨(dú)立的含義。而是否清楚獨(dú)立增量過程這一概念，直接影響到學(xué)生后續(xù)對于Poisson過程定義的掌握，所以說對于隨機(jī)變量獨(dú)立性的講解是十分有必要的。

在此之前，不妨先回顧一下，在概率論中n個(gè)事件相互獨(dú)立需要滿足2n-n-1個(gè)條件的描述，再補(bǔ)充n個(gè)事件相互獨(dú)立的充要條件。同時(shí)，還要讓學(xué)生認(rèn)識到n個(gè)隨機(jī)事件相互獨(dú)立與n個(gè)事件兩兩獨(dú)立之間的不同，即n個(gè)事件獨(dú)立可推出任意兩個(gè)都獨(dú)立，反之未必成立。在這之后，下面就可介紹n個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念了，這時(shí)包含無窮多種情況。只有教師做好過渡和鋪墊，這樣學(xué)生理解起來才更容易接受。自然地，學(xué)生也就可以對n個(gè)隨機(jī)變量獨(dú)立的充要條件印象深刻，這個(gè)充要條件是n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)是可以拆分的，可分解為邊際分布函數(shù)的乘積。并且，這個(gè)充要條件對隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)同樣適用。教師應(yīng)該把基本概念講解透徹，為學(xué)生鋪平隨機(jī)過程學(xué)習(xí)的道路。

四、 與實(shí)際案例結(jié)合

教師在授課中可以對相似的案例進(jìn)行總結(jié)羅列，讓學(xué)生討論概率論與隨機(jī)過程的區(qū)別所在。就拿同樣是有關(guān)下雨的問題來舉例，在概率論中，關(guān)注的通常是同一時(shí)刻的不同樣本點(diǎn)。有諸如下面的例子，已知一年中A、B兩城下雨及同時(shí)下雨的概率，問已知A城下雨，此時(shí)B城下雨的概率，那么這是一個(gè)求條件概率的問題。而在隨機(jī)過程中，往往關(guān)注的是同一樣本點(diǎn)在不同時(shí)間所對應(yīng)的狀態(tài)，題目如已知是某城今日無雨明日也無雨的概率，以及今日有雨次日不下雨的概率，問周二不下雨，周四下雨的概率，那么如果把第n天的降雨情況看作一個(gè)Markov鏈，此題目可通過求兩步轉(zhuǎn)移概率得到解決。從上面兩個(gè)例子，可以直觀地看出，概率論是靜態(tài)的研究，隨機(jī)過程是動態(tài)的研究。將這種實(shí)際的案例與授課結(jié)合，不僅可以讓學(xué)生對于相關(guān)知識點(diǎn)加深理解，同時(shí)也能引起其興趣。當(dāng)然，這種有趣的例子還有許多，如隨機(jī)游動、Poisson過程中的排隊(duì)系統(tǒng)等，多穿插一些生活中常見的實(shí)例，可幫學(xué)生對課程內(nèi)容進(jìn)行鞏固提升。

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作者簡介：

余菲，重慶市，重慶第二師范學(xué)院。