基于蒙特卡羅法的圖形面積估算

張麗娜　黃有新　袁媛　崔平　曾嘉健

摘 ?要：針對面積估算普遍存在于工程計(jì)算當(dāng)中，工作量大，計(jì)算復(fù)雜的實(shí)際情況，開展了基于計(jì)算機(jī)高級語言課程的面積估算研究，以蒙特卡羅拋灑法估算圖形面積實(shí)現(xiàn)層次分明的定積分計(jì)算，有效解決了面積估算過程中計(jì)算的復(fù)雜度，引領(lǐng)學(xué)生產(chǎn)生高成就感的深度學(xué)習(xí)行為，訓(xùn)練了計(jì)算思維能力。

關(guān)鍵詞：蒙特卡羅方法;深度學(xué)習(xí);計(jì)算機(jī)高級語言;定積分

中圖分類號：TP311.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

Graph Area Estimation based on Monte Carlo Method

ZHANG Lina，HUANG Youxin，YUAN Yuan，CUI Ping，ZENG Jiajian

（1.Xuzhou University of Technology， Xuzhou 221000， China;

2.Jiangsu Xuzhou Higher Vocational School of Economics & Trading， Xuzhou 221000， China）

zlnzxy@126.com; 357888316@qq.com; 358919180@qq.com;

1659089277@qq.com; 714261756@qq.com

Abstract： Aiming at the heavy workload and complex calculation in Area estimation which is commonly used in engineering calculation， this paper conducts an area estimation research based on computer advanced language course. Monte Carlo scattering method is used to estimate the graph area， and the hierarchical definite integral calculation is realized. This method effectively solves the problem of calculation complexity in the area estimation process， leading students to carry out in-depth learning with high sense of achievement and train themselves the ability of computational thinking.

Keywords： Monte Carlo method; in-depth learning; graph area estimation; definite integral

1 ? 引言（Introduction）

為了防止講授知識變得空洞死板，保證學(xué)生的深度學(xué)習(xí)、培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算思維能力、確保學(xué)生的中心地位，進(jìn)行教學(xué)案例的選擇與設(shè)計(jì)，在具體教育情境中設(shè)置理論應(yīng)用的描述，展開討論具體案例情境下的問題解決的實(shí)施方案[1]。托爾（Towl.A.R.）曾指出：“一個(gè)出色的案例，是教師與學(xué)生就某一具體事實(shí)相互作用的工具;一個(gè)出色的案例，是以實(shí)際生活情景中肯定會出現(xiàn)的事實(shí)為基礎(chǔ)所展開的課堂討論”。

土木工程量計(jì)算應(yīng)用中，常用到求建筑物截面面積，進(jìn)而對土方、石方計(jì)算工程量，Python程序設(shè)計(jì)可以在不規(guī)則圖形上計(jì)算出其面積，實(shí)現(xiàn)建筑物截面計(jì)算。為此選擇了大一學(xué)生正在學(xué)習(xí)的定積分求面積，開展基于蒙特卡羅方法的Python程序設(shè)計(jì)，輔以騰訊課堂直播加QQ群討論授課模式，選擇超星學(xué)習(xí)通平臺提交實(shí)驗(yàn)作業(yè)檢驗(yàn)應(yīng)用成果。

2 ? 蒙特卡羅方法介紹（Introduction of Monte Carlo method）

蒙特卡羅方法起源于1777年法國數(shù)學(xué)家布豐（Georges Louis Leclere de Buffon）提出的利用投針實(shí)驗(yàn)的方法求圓周率π。蒙特卡羅法在解決工程應(yīng)用實(shí)際問題的時(shí)候主要有兩部分工作：

（1）用蒙特·卡羅方法抽象出工程計(jì)算的概率模型，設(shè)計(jì)出隨機(jī)變量以展現(xiàn)模型概率分布情況。

（2）用統(tǒng)計(jì)學(xué)方法估計(jì)出概率模型的數(shù)字特征，量化計(jì)算出實(shí)際問題的數(shù)值解。

利用蒙特卡羅方法概率估算特點(diǎn)，對復(fù)雜不規(guī)則幾何形狀面積進(jìn)行估算過程中，能夠?qū)⒂行娣e的計(jì)算轉(zhuǎn)換成概率問題求解，從而忽略圖形的復(fù)雜度。概率意義下的收斂，可以節(jié)約計(jì)算成本，降低解決面積估算過程中程序設(shè)計(jì)的空間復(fù)雜度，因而此方法在處理大型高復(fù)雜度圖形面積計(jì)算問題時(shí)具有強(qiáng)有力的優(yōu)勢。在電子計(jì)算機(jī)快速發(fā)展和科學(xué)技術(shù)工程計(jì)算應(yīng)用日趨復(fù)雜的具體情境下，蒙特卡羅方法的應(yīng)用日趨普遍。因此案例教學(xué)設(shè)計(jì)選擇了隨機(jī)拋點(diǎn)求幾何圖形面積的學(xué)習(xí)活動(dòng)，能夠促使學(xué)生用計(jì)算思維方式解決問題，有針對性地設(shè)計(jì)出層次漸變的定積分計(jì)算的學(xué)習(xí)任務(wù)，進(jìn)行有效地課程學(xué)習(xí)規(guī)劃，培養(yǎng)學(xué)生在具體應(yīng)用情境下獨(dú)立運(yùn)用高級語言Python程序設(shè)計(jì)的能力，達(dá)到訓(xùn)練計(jì)算思維，培養(yǎng)工程應(yīng)用中解決實(shí)際問題的能力。

3 ?定積分計(jì)算教學(xué)設(shè)計(jì)（Teaching design of definite integral calculation）

在計(jì)算思維教育理念的指導(dǎo)下，培養(yǎng)學(xué)生形成一種計(jì)算思維習(xí)慣，并且學(xué)會在利用計(jì)算機(jī)工程應(yīng)用過程中，像計(jì)算機(jī)科學(xué)家一樣思考分析和解決問題[2]，疫情下的網(wǎng)絡(luò)授課給了實(shí)踐這一教學(xué)目標(biāo)一個(gè)契機(jī)。

由于定積分方便檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果，圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡表達(dá)式能夠構(gòu)造出復(fù)雜不規(guī)則圖形，又由于定積分本身具有求圖形面積的幾何意義，所以在找尋拓展蒙特卡羅法計(jì)算不規(guī)則圖形面積的時(shí)候，引入了定積分的計(jì)算作為案例應(yīng)用來檢驗(yàn)蒙特卡羅法估算圖形面積。

設(shè)置課前自主學(xué)習(xí)任務(wù)單：計(jì)算定積分;;。案例設(shè)置考慮了在積分表達(dá)式選擇上從單項(xiàng)式到多項(xiàng)式，從積分區(qū)域上從單位區(qū)間擴(kuò)展到復(fù)雜數(shù)據(jù)區(qū)間。

引入Python的random庫當(dāng)中隨機(jī)函數(shù)產(chǎn)生拋灑點(diǎn)的隨機(jī)坐標(biāo)值（x，y），其中用到的函數(shù)及特點(diǎn)如表1所示。

4 ?案例驅(qū)動(dòng)深度學(xué)習(xí)行為發(fā)生（Deep learning driven by cases）

在程序設(shè)計(jì)制作案例時(shí)，設(shè)置面向具體而復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)世界抽象出信息處理的概念，基于概念來分析、綜合和演繹實(shí)際問題，定積分計(jì)算案例是選擇模擬工程應(yīng)用中建筑物剖面計(jì)算情況展開設(shè)計(jì)，學(xué)生展現(xiàn)出創(chuàng)作過程中的深度思考過程，在整堂課上，每一個(gè)個(gè)體都需要貢獻(xiàn)自己的智慧，沒有旁觀者，只有參與者，利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行面積估算，將設(shè)計(jì)思路用高級語言Python表達(dá)出來，展現(xiàn)出將抽象概念和解決問題的方法變成實(shí)現(xiàn)程序可操作具體步驟的能力，將淺層次的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成深度思考的學(xué)習(xí)過程[3，4]，以下論述案例解決的不同展現(xiàn)形式。

設(shè)計(jì)了如圖1所示的曲線圖形，幾何表達(dá)為陰影部分面積，這正是定積分的幾何意義，利用蒙特卡羅法進(jìn)行概率抽象，Python程序設(shè)計(jì)的學(xué)生答案表現(xiàn)形式如下：

表達(dá)方式一：

from random import random

from time import perf_counter

DARTS = 1000*1000*10

hits = 0.0

start = perf_counter（ ）

for i in range（1， DARTS+1） ：

x，y = random（），random（）

if pow（y，2）

hits=hits+1

s = hits/DARTS

print（"面積是： {}" .format（s））

print（"運(yùn)行時(shí)間是： {}" .format（perf_counter（）-start））

表達(dá)方式二：

from random import random

darts=1000*1000

hits=0.0

for i in range（1，darts+1）：

x，y=random（），random（）

if y<=x**3：

hits+=1

S=hits/darts

print（"所求面積為{}".format（S））

（a）表達(dá)方式一運(yùn)行結(jié)果

（b）表達(dá)方式二運(yùn)行結(jié)果

圖2是由以上兩種表達(dá)設(shè)計(jì)的Python程序運(yùn)行實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比展示，驗(yàn)證了多種表達(dá)方式下圖形面積蒙特卡羅估算與數(shù)學(xué)計(jì)算定積分結(jié)果一致。進(jìn)而，圖形構(gòu)造上升為兩條函數(shù)表達(dá)式構(gòu)造幾何圖形，如圖3定積分圖形幾何意義所示。

圖3 第一象限兩條函數(shù)曲線定積分圖形表示

Fig.3 Graphic representation of definite integral of

two function curves in the first quadrant

from random import random

from time import perf_counter

DARTS = 1000*1000*10

hits = 0.0

start = perf_counter（ ）

for i in range（1， DARTS+1） ：

x，y = random（），random（）

if pow（y，2）

hits=hits+1

s = hits/DARTS

print（"面積是： {}" .format（s））

print（"運(yùn)行時(shí)間是： {}" .format（perf_counter（）-start））

圖4展示了蒙特卡羅估算Python程序運(yùn)行結(jié)果非常接近數(shù)學(xué)計(jì)算定積分，最后從單位面積區(qū)域拓展到一四象限，概率統(tǒng)計(jì)結(jié)合整體區(qū)域估算圖形面積模擬計(jì)算，如圖5所示定積分。

表達(dá)方式一：

from random import random

from time import perf_counter

DARTS = 1000*10

hits = 0.0

start = perf_counter（ ）

for i in range（1， DARTS+1） ：

x=8*random（）

y=6*random（）-2

if pow（y，2）/2

hits=hits+1

s = （hits/DARTS）*48.0

print（"面積是： {}" .format（s））

print（"運(yùn)行時(shí)間是： {}" .format（perf_counter（）-start））

換種積分角度，以X軸將圖形劃分成兩部分，上方擊中用pos+1表示與下方擊中表示成neg+1的表達(dá)方式二：

from random import uniform

darts=1000*1000

pos=0.0

neg=0.0

for i in range（1，darts+1）：

x，y=uniform（0，8），uniform（-2，4）

if y>=0 and y>=x-4 and y<=（2*x）**0.5：

pos+=1

elif y<0 and y>=x-4 and y>=-（2*x）**0.5：

neg+=1

S=48*（pos+neg）/darts

print（"所求面積為{}".format（S））

兩種表達(dá)的Python程序運(yùn)行結(jié)果對比如圖6所示驗(yàn)證了蒙特卡羅估算結(jié)果與定積分=18結(jié)果非常接近。

（a）表達(dá)方式一運(yùn)行結(jié)果

（b）表達(dá)方式二運(yùn)行結(jié)果

5 ?立體交流互動(dòng)的網(wǎng)絡(luò)課堂（Three dimensional interactive network classroom）

淺層學(xué)習(xí)階段是能夠?qū)χR進(jìn)行簡單的描述，停留在學(xué)習(xí)認(rèn)知領(lǐng)域中的“知道、理解”層次;而深度學(xué)習(xí)是對知識在具體情境下的應(yīng)用，能夠利用所學(xué)知識解決具體情境中的問題，并且能加以創(chuàng)新或者改進(jìn)，因而深度學(xué)習(xí)特點(diǎn)在于所學(xué)知識的應(yīng)用和具體情境下實(shí)際問題的解決[4]。在針對具體應(yīng)用設(shè)置的案例驅(qū)動(dòng)下的學(xué)習(xí)是積極主動(dòng)的，學(xué)生處于活躍開放的思維狀態(tài)，利用騰訊課堂與群分享開展的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)活動(dòng)，設(shè)計(jì)選擇面積估算案例引導(dǎo)學(xué)生從問題出發(fā)，借助課堂學(xué)習(xí)到的蒙特卡羅方法應(yīng)用到問題解決中來，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)行為產(chǎn)生，讓學(xué)生在程序設(shè)計(jì)中找到利用計(jì)算機(jī)解決具體面積估算問題的成就感。

在當(dāng)前的網(wǎng)絡(luò)授課模式下，線上分享自己成果，充分發(fā)揮了教學(xué)立體交流互動(dòng)和學(xué)習(xí)資源共享[5]，學(xué)生線上課程參與度比傳統(tǒng)線下實(shí)體課堂要高[6]，立體交流圖片如圖7所示。

（a）騰訊課堂交互情況圖

（b）QQ群分享屏幕交互情況圖

6 ? 結(jié)論（Conclusion）

由于有了基于蒙特卡羅法設(shè)置的案例驅(qū)動(dòng)，高級語言程序設(shè)計(jì)課程可以通過網(wǎng)絡(luò)課程的組織形式，引導(dǎo)學(xué)生從把握算法特點(diǎn)和基本概念的淺層學(xué)習(xí)，轉(zhuǎn)變成利用知識特點(diǎn)創(chuàng)編優(yōu)秀的高效程序設(shè)計(jì)的深度學(xué)習(xí)，把傳統(tǒng)的單純學(xué)習(xí)知識變成在學(xué)習(xí)知識的基礎(chǔ)上，通過創(chuàng)作產(chǎn)生深度學(xué)習(xí)行為，從而在學(xué)生們知識結(jié)構(gòu)體系中播下了計(jì)算思維的種子。鼓勵(lì)和引導(dǎo)學(xué)生到自身專業(yè)領(lǐng)域?qū)で髣?chuàng)作解決實(shí)際問題編程思考中去，進(jìn)而理解高級語言程序設(shè)計(jì)的精髓，實(shí)現(xiàn)對線下課堂學(xué)習(xí)的超越，這樣組織的網(wǎng)絡(luò)課堂才能夠真正扎實(shí)、高效。

參考文獻(xiàn)（References）

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[2] Jeannette M.Wing.Computational thinking[J].Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35.

[3] 嵩天，禮欣，黃天羽.Python語言程序設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2017.

[4] 劉哲雨，王志軍.行為投入影響深度學(xué)習(xí)的實(shí)證探究：以虛擬現(xiàn)實(shí)（VR）環(huán)境下的視頻學(xué)習(xí)為例[J].遠(yuǎn)程教育雜志，2017（1）：72-81.

[5] 梁云真，趙呈領(lǐng)，阮玉嬌，等.網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)空間中交互行為的實(shí)證研究——基于社會網(wǎng)絡(luò)分析的視角[J].中國電化教育，2016（7）：22-28.

[6] Myers S A， Claus C J. The Relationship Between Students' Motives to Communicate. With Their Instructors and classroom Environment[J]. Communication Quarterly， 2012， 60（3）： 386-402.

作者簡介：

張麗娜（1978-），女，碩士，講師.研究領(lǐng)域：數(shù)據(jù)挖掘，深度學(xué)習(xí).

黃有新（1972-），男，本科，副教授.研究領(lǐng)域：深度學(xué)習(xí)，英語翻譯，計(jì)算機(jī)英語.

袁 ?媛（1979-），女，碩士，講師.研究領(lǐng)域：深度學(xué)習(xí)，大數(shù)據(jù).

崔 ?平（1979-），女，碩士，實(shí)驗(yàn)師.研究領(lǐng)域：計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，實(shí)驗(yàn)室管理.

曾嘉?。?001-），男，本科生.研究領(lǐng)域：工程計(jì)算，程序設(shè)計(jì).