基于Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的動態(tài) 最優(yōu)投資策略

李夢輝 李佳娛 陳清華

摘? 要：企業(yè)是經(jīng)濟系統(tǒng)的核心，企業(yè)的再投資發(fā)展是經(jīng)濟可持續(xù)增長的源泉。假定在完全競爭商品市場和勞動力市場中，企業(yè)根據(jù)固定資本量決定勞動量的最優(yōu)配置以再投資生產(chǎn)。投資目標是根據(jù)企業(yè)自身的生產(chǎn)函數(shù)，通過對資本投資的最優(yōu)控制，以實現(xiàn)生產(chǎn)利潤的現(xiàn)值最大化。文章證明了在Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)型企業(yè)的長期優(yōu)化投資行為中，系統(tǒng)存在長期穩(wěn)定均衡解，并且是鞍點，這說明長期優(yōu)化穩(wěn)定的控制是一個精細的過程。文章具體分析了在規(guī)模報酬遞減、規(guī)模報酬遞增和規(guī)模報酬不變?nèi)N情況下不同的動態(tài)投資策略，為實際優(yōu)化再投資提供了理論支撐。

關(guān)鍵詞：Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù);最優(yōu)控制;規(guī)模收益;最優(yōu)投資

中圖分類號：F425? ? ?文獻標識碼：A

Dynamic Optimal Investment Strategy with a Cobb-Douglas Production Function

Li Menghui1? ?Li Jiayu1? ?Chen Qinghua2

（1.Beijing Institute of Science and Technology Information，Beijing，100044;2.School of Systems Science，Beijing Normal University，Beijing，100875）

Abstract：Enterprise plays a core role in economic systems and reinvestment is the source of sustainable development of the economy. Assume that the company is placed in a perfect competitive commodity and labor market. The optimal labor force is determined by the fixed capital of the company. The aim of the investment for the company is to maximize its profit basing on its own production function with an optimal control method. First，the existence of stable solution is proved in the investment process with a Cobb-Douglas production function. The solution is a saddle solution. This shows that the long-time optimal investment strategy is a subtle process. Then different dynamic optimal investment strategies are obtained when the production function is diminishing return to scale，increasing returns to scale and constant returns to scale. This offers a theoretical support for practical reinvestment.

Key words：Cobb-Douglas production function;Optimal control;Return to scale;Optimal investment

一、引言

2010年，中國占世界制造業(yè)產(chǎn)出的比例達到19.8%，超過美國的19.4%，打破了美國連續(xù)110年的壟斷地位，成為新的世界頭號生產(chǎn)國，“世界商品中國制造”的奇跡和中國企業(yè)的蓬勃發(fā)展是密不可分的[1]。2010—2019年，中國制造業(yè)迅速拉大了和美國的差距。如何促進企業(yè)的健康發(fā)展，特別是關(guān)系國計民生的大企業(yè)的發(fā)展是管理者非常重視的問題。統(tǒng)計表明世界上147個最大的企業(yè)控制著社會40%的財富，而將會有737個最大的企業(yè)控制80%的社會財富，它們的衰敗甚至消亡無疑會傷害到一些國家甚至整個世界的福利和效用[2]。

相關(guān)宏觀經(jīng)濟學(xué)和微觀經(jīng)濟學(xué)研究表明，企業(yè)的合理投資是企業(yè)健康發(fā)展的最重要手段[3-6]。無論宏觀經(jīng)濟還是微觀經(jīng)濟，廠商都是重要部門和主要研究對象。在經(jīng)濟增長理論中，Harrod-Domar模型在凱恩斯理論的基礎(chǔ)上解釋了資本投資在企業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟增長中的關(guān)鍵作用[7]。Solow模型在考慮資本和勞動力生產(chǎn)兩種要素前提下構(gòu)建了企業(yè)生產(chǎn)和經(jīng)濟增長模型[8]。從微觀經(jīng)濟學(xué)上看，企業(yè)追求的就是利潤最大化，在追求利潤最大化的過程中，企業(yè)有自己的最優(yōu)投資策略。一般來說，企業(yè)投資問題主要通過均衡法和加總法進行研究[9]。均衡法由Irving Fisher提出，通過建立消費者和企業(yè)的模型分析最優(yōu)投資策略[10];加總法則通過建立企業(yè)投資與資本變化的模型以分析該類問題。早期的經(jīng)典模型包括凱恩斯主義方法和新古典主義方法。凱恩斯通過分析資本的邊際效率與利率的關(guān)系，得出投資率與利率的反比關(guān)系[11]。新古典主義的代表模型是Jorgenson模型，在資本和勞動力兩種生產(chǎn)要素的作用下，討論了一般生產(chǎn)函數(shù)形式下的企業(yè)動態(tài)投資問題[12]。

以上文獻多采用靜態(tài)分析或比較靜態(tài)分析，但是在現(xiàn)實經(jīng)濟構(gòu)成的復(fù)雜系統(tǒng)中，各經(jīng)濟變量間常具有復(fù)雜的非線性關(guān)系，系統(tǒng)的演化過程中存在諸如路徑依賴等特性，整體的優(yōu)化和局部的優(yōu)化往往不一致，甚至大相徑庭。這一問題涉及經(jīng)濟存量消耗、積累和跨時影響的模式，通常使用變分法或最優(yōu)控制論的方法來分析這類問題[9，13]。2008年，黃學(xué)祥等人在先凸后凹的由資本量要素決定的生產(chǎn)函數(shù)形式下，分析了企業(yè)的動態(tài)投資策略，并與靜態(tài)投資結(jié)果進行了比較，為生產(chǎn)投資問題提供了一種更可取的研究思路[14]。但由于他們的分析沒有給出確定的函數(shù)形式，在實踐上的指導(dǎo)意義有所欠缺。

Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)最初是美國數(shù)學(xué)家Clifford Cobb和經(jīng)濟學(xué)家Paul Douglas共同探討投入和產(chǎn)出的關(guān)系時提出，是經(jīng)濟學(xué)中使用最廣泛的一種生產(chǎn)函數(shù)形式，它在數(shù)理經(jīng)濟學(xué)與經(jīng)濟計量學(xué)的研究，以及國家經(jīng)濟發(fā)展、企業(yè)生產(chǎn)、運營優(yōu)化中都具有重要的地位[15-19]。

二、模型建立

假設(shè)生產(chǎn)企業(yè)面臨固定資本和勞動力兩種要素共同決定產(chǎn)出的投資決策問題，經(jīng)營者可根據(jù)已有的固定資本量來配置勞動力，以充分發(fā)揮資本的生產(chǎn)效用，追求收益最大化的企業(yè)將在最優(yōu)勞動力的配置情況下生產(chǎn)。

假定商品市場和勞動力市場均為完全競爭市場，市場價格為固定值，勞動力成本也為固定值。企業(yè)的Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)具體形式可通過多種方法，由產(chǎn)出和投入數(shù)據(jù)估計得到，方法可參照王玉杰、張良等學(xué)者的研究[20-22]。在具體形式下，生產(chǎn)函數(shù)體現(xiàn)的信息被充分利用，可直接有助于生產(chǎn)決策。

假定時刻投入固定資本和勞動力的產(chǎn)出為

（1）

資本積累動態(tài)方程為

（2）

其中為資本的折舊率。投資為控制變量，投資成本存在邊際遞增的彭羅斯效應(yīng)[23]。

（3）

由于企業(yè)根據(jù)資本量優(yōu)化勞動力配置，則企業(yè)長期投資優(yōu)化的目標函數(shù)為

（4）

其中為企業(yè)的貼現(xiàn)率。時刻企業(yè)收入為 ，勞動力的工資為，利潤的貼現(xiàn)值即整個被積函數(shù)。優(yōu)化實為在資本積累動態(tài)方程的限制條件下，實現(xiàn)企業(yè)的現(xiàn)值利潤最大化的最優(yōu)控制過程。

該最優(yōu)控制的哈密頓量可表示為

（5）

其中共態(tài)變量表示資本對利潤的邊際貢獻。為實現(xiàn)目標函數(shù)最大化需滿足現(xiàn)值哈密頓正則方程組[24]。當勞動力配置最優(yōu)時

（6）

進一步可得出最優(yōu)勞動力配置時的勞動力邊際產(chǎn)量為

（7）

由（1）（7）可得出勞動力關(guān)于資本量為

（8）

最優(yōu)資本量應(yīng)滿足

（9）

最優(yōu)資本對目標函數(shù)的邊際貢獻可表示為

（10）

由此可得出最優(yōu)資本配置時的資本邊際產(chǎn)出為

（11）

投資量應(yīng)滿足

（12）

由于，所以投資關(guān)于共態(tài)變量的反函數(shù)為遞增函數(shù)，即。

在最優(yōu)控制過程中，資本量的變化和共態(tài)變量的變化滿足如下方程

（13）

方程的特征向量矩陣為

（14）

一般來說固定資本產(chǎn)出的彈性系數(shù)，求解特征根方程（15），并由判別式（16）和韋達定理（17）得出

（15）

（16）

（17）

即一定存在兩異號特征根，所以均衡點為鞍點。

由公式（1）（8）（9）（10）可得

（18）

為簡化表達式，不妨令

（19）

則當時表示規(guī)模報酬遞減，時表示規(guī)模報酬不變，時表示規(guī)模報酬遞增。不妨考慮投資成本為最簡形式。由此現(xiàn)值哈密頓正則方程可表示為

（20）

三、不同規(guī)模報酬形式

（一）規(guī)模報酬遞減

當企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞減時，其最優(yōu)控制相圖如圖1。

圖1? 規(guī)模報酬遞減情況下的相圖

據(jù)圖1可得到如下指導(dǎo)性投資建議：當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅰ時，應(yīng)適度減小投資量，以達到均衡點;當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅲ時，應(yīng)適度增大投資量，以達到均衡點;當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅱ和狀態(tài)Ⅳ時，無法直接達到均衡點。由軌線圖可看出，實現(xiàn)均衡的控制軌線是關(guān)于資本量的單調(diào)遞減函數(shù)。

它表明企業(yè)資本量低于均衡點時，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步減少投資量以達到均衡點。企業(yè)資本量高于均衡點時，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步增加投資量以達到均衡點。

（二）規(guī)模報酬遞增

當企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬遞增時，其最優(yōu)控制相圖如圖2。

圖2? 規(guī)模報酬遞增情況下的相圖

據(jù)圖2可得到如下指導(dǎo)性投資建議：當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅰ時，應(yīng)適度增大投資量，以達到均衡點;當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅲ時，應(yīng)適度減小投資量，以達到均衡點;當企業(yè)生產(chǎn)處于狀態(tài)Ⅱ和狀態(tài)Ⅳ時，無法直接達到均衡點。由軌線圖可看出，實現(xiàn)均衡的控制軌線是關(guān)于資本量的單調(diào)遞增函數(shù)。

它表明企業(yè)資本量低于均衡點時，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步增加投資量以達到均衡點。企業(yè)資本量高于均衡點時，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步減少投資量以達到均衡點。

（三）規(guī)模報酬不變

當企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為規(guī)模報酬不變時，哈密頓正則方程為

（21）

在滿足初始條件和橫截條件

（22）

情況下，可求得最優(yōu)控制的解析解為

（23）

據(jù)上可得到如下指導(dǎo)性投資建議：企業(yè)應(yīng)維持固定的投資額 ，使資本量最終維持在的最優(yōu)值。

當初始資本量小于最優(yōu)值時，該投資策略將使得資本量逐漸增加至最優(yōu)值;當初始資本量大于最優(yōu)值時，該投資策略將使得資本量逐漸減小至最優(yōu)值。

四、結(jié)論

筆者在生產(chǎn)函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式下，對企業(yè)的動態(tài)生產(chǎn)投資問題給出了一定的指導(dǎo)性建議。在生產(chǎn)函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)的形式下，最優(yōu)控制投資問題總是存在唯一的鞍點解。

在不同的規(guī)模報酬形式下，企業(yè)存在不同的最優(yōu)投資策略。

（一）規(guī)模報酬遞減：企業(yè)資本量低于均衡點時，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步減少投資量以達到均衡點。企業(yè)資本量高于均衡點時，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步增加投資量以達到均衡點。

（二）規(guī)模報酬遞增：企業(yè)資本量低于均衡點時，應(yīng)在小于均衡投資量的策略下使資本量增加，并逐步增加投資量以達到均衡點。企業(yè)資本量高于均衡點時，應(yīng)在大于均衡投資量的策略下使資本量減少，并逐步減少投資量以達到均衡點。

（三）規(guī)模報酬不變：可以求得最優(yōu)控制的解析解形式，企業(yè)應(yīng)維持固定投資額，使資本量達到最優(yōu)值。

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